二次函數與圓的綜合

1、二次函數與圓的綜合5（2012濟南）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（3，0），B（1，0），與y軸相交于點C，O1為ABC的外接圓，交拋物線于另一點D（1）求拋物線的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半徑；（3）如圖2，拋物線的頂點為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點，若點N在坐標平面內，滿足BMNBPC，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標考點：二次函數綜合題1171131分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1所示，由AOC為等腰直角三角形，確定CAB=45°，從而求出其三角函數值；由圓周角定理，確定BO1C為等腰直角三角形，從而

2、求出半徑的長度；（3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點D坐標，進而求出點M的坐標和線段BM的長度；點B、P、C的坐標已知，求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用BMNBPC相似三角形比例線段關系，求出線段BN和MN的長度；最后利用兩點間的距離公式，列出方程組，求出點N的坐標解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（3，0），B（1，0），解得a=1，b=4，拋物線的解析式為：y=x2+4x+3（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C（0，3），OC=OA=3，則AOC為等腰直角三角形，CAB=45°，cosCAB=

3、在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答圖1所示，連接O1B、O1C，由圓周角定理得：BO1C=2BAC=90°，BO1C為等腰直角三角形，O1的半徑O1B=BC=（3）拋物線y=x2+4x+3=（x+2）21，頂點P坐標為（2，1），對稱軸為x=2又A（3，0），B（1，0），可知點A、B關于對稱軸x=2對稱如答圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點D、點C（0，3）關于對稱軸對稱，D（4，3）又點M為BD中點，B（1，0），M（，），BM=；在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由兩點間的距離公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=設N

4、（x，y），由兩點間的距離公式可得：，解之得，點N的坐標為（，）或（，）點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、圓的性質、相似三角形、勾股定理、兩點間的距離公式等重要知識點，涉及的考點較多，試題難度較大難點在于第（3）問，需要認真分析題意，確定符合條件的點N有兩個，并畫出草圖；然后尋找線段之間的數量關系，最終正確求得點N的坐標6（2011遵義）已知拋物線y=ax2+bx+3（a0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a0）的函數關系式及點C的坐標；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使PAB是以AB為

5、直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標考點：二次函數綜合題1171131分析：（1）根據A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數法求二次函數解析式；（2）從當PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°與當PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，分別求出符合要求的答案；（3）根據當OEAB時，FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+3（a

6、0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，解得：，y=x2x+3；點C的坐標為：（0，3）；（2）假設存在，分兩種情況：當PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°，如圖1，過點B作BMx軸于點M，A（3，0），B（4，1），AM=BM=1，BAM=45°，DAO=45°，AO=DO，A點坐標為（3，0），D點的坐標為：（0，3），直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x 23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0（不合題意舍去），P點坐標為（0，3），點P、C、D重合，當P

7、AB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，如圖2，過點B作BFy軸于點F，由（1）得，FB=4，FBA=45°，DBF=45°，DF=4，D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍），y=6，P點坐標為（1，6），點P的坐標為：（1，6），（0，3）；（3）如圖3：作EMAO于M，直線AB的解析式為：y=x3，tanOAC=1，OAC=45°，OAC=OAF=45°，A

8、CAF，SFEO=OE×OF，OE最小時SFEO最小，OEAC時OE最小，ACAFOEAFEOM=45°，MO=EM，E在直線CA上，E點坐標為（x，x+3），x=x+3，解得：x=，E點坐標為（，）點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求函數解析式，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握7（2011襄陽）如圖，在平面直角坐標系xoy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的O'與y軸正半軸交于點C，連接BC，ACCD是O'的切線，AD丄CD于點D，tanCAD=，拋物線y=ax2

9、+bx+c過A，B，C三點（1）求證：CAD=CAB；（2）求拋物線的解析式；判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題1171131分析：（1）連接OC，由CD是O的切線，可得OCCD，則可證得OCAD，又由OA=OC，則可證得CAD=CAB；（2）首先證得CAOBCO，根據相似三角形的對應邊成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，則可求得CO，AO，BO的長，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；首先證得FOCF

10、AD，由相似三角形的對應邊成比例，即可得到F的坐標，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入檢驗即可求得答案；（3）根據題意分別從PABC與PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）證明：連接OC，CD是O的切線，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）解：AB是O的直徑，ACB=90°，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，

11、4），拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，C三點，c=4，由題意得：，解得：，拋物線的解析式為：y=x2x+4；設直線DC交x軸于點F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=，F（，0）；設直線DC的解析式為y=kx+m，則，解得：，直線DC的解析式為y=x+4，由y=x2x+4=（x+3）2+得頂點E的坐標為（3，），將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，右邊=×（3）+4=左邊，拋物線頂點E在直線CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）A（8，0），C（0，4），過A、C兩點的直線解析式為y=x+4

12、，設過點B且與直線AC平行的直線解析式為：y=x+b，把B（2，0）代入得b=1，直線PB的解析式為y=x1，解得，（舍去），P1（10，6）求P2的方法應為過點A作與BC平行的直線，可求出BC解析式，進而求出與之平行的直線的解析式，與求P1同法，可求出x1=8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=36P2的坐標（10，36）點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定與性質，點與函數的關系，直角梯形等知識此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用8（2011濰坊）如圖，y關于x的二次函數y=（x+m）（x3m）圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y

13、軸正半軸于D點以AB為直徑作圓，圓心為C定點E的坐標為（3，0），連接ED（m0）（1）寫出A、B、D三點的坐標；（2）當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關系；（3）當m變化時，用m表示AED的面積S，并在給出的直角坐標系中畫出S關于m的函數圖象的示意圖考點：二次函數綜合題1171131專題：壓軸題；分類討論分析：（1）根據x軸，y軸上點的坐標特征代入即可求出A、B、D三點的坐標；（2）待定系數法先求出直線ED的解析式，再根據切線的判定得出直線與圓的位置關系；（3）分當0m3時，當m3時兩種情況討論求得關于m的函數解答：解：（1）令y=0，則（x+m）（x3m）=0，解得x1

14、=m，x2=3m；令x=0，則y=（0+m）（03m）=m故A（m，0），B（3m，0），D（0，m）（2）設直線ED的解析式為y=kx+b，將E（3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m直線ED的解析式為y=mx+m將y=（x+m）（x3m）化為頂點式：y=（xm）2+m頂點M的坐標為（m，m）代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，當m=1時，M點在直線DE上連接CD，C為AB中點，C點坐標為C（m，0）OD=，OC=1，CD=2，D點在圓上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90°直線ED與C相切（3）

15、當0m3時，SAED=AEOD=m（3m）S=m2+m當m3時，SAED=AEOD=m（m3）即S=m2_ mS關于m的函數圖象的示意圖如右：點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有x軸，y軸上點的坐標特征，拋物線解析式的確定，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法注意分析題意分情況討論結果9（2011邵陽）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，已知點A（，0），點C（0，3），點B是x軸上一點（位于點A的右側），以AB為直徑的圓恰好經過點C（1）求ACB的度數；（2）已知拋物線y=ax2+bx+3經過A、B兩點，求拋物線的解析式；（3）線段BC上是否存在點D，使BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題1171131專題：綜合題分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角可以得到ACB的度數（2）利用三角形相似求出點B的坐標，然后把A，B兩點的坐標代入拋物線求出拋物線的解析式（3）分別以OB為底邊和腰求出等腰三角形中點D的坐標解答：解：（1）以AB為直徑的圓恰好經過 點C，ACB=90°（2）AOCCOB，OC2=AOOB