經(jīng)典專題空間幾何的外接球和內(nèi)切球教師版

1、專題（一）空間幾何體的外接球和內(nèi)切球一、典例探究類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）. 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出.例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個(gè)球的表面積是（ ）.A B C D解：，選C.變式1、若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .解：，.變式2、在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直.如圖（3）-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，平面，同理：，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，

2、 ，平面，平面，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，即，正三棱錐外接球的表面積是.變式3、在四面體中，則該四面體的外接球的表面積為（ ）. 解：在中，的外接球直徑為，選D.變式4、如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、，那么它的外接球的表面積是 .解：三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為（），則，.變式5、已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為的等腰直角三角形和邊長為的正方形，則該幾何體外接球的體積為 .解：，.類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）模型1：如圖5，平面.解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，

3、所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：；.模型2：如圖6，7，8，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出.方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓.例2、一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）.A B C D以上都不對(duì)解：選C，, ,.類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）模型1：如圖9-1，平面平面，且（即為小圓的直徑）第一步：

4、易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出. 模型2：如圖9-2，平面平面，且（即為小圓的直徑）. .模型3：如圖9-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出. 模型4：如圖9-4，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：.例3 、正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為，則該球的表面

5、積為 .解：（1）由正弦定理或找球心都可得，變式1、正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為 .解：方法一：找球心的位置，易知，故球心在正方形的中心處，.方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，.變式2、在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（ ）.A B. C. 4 D.解：選D，圓錐在以的圓上，.變式3、已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且，則此棱錐的體積為（ ）.A B C D解：，選A.類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球） 模型：如圖10-1，圖10-

6、2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出.例4、一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個(gè)球的體積為 .解：設(shè)正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，則，底面積為，球的體積為.變式1、直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 .解：，.變式2、已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，則多面體的外接球的表面積為 .解：折疊型，法一：的

7、外接圓半徑為，；法二：，.變式3、在直三棱柱中，則直三棱柱的外接球的表面積為 .解：，.類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：.例5、三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .解：，；法二：，.類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）模型：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，）第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長方體的長

8、寬高分別為，列方程組，.補(bǔ)充：.第三步：根據(jù)墻角模型，求出，例如，正四面體的外接球半徑可用此法.例6、棱長為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .解：截面為，面積是；變式1、一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）.A B C D 解：高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長為，則，三棱錐的體積為.變式2、在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 .解：如圖12，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對(duì)面的對(duì)角線長，設(shè)長寬高分別為，則，.變式3、如圖所示三棱錐，其中則該三

9、棱錐外接球的表面積為 .解：同上，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對(duì)面的對(duì)角線長，設(shè)長寬高分別為，.變式4、正四面體的各條棱長都為，則該正面體外接球的體積為 .解：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長方體中，.類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型模型：，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7、在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）.A B C D解：，選C.變式、在矩形中

10、，沿將矩形折疊，連接，所得三棱錐的外接球的表面積為 .解：的中點(diǎn)是球心，.類型八、錐體的內(nèi)切球問題模型1：如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型2：如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線；第二步：求，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型3：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑.方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等.第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：.第三步：解出.二、課后鞏固1若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球半徑為（ ）.A. B. C. D.解：，選A.2.三棱錐中，側(cè)棱平面，底面是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積等于 .解：，外接球體積.3正三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則該