“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的典型例題

1、“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的典型例題【例 1】如圖所示的傳動(dòng)裝置中， A 、B 兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng) A 、B、 C 三輪的半徑大小的關(guān)系是 RA =RC=2RB當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？【分析】皮帶不打滑， 表示輪子邊緣在某段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)總是跟皮帶移動(dòng)的距離相等，也就是說(shuō)，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相等 根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，結(jié)合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解【解】由于皮帶不打滑，因此， B、C 兩輪邊緣線速度大小相等，設(shè) vB =vC=v由 v=R 得兩輪角速度大小的關(guān)系 B C=RCRB=21因 A 、B 兩輪同

2、軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，即A =B，所以 A 、B、C 三輪角速度之比A B C=221因 A 輪邊緣的線速度vA=A RA=2BRB=2vB ，所以 A 、B、 C 三輪邊緣線速度之比vA vB vC=2 11根據(jù)向心加速度公式a=2R，所以 A 、B、C 三輪邊緣向心加速度之比=8 4 2=421【例 2】一圓盤可繞一通過(guò)圓盤中心 O 且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng) 在圓盤上放置一木塊，當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖），那么 A木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤中心B木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向指向圓盤中心C因?yàn)槟緣K隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向

3、相同D因?yàn)槟Σ亮偸亲璧K物體運(yùn)動(dòng)，所以木塊所受圓盤對(duì)它的摩擦力的方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向相反E因?yàn)槎呤窍鄬?duì)靜止的，圓盤與木塊之間無(wú)摩擦力【分析】由于木塊隨圓盤一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 時(shí)刻存在著一個(gè)沿半徑指向圓心的向心加速度， 因此，它必然會(huì)受到一個(gè)沿半徑指向中心、 產(chǎn)生向心加速度的力向心力以木塊為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析： 在豎直方向受到重力和盤面的支持力， 它處于力平衡狀態(tài)在盤面方向，可能受到的力只有來(lái)自盤面的摩擦力（靜摩擦力），木塊正是依靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 所以，這個(gè)摩擦力的方向必沿半徑指向中心【答】 B【說(shuō)明】 常有些同學(xué)認(rèn)為，靜摩擦力的方向與物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向

4、相反，木塊隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 時(shí)時(shí)有沿切線方向飛出的趨勢(shì)， 因此靜摩擦力的方向應(yīng)與木塊的這種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反， 似乎應(yīng)該選 D這是一種極普遍的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，其原因是忘記了研究運(yùn)動(dòng)時(shí)所相對(duì)的參照系 通常說(shuō)做圓運(yùn)動(dòng)的物體有沿線速度方向飛出的趨勢(shì)， 是指以地球?yàn)閰⒄障刀缘?而靜摩擦力的方向總是跟相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反， 應(yīng)該是指相互接觸的兩個(gè)相關(guān)物體來(lái)說(shuō)的， 即是對(duì)盤面參照系也就是說(shuō)， 對(duì)站在盤上跟盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)的觀察者， 木塊時(shí)刻有沿半徑向外滑出的趨勢(shì)，所以，木塊受到盤面的摩擦力方向應(yīng)該沿半徑指向中心【例 3】在一個(gè)水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有 A 、B、C 三個(gè)物體，它們跟臺(tái)面間的摩擦因數(shù)相同 A 的質(zhì)量為 2

5、m，B、C 各為 m A 、B 離轉(zhuǎn)軸均為 r， C 為 2r則 A若 A 、B、 C 三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)， A 、C 的向心加速度比 B 大B若 A 、B、 C 三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，B 所受的靜摩擦力最小C當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)， C 最先發(fā)生滑動(dòng)D當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，A 比 B 先滑動(dòng)【分析】 A 、 B、 C 三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度都等于轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，設(shè)為 根據(jù)向心加速度的公式 an=2r，已知 rA=rBrC，所以三物體向心加速度的大小關(guān)系為 aA =aB aCA 錯(cuò)三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由轉(zhuǎn)臺(tái)的靜摩擦力提供向心力，即以三物體受到的靜摩擦力的大小分別

6、為f =Fn=m 2r，所fA =mA 2rA =2m2r，f B=mB2rB=m2r，fC=mc2rc =m22r=2m2r即物體 B 所受靜摩擦力最小 B 正確由于轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力有一個(gè)最大值，設(shè)相互間摩擦因數(shù)為 ，靜摩擦力的最大值可認(rèn)為是 f m=mg由 fm=Fn，即得不發(fā)生滑動(dòng)的最大角速度為即離轉(zhuǎn)臺(tái)中心越遠(yuǎn)的物體，使它不發(fā)生滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的最大角速度越小由于 rC rA =rB，所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速逐漸增加時(shí)，物體C 最先發(fā)生滑動(dòng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，物體A 、B 將同時(shí)發(fā)生滑動(dòng) C 正確， D 錯(cuò)【答】 B、C【例 4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘 A 、B，相距 L0=0.1m長(zhǎng) L

7、=1m 的柔軟細(xì)線一端拴在 A 上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為 500g 的小球小球的初始位置在 AB 連線上 A 的一側(cè)把細(xì)線拉直，給小球以 2m s 的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)由于釘子 B 的存在，使細(xì)線逐步纏在 A、 B 上若細(xì)線能承受的最大張力Tm=7N，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂歷時(shí)多長(zhǎng)？【分析】小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在 A 、B 兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑會(huì)逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小保持不變【解】小球交替地繞 A 、B 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線中張力 T 不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間 t 不斷減小令 Tn=Tm=7N，得 n=8，所以經(jīng)歷的時(shí)間為【

8、說(shuō)明】圓周運(yùn)動(dòng)的顯著特點(diǎn)是它的周期性 通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究， 用遞推法則寫出解答結(jié)果的通式（一般表達(dá)式）有很重要的意義對(duì)本題，還應(yīng)該熟練掌握數(shù)列求和方法如果題中的細(xì)線始終不會(huì)斷裂， 有興趣的同學(xué)還可計(jì)算一下， 從小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線完全繞在 A 、 B 兩釘子上，共需多少時(shí)間？【例 5】如圖 (a)所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為 L 的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為 m 的小球，圓錐頂角為 2，當(dāng)圓錐和球一起以角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球壓緊錐面此時(shí)繩的張力是多少？若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度至少為多少？【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力， 在豎直方向則合外力為零

9、。 由此根據(jù)牛頓第二定律列方程， 即可求得解答?！窘狻繉?duì)小球進(jìn)行受力分析如圖(b)所示，根據(jù)牛頓第二定律，向心方向上有Tsin -Ncos =m 2r y 方向上應(yīng)有N sin+Tcos-G=0 r = L sin 由、式可得T = mgcos+m2Lsin當(dāng)小球剛好離開(kāi)錐面時(shí) N=0（臨界條件）則有 Tsin=m 2r Tcos-G=0 【說(shuō)明】本題是屬于二維的牛頓第二定律問(wèn)題， 解題時(shí)，一般可以物體為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立 xoy 直角坐標(biāo)，然后沿 x 軸和 y 軸兩個(gè)方向，列出牛頓第二定律的方程，其中一個(gè)方程是向心力和向心加速度的關(guān)系，最后解聯(lián)立方程即可?！纠?6】雜技節(jié)目中的“水流星”表演，用

10、一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運(yùn)動(dòng)， 在最高點(diǎn)杯口朝下， 但水不會(huì)流下， 如下圖所示，這是為什么？【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)， 需要提供一個(gè)向心力。 當(dāng)水杯在最低點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由杯底的支持力提供， 當(dāng)水杯在最高點(diǎn)時(shí)， 水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。 只要做圓周運(yùn)動(dòng)的速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點(diǎn)時(shí)，水就不會(huì)流下來(lái)?！窘狻恳员兄疄檠芯繉?duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律【例 7】如下圖所示，自行車和人的總質(zhì)量為 M ，在一水平地面運(yùn)動(dòng)若自行車以速度 v 轉(zhuǎn)過(guò)半徑為 R 的彎道（ 1）求自行車的傾角應(yīng)多大？（

11、 2）自行車所受的地面的摩擦力多大？【分析】騎車拐彎時(shí)不摔倒必須將身體向內(nèi)側(cè)傾斜 從圖中可知， 當(dāng)騎車人拐彎而使身體偏離豎直方向 角時(shí)，從而使靜摩擦力 f 與地面支持力 N 的合力 Q 通過(guò)共同的質(zhì)心 O，合力 Q 與重力的合力 F 是維持自行車作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力【解】（ 1）由圖可知，向心力F=Mgtg ，由牛頓第二定律有：（ 2）由圖可知， 向心力 F 可看做合力 Q 在水平方向的分力， 而 Q 又是水平方向的靜摩擦力 f 和支持力 N 的合力，所以靜摩擦力 f 在數(shù)值上就等于向心力 F，即f = Mgtg 【例 8】用長(zhǎng) L 1=4m 和長(zhǎng)為 L2=3m 的兩根細(xì)線，拴一質(zhì)量m

12、=2kg 的小球 A ，L1和 L2的另兩端點(diǎn)分別系在一豎直桿的O ， O處，已知 O O=5m 如下圖（ g121210ms-2）（ 1）當(dāng)豎直桿以的角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， O2A 線剛好伸直且不受拉力 求此時(shí)角速度 1（ 2）當(dāng) O1A 線所受力為 100N 時(shí)，求此時(shí)的角速度 2【分析】小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由兩條細(xì)線的拉力提供， 當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)速度不同時(shí)，所受拉力就不同。【解】（ 1）當(dāng) O2A 線剛伸直而不受力時(shí)，受力如圖所示。則 F1cos=mg F1sin =mR 12 由幾何知識(shí)知R=2.4m =37代入式 1=1.77（ rad/s）（ 2）當(dāng) O1A 受力為 100N 時(shí)，

13、由（ 1）式F1cos=1000.8=80（N） mg由此知 O2A 受拉力 F2。則對(duì) A 受力分析得F1cos-F2sin -mg=0 F1sin+F2cos= mR22 由式（ 4）（ 5）得【說(shuō)明】 向心力是一種效果力，在本題中 O2A 受力與否決定于物體 A 做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度的臨界值在這種題目中找好臨界值是關(guān)鍵例 9一輛實(shí)驗(yàn)小車可沿水平地面（圖中紙面）上的長(zhǎng)直軌道勻速向右運(yùn)動(dòng)，有一臺(tái)發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺(tái)M 上，到軌道的距離MN 為 d=10m，如圖所示。轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使激光束在水平面內(nèi)掃描，掃描一周的時(shí)間為 T=60s，光束轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與 MN 的夾角為 4

14、5時(shí)，光束正好射到小車上，如果再經(jīng)過(guò) t=2.5s 光束又射到小車上，則小車的速度為多少？（結(jié)果保留二位數(shù)字）分析 激光器掃描一周的時(shí)間T=60s，那么光束在 t=2.5s 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)， 但在水平方向上光點(diǎn)的掃描速度是變化的， 這個(gè)速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。當(dāng)小車正向 N 點(diǎn)接近時(shí)，在 t 內(nèi)光束與 MN 的夾角由 45變?yōu)?30隨著 減小， v 掃在減小若 45時(shí)，光照在小車上，此時(shí) v 掃 v 車時(shí)，此后光點(diǎn)將照到車前但 v 掃v 車 不變，當(dāng) v 車v 掃時(shí)，它們的距離在縮小。解 在 t 內(nèi)，光束轉(zhuǎn)過(guò)角度如圖，有兩種可能（ 1）光束照

15、射小車時(shí)，小車正在接近 N 點(diǎn)， t 內(nèi)光束與 MN 的夾角從 45變?yōu)?30，小車走過(guò) L1，速度應(yīng)為由圖可知L1=d(tg45- tg30 )由、兩式并代入數(shù)值，得v1=1.7m/s （ 2）光束照到小車時(shí)，小車正在遠(yuǎn)離 N 點(diǎn)， t 內(nèi)光束與 MN 的夾角從 45為60，小車走過(guò) L 2 速度為由圖可知L2=d(tg60- tg45) 由、兩代并代入數(shù)值，得v2=2.9m/s說(shuō)明 光點(diǎn)在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即則掃描速度不變化，就談不上與小車的“追趕”了， 將不可能發(fā)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，再照射小車的問(wèn)題。這一點(diǎn)速度的合成與分解應(yīng)理解正確。的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘平直徑由 A 點(diǎn)射入圓筒，在圓筒轉(zhuǎn)過(guò)不到半圓時(shí)從速度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測(cè)量出出子彈速度的表達(dá)式。另外光束與 MN 的夾角為 45時(shí)，光束正好射到小車上有兩種情況（見(jiàn)分析）要考慮周全，不要丟解。例 10圖所示為測(cè)量子彈速度的裝置，一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個(gè)半徑為Rn 轉(zhuǎn)，一顆子彈沿圓筒的水 B 點(diǎn)穿出，假設(shè)子彈穿壁時(shí) A 、B 兩點(diǎn)間的孤長(zhǎng)為 L，寫分析 子彈穿過(guò)筒壁，子彈與筒壁發(fā)生相互作用，既影響筒的轉(zhuǎn)速，又影響子彈飛行速度，因?yàn)檫@種影響忽略不講， 所以測(cè)