“數(shù)列的求和”例題解析

1、 “數(shù)列的求和”例題解析例 1 求下列數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn：(1)11 21 31( n1n )248212121212(2)3234562 n 12 n3333333(3)11111 11121241242n1(1)S n111(n1= 1232n )2483n)1111=(1 2(2482 n )11n(n +1)2(12n )=2112n(n 1)1= 122n(2)S n=121212332333432 n132 n11+122+2= ( +33 +32n-1 ) + (2 +4 +32n )3331121= 3(132 n )32 (132 n )11113232518(132 n

2、 )（3）先對(duì)通項(xiàng)求和an = 1111212 42 n 12n 1Sn=(2 22)(11+112+ +2n-1 )4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載= 2n (11112+ + +2n-1 )41= 2n22 n 1例 2 求和：(1)1+1+1+123n(n1)123 4(2)1111579(2n1)(2n3)135(3)111125588(3n1)( 3n2)11(1)111n(n + 1)nn1Sn(1 1) (1 1) (1 1)(11 )122334nn111n1nn1(2)1111)(2n1)(2n + 3)4(12n2n3Sn =11111111537592n341112n12n12n31

3、 1111=32n1 2n43n( 4n5)3(2n1)( 2n3)(3)1111)(3n1)(3n + 2)3(13n3n21111111)11Sn = () () (11(13n)3255883n2=111)(3n322n6n4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 3 求下面數(shù)列的前n 項(xiàng)和：11111a4a27an 1(3n2)分析：將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)組成以1 為公比的等比數(shù)列，另一個(gè)數(shù)a組成以 3n 2 為通項(xiàng)的等差數(shù)列，分別求和后再合并。解設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前 n 項(xiàng)和為 Snan =12)n 1 (3na1117(3n 2)Sn = (1a2an1)14aa = 1Sn1(3n2

4、) n3n2n= n2211(13n 2)nan1(3n 1) nana 1Sn =112anan 12a說明 等比數(shù)列的求和問題，分q=1 與 q1 兩種情況討論。【例例4】4 設(shè) ak =12 2 2 k 2 (k N*) ，則數(shù)列3， 5，7 ， 的前 n 項(xiàng)之和是a1a2a3（）6n3nC6(n 1)6( n1)A1B1nD2nnn解設(shè)數(shù)列3， 5， 7， ，的通項(xiàng)為 bn a1a2a32n1則bn =an1n(n 1)(2n 1)a n = 12 22n2 =6bn=611= 6()n(n + 1)nn + 1數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 Sn=b1 b2 bn學(xué)習(xí)好資料歡迎下載11

5、11111= 6(13) (23n)2nn 11)= 6(1n 1= 6n 選 (A) n + 1例 5 求在區(qū)間 a， b（ ba， a， bN ）上分母是3 的不可約分?jǐn)?shù)之和。解法一 區(qū)間 a，b上分母為 3的所有分?jǐn)?shù)是3a ， 3a1 ， 3a2 ，333 ， 3a4 ， 3a5 ， ， ， ， 3b2 ， 3b1， 3b 它是以a 13a 2b 133333a 為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列331項(xiàng)數(shù)為 3b 3a 1，其和 S =(3b 3a 1)(a b)其中，可約分?jǐn)?shù)是a， a 1，a 2， ， b1其和 S =(b a 1)(a b)故不可約分?jǐn)?shù)之和為1S S =(a b)(

6、3b 3a 1) (b a1)2=b2 a2解法二 S = 3a +1 + 3a + 2 + 3a + 4 + 3a + 5 + 3b 2 + 3b 1333333 S=(a 1 )(a 2 ) (a 4 ) (a 5 ) (b 2 )(b 1 )333333而又有1(b 2)(b 4)(b 5) 2)S=(b)333(a331)(a3兩式相加： 2S=（ ab）（ a b） （ ab）其個(gè)數(shù)為以3 為分母的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)減去可約分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)。即 3（ b a） 1（ b a 1） =2（ ba） 2S=2（b a）（a b）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載S=b2 a26nSn1 a 2a2 3a3nana0 12

7、 1 4 9n23 1 3x 5x22n 1 xn-1x 1(4) 1 2 3nn248223n1Sn=a2a3ana234nn+1aSn=a2a 3an 1 a naSnaSn=aa2a3annan+1a 1 ()a(1an )n 11a Sn1anaSna(1an )nan 1(1a)21a2 Sn=1 4 9n2a 1 3 a3=3 a2 3a 1 23 13=3 12 3 1 133232 132=3 233233 143=3 3n3n13=3n123n11n 1 3 n3=3n2 3n 1n1313=31222n2312nn= 3(12 22 32n2 ) 3n(n1) n212 2

8、2 32n2=1(n 1) 3 1 3n(n1) n32=1n 3 3n 2 3n 3n(n1) n32學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1= 6 n(2n 2 3n 1)1= n(n 1)(2n 1)6（ 3） Sn=1 3x 5x2 7x3 （ 2n1） xn-1 xSn=x 3x2 5x3 （ 2n3） xn-1（ 2n 1） xn兩式相減，得（ 1 x） Sn=12x（ 1 x x2 xn-2 ）（ 2n 1） xn= 1 (2n 1)x n 2x (x n11)x1=(2n1)x n+1(2n1) x n(1x)1xSn(2n1)x n+1(2n1) x n(1x)=(1x)2(4)Sn123n=22232n21123n2 Sn222 32 42 n 1兩式相減，得11111n2 Sn2 22232