簡單的工程問題

1、簡單的工程問題 （方法篇）定義：在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工 程等等，都要涉及到工作總量、工作效率以及工作時間三個量。在數學中，探討 這三個數量之間關系的應用題，我們都叫它們做“工程問題” 。概念認識導入 1：五星花園修隧道，這條隧道長 200 米，有一個工程隊修完共用 20 天， 每天修多少米 導入 2：修一段路，共修了 20 天，那么每天修這條路的多少對比兩題列表格如下：工作總量工作時間工作效率導入 1200米 為具體數值20（天）200÷20=10（米 / 天）導入 2沒有告訴具體的數值 （當題目中沒有告訴 具體的數值時， 我們就 用“ 1”

2、來表示）20（天）11÷20= 120通過對比我們可以發(fā)現：工作總量： 需要完成的工作量。 （比如：做某一件事，制造某種產品，完成某項 任務，完成某項工程等等） 在工程問題中，當工作總量會出現兩種情況，一種是 告訴了具體的數值，另一種沒有告訴具體數值，我們就以“ 1”來表示。工作時間： 完成一項工作，完成 整個工作 所花掉的實際時間（休息時間除外） 工作時間一定為帶有單位的具體的數值。例：完成一項工作，甲花了10 天才完成，其中甲休息兩天，甲的工作時間是（） 工作效率：一個單位時間內 所完成的工作量。 （單位時間：一天，一小時，一分 鐘） 當工作總量為具體的數值時，工作效率同樣為具體

3、的數值，帶有單位。當工作總量沒有告訴具體的數值，為“ 1”時，工作效率為分數，不帶單位 這兩道題我們可以很簡單的求出工效，但是在實際工程問題中工效都是“隱藏”在一些條件中的。例：求出甲乙的工作效率完成一項工程，甲獨做需要 10天，乙獨做需要 15 天，修一段路，甲單獨修要 10 天，乙修 6 天修了這段路的 2 。5 修一段路，甲 2天修了這段路的 1 ，乙修8天修了這段路的 8 。5 15 求工作效率時通常都是： 找準工作時間對應的工作量。 然后利用工作量除以工作 時間。二關于合作 （在一些工程問題中，出了單干之外，往往還涉及到合作）導入：媽媽買了 20個蘋果，要求姐姐每天吃 4 個，弟弟每

4、天吃 1 個，姐弟一起吃，問這些蘋果多少天能被吃完分析表格如下：合作的工效姐姐的工效： 4（個/ 天）弟弟的工效： 1（個/ 天） 所以姐弟一起就要吃： 1+4=5（個/ 天）合作工效： 各自的工效之 和合作的時間20÷（1+4）=4（天）他們合作 4 天就 把蘋果吃完了，即姐姐吃了 4 天，弟 弟也吃了 4 天。合作時間： 合作的時間等于各自單獨的工作時間合作的工作 總量弟弟吃的蘋果： 1×4=4（個）姐姐吃的蘋果： 4×4=16（個）合做工作總量： 等于各自 的工作量之和。簡單練習：1：完成一項工程，甲獨做需要 10 天完成，乙獨做需要 15天完成過，那么甲乙

5、合作，合作的工作效率是 2：甲乙合做 6 天， : 甲做天，乙也做 天3：完成一項工作， 甲乙先合作 20 天，再由乙單獨做 5天完成這項工作，那么乙的做了天，甲做了 天。（強調工作總量不變 ）114：甲乙合作完成一項工程，甲做了全部的 1 ，乙做了全部的 1 ，則兩人合作一23 共完成這項工程的 。例題解析類型一：一般工程問題導入：修一段路，甲單獨完成要 10天，乙單獨完成需要 15 天。甲乙合作多少天 可以完成分析：問題求的是工作時間， 那么我們只需要找出工作總量和工作效率即可。 題中不知 道工作總量的具體數量， 所以我們假設為單位 “1”。甲乙合作那么合作的工作效 率應該是甲的工作效率加

6、乙的工作效率。1 1 1 甲乙合作的效率也就是： 1 + 1 =110 15 61完成的時間： 1 ÷ 1 =6（天）6通過這道題， 我們就可以看出， 一般的工程問題應用題由兩個部分組成， 前一個 部分提供“工作效率” ，而后一個部分主要是提供“工作方法” 。1例 1：一件工作，甲 5 小時完成全部工作的 1 ，乙 6 小時又完成剩下任務的一半，4 最后余下的部分由甲、乙合做，還需幾小時才能完成 分析：此題要求余下的部分甲乙合作要多少天， 我們只要知道余下的工作量是多 少，和甲乙合作的工效即可。11111解：甲的工效： ÷5=乙的工效： （1- ）× ÷

7、6=4204216甲乙合作的工效： 1 + 1 = 920 16 80余下的工作量： 1- 1 - 3 × 1 =34 4 2 8合作的天數； 3÷ 9 =10 （小時）8 80 3小結： 在解決工程問題時，我們一般從問題出發(fā)，理清解決問題所需要的條件，然后再題目的已知條件中去尋找所需要的條件。并且工作量，工作時間，工作效率三者一定要對應。即：用什么工作方法在哪段時間內完成了哪一部分工作量。練習：單獨完成某項工程，甲、乙、丙分別需要 10小時、 15 小時、20 小時。開 始三人一起干，后因工作需要，甲中途調走，結果共用了 6 小時完成這項 工作。問甲實際工作了多少小時類型

8、二：用組合法解工程問題例題 2：完成一項工作，甲隊單獨做 30 天完成?，F甲乙兩隊合做 15天后，甲隊 有任務調離。乙隊再做 9 天完成了任務，問這項工作由乙單獨完成需要多少天 分析：工作方法中提供的工作時間有“甲乙合作 15 天”和“乙單獨做 9 天”但 是題中提供的效率是甲的效率， 并不是成對應關系。 工作效率不能改變， 那么就 需要我們把工作方法改變一下，改變成與效率對應的甲的工作時間。工作方法改成： 甲先單獨做 15 天，余下的由乙做了（ 15+9=24）天完成。為什么要改變工作方法： 題目中給的工作方式與工作效率不對應。 為什么能改變工作方法： 因為不論怎么改變工作方式， 整個工作除

9、了甲做的就是 乙做的。整個工作總量不變。1 11甲的工作量： 1 ×15=1乙的工作量： 130 221這道題就可以很簡單的求出： 1÷ （1 1 ×15）÷ 24=48（天）30例題 3：一項工程，甲乙兩隊合做 8 天可以完成，現由甲隊先做 6天，余下的任 務由乙隊獨做 10 天完成。問乙隊單獨做這項工程需要多少時間分析：工作方法提供的時間是甲、 乙單獨做的時間， 而可以求出的效率是甲乙合 作的效率，并不是成對應關系，同樣也需要我們轉化。轉化成： 甲乙合作了 6天余下的由乙單獨做了 4 天完成。甲乙合作的工作量 : 1 ×6=3乙 : 18

10、4 4這道題就可以很簡單的求出： 1 ÷ （1 1 ×6）÷ 4=16 （天）8根據例題 2、3 我們可以得出解決工程問題中“分”與“合”的方法。 例題四中是單獨的甲的效率，時間與效率不對應，我們就進行“拆分” 。 例題五中題中提供的是甲乙合作的效率， 時間與效率也不對應， 我們就進行 “合 并”?？偨Y： 提供的是單獨的效率就把工作方法“拆分” 提供的是合作的效率就把工作方法“合并”練習：甲乙兩隊合做， 20天可完成一項工程。先由甲隊做 8 天，再由乙隊做 12 天，還剩下這項工程的 8 。甲乙兩隊獨做各需多少天15類型三：兩兩合作工程問題例 4：一件工程，甲乙合

11、作需 6 天完成，乙丙合作需 9 天完成，甲丙合作 15 天 完成?，F在甲乙丙三人合作需多少天完成分析：要求甲乙丙三人合作完成的天數， 我們只要知道甲乙丙三人的合作工效即 可。題目中告訴了我們甲乙丙三人每兩人的合作工效。列式表示可得：1 1 1甲+乙=1 ，乙+丙= 1 ，甲+丙= 16 9 15三個等式中甲乙丙各出現了兩次，把三個等式加起來可得：3131312 ×甲 +2×乙 +2×丙 =31 ，即： 2 ×（甲 +乙 +丙） =31 ，甲 +乙 +丙 = 319090180甲乙丙三人合作完成的天數： 1÷ 31 =180 （天）180 31

12、練習：某項工程，甲乙合作 6 天可以完成，乙丙合作需 8 天，甲丙合作則需 12 天。問三人合作幾天可以完工甲乙丙單獨做此工程各需幾天完工類型四：假設法工程問題例 5：一項工程，甲單獨做 20天完成，乙單獨做 15 天完成。這項工程，先由甲 做了若干天后， 再由乙單獨完成， 從開工到完成共用 18 天。求甲乙兩人各 做了多少天分析：完成這項工程甲乙的工作方式為甲先做，再有乙做，共用 18 天，要求甲 乙各做了多少天，這種題型跟我們以前學的小兔子晴雨天采蘑菇為同一種 類型的題。所以我們可以用假設法來解此題。已知甲的工效： 1 ，乙的工20效115解法一： 假設這 18 天全部是有甲來做 。那么甲

13、這 18天總共完成的工作量為： 18× 1 =9 ，比整個工程還少了 1。20 10 10 （為什么會少） 我們在假設全部由甲來做的時候， 是把乙換做了甲， 那么1 1 1每換一天，甲就要比乙少做 1 - 1 = 115 20 60總共少了 1 ，把乙換做了甲，每天少做 1 ，所以乙換的天數就為： 1 ÷10 60 1011 =6（天）甲做的天數就為： 18-6=12 （天）60注意： 如果開始假設全部的天數是甲做的，求的結果就是乙 （ 同學們假設全部由 乙來做 ）解法二：由題意可知，整個工程不是由甲做的的，就是由乙做的。整個工程量為 1，甲乙的工效我們知道， 完成的總天數

14、我們也知道。 所以此題我們還有可 以用方程來解。解： 設甲工作 天，則乙工作（ 18- ）天。111 + 1 （18- ） =120 15=12乙工作的天數： 18-12=6（天）練習：一件工程，甲獨做需 20 天完成，乙獨做需 12天完成。這件工程，先由甲 做了若干天， 然后由乙繼續(xù)做完， 從開始到完工共用 14 天。問甲乙兩人各 做了多少天例 6：一項工程，甲隊獨做需要 15 天完成，乙隊獨做需要 30天完成，丙隊獨做 需要 45天完成?，F在由甲乙丙三隊合作完成這項工程。 在工程過程中， 甲 隊休息 1天，乙隊休息 2 天，丙隊休息了 4 天。求完成這項工程前后一共 用了多少天分析：此題的

15、工作方式中， 甲乙丙都各自休息了若干天。 他們的工作時間就不能確定，那么我們可以假設甲乙丙三人沒休息，那么甲休息一天的工作量 1× 1 = 1 ，乙休息兩天的工作量為 2× 1 = 1 ，丙隊休息 4天的工作量為15 15 30 154× 1 = 4 。我們假設他們都沒有休息。 那么他們三人出了把原本的“ 1”45 45的工 作量 做完 之 外， 還要 做 多（ 1 + 1 + 4 ），總工 作量 就為15 15 451+1151+154）451 1 4 1 1 1 解法一： （ 1+ 1 + 1 + 4 ）÷（ 1 + 1 + 1 ）15 15 45

16、15 30 4555 1145 90=10 （天） 解法二：（同學們自己完成。列方程） 練習：一項工程，甲單獨完成需要 30 天，乙單獨完成需要 45 天，丙單獨完成需 要 90 天。現在由甲乙丙三隊合作完成此工程。在完成這項工程的過程中， 甲休息 2 天，乙休息 3 天，丙沒有休息，求完成這項工程前后一共用了多 少天小結： 對于題目中出現了某隊“休息”或做了“若干天” ，這種工作時間不確定 的題型，我們一般采用假設法來做。當然也可以通過列方程的方法來做。類型五：消元法解工程問題導入：完成某項工程，甲做 11天，乙做2天，可以完成這項工程的 7 ；甲做111237天，乙做 4 天，可以完成這項

17、工程的 。求甲乙單獨完成這項工作各需多60少天 分析：要求甲乙單獨完成工作需要的天數， 只要知道甲乙的工作效率即可。 題目中告訴了我們兩種不同的工作方式。列出這兩種工作方式可得：11×甲的工效 +2×乙的工效 = 7 123711×甲的工效 +4×乙的工效 =37 60 對比兩個等式我們可以發(fā)現，第二種比第一種多完成了 37 - 7 = 2 ，是因60 12 60 為乙多做了2天，所以我們可得：乙的工作效率為 2 ÷2=1 。60 60 把乙的工作效率帶入任意一個等式即可求出甲的工效甲的工效：（ 7-1×2)÷11= 112- 6020即：甲單獨完成需要1÷11 =20（天）20乙單獨完成需要1÷1 =60（天）60小結：此類題型往往會出現兩種情況，我們把兩種情況列出來，通過對比法，可以消去一個未知量，用這樣的方法消去未知量，通常稱為“消元法”例題 7：完成某項工程，甲做 4天，乙做 5天，可以完成這項工程的 2；乙做 33 天，甲做 6 天，可以完成這項工程的 7 。求甲乙單獨完成這項工作各需多 10少天分析：此題跟導入題一樣，所以我們可以根據兩種工作方式列出等式24 ×甲的工效 +5