畢業(yè)論文雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析

1、畢業(yè)論文雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析河 北 工 程 大 學(xué)2013年6月摘要薄壁結(jié)構(gòu)在一樣的截面面積情況下有較大抗彎慣性矩和抗扭剛度，具備良好的結(jié)構(gòu)性能，在現(xiàn)代各種建筑結(jié)構(gòu)和橋梁結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。而在滿足同樣力學(xué)性能的時候，薄壁結(jié)構(gòu)擁有更為輕盈的自重，能有效節(jié)約材料。更能適應(yīng)現(xiàn)代節(jié)能減排的社會需要。因此，結(jié)構(gòu)的抗震與動力特性計算非常重要，而振動分析也成為薄壁桿件分析重要的一部分。本文基于薄壁桿件的雙向彎曲和約束扭轉(zhuǎn)理論，建立了箱形截面橋梁的力學(xué)模型,摒棄了初等梁理論和烏曼斯基理論對縱向翹曲位移的假定，導(dǎo)出了基于線性插值函數(shù)的縱向翹曲位移函數(shù)表達(dá)式，通過對偶變量的引入導(dǎo)出了在動力特性下

2、箱形截面橋梁彎扭的哈密頓對偶求解體系。對此求解體系，運(yùn)用兩端邊值問題的精細(xì)積分法，通過 MATLAB 語言編的廣義位移制的程序求解結(jié)構(gòu)和廣義力，分析箱形截面橋梁在彎扭作用下的豎向位移和翹曲應(yīng)力，通過算例的求解并與其他方法對比，表明本文方法的合理性與可行性，并得到了影響箱形截面橋梁豎向位移和翹曲應(yīng)力的主要因素，為薄壁橋梁的設(shè)計提供參考，對工程實例具有一定指導(dǎo)作用。本文應(yīng)用的是基于精細(xì)積分的插值函數(shù)分析薄壁結(jié)構(gòu)的理論方法。編制了普遍適用于各種形式的薄壁梁橋的 MATLAB 程序。解決了在彎扭作用下振動特性分析計算。本課題的研究成果將對工程的設(shè)計等工作具有一定的現(xiàn)實意義。關(guān)鍵詞: 薄壁箱型梁，彎扭作

3、用，振動分析，插值函數(shù)，哈密頓理論，精細(xì)積分法AbstractThin-walled structure has a larger bending moment of inertia and torsional stiffness in the area under the condition of same. Thin-walled structure has good performance of structure, Thin-walled structures have been widely used in modern building structure and bridge s

4、tructure.Intimeto meet the samemechanical properties ofthin-walledstructurehas a morelightweight, it will can effectively save material. It can adapt to the social needs of modern energy-saving emission reduction.So, anti-seismic calculation and the dynamic properties of the structure is very import

5、ant.Thevibration analysisofthin-walled barhas also becomean importantpart of it.In this paper, based on thethin-walledbiaxial bendingandtorsionconstrainttheory.It will builtbox-sectionbridges mechanical model. Abandoned elementary beam theory and the theory of kaumansky assumed longitudinal warping

6、displacement.Based on linearinterpolation functionis derivedlongitudinalwarpingdisplacementfunction expression.Throughthe introduction ofthe dual variablesare derivedunderthedynamic characteristics ofbox girderbridgestorsionHamiltoniansystemof dualsolution. This solution system.We useboth ends of th

7、eboundary value problemsprecise integration method forandthrough the MATLABlanguage seriesgeneralized displacementsystemstructure andthe procedurefor solvingthe generalized force.Analysis ofbox-sectiontorsionbridgevertical displacementunder the action ofstressesand warpage.Solvingby an exampleandcom

8、parisonwith other methods, show that the methodis reasonableandfeasible.And has beenaffectedbox-sectionbridge verticaldisplacement andwarping stressthe main factors. It will provide reference for the design of thin-walled bridges, and have a certainrole in guidingproject examples.This application is

9、 based onthe precise integration methodof the interpolationfunction analysis of thin-walled structures theoretical approach.Compiled a generally applicable to all forms of thin-walled beam bridges MATLAB.It solves the dynamic characteristics under bending and torsion analysis and calculation. The re

10、search results havecertain practical significance for engineering design.Key words:Thin-walled box girder,Bending and torsion effect,Dynamic effects,Interpolation function,Hamiltoniantheory,Precise integration method目 錄摘要Abstract1 緒論11.1 薄壁結(jié)構(gòu)的發(fā)展與應(yīng)用11.2箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)簡介11.3薄壁箱型截面橋梁結(jié)構(gòu)的研究現(xiàn)狀和分析方法21.4薄壁箱梁的振動分析4

11、1.5 本文的主要研究容61.6重點解決的關(guān)鍵問題62 箱梁結(jié)構(gòu)自由振動分析的哈密頓體系72.1 動力方程72.2 拉格朗日函數(shù)82.3 哈密頓函數(shù)與正則方程82.4 本章小結(jié)103 雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析113.1箱形截面橋梁的計算模型113.2坐標(biāo)系與基本假定113.3薄壁箱形截面橋梁在彎扭作用下的插值法133.4 本章小結(jié)204 工程算例214.1算例1214.2 算例2234.3 本章小結(jié)245 結(jié)論與展望25致26參考文獻(xiàn)27附錄一29附錄二3440 / 45雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析學(xué)生： 指導(dǎo)教師：教授工程大學(xué)土木工程學(xué)院土木工程專業(yè)建筑結(jié)構(gòu)與施工管理方向

12、1 緒論1.1 薄壁結(jié)構(gòu)的發(fā)展與應(yīng)用薄壁桿件分：開口、閉口、混合三種截面形式。開口斷面是但連通的，沒有閉合的閉室。閉口斷面是多連通的，有封閉的閉室。只有一個閉室的稱作單閉室斷面。有多個閉室的斷面稱為多閉室斷面。兼有開口與閉口部分的斷面稱為混合斷面。薄壁桿件結(jié)構(gòu)，能充分發(fā)揮材料性能，節(jié)約資源。適應(yīng)了節(jié)能減排的需要，從而在大型工程中取得了普遍的認(rèn)可，應(yīng)用在各種領(lǐng)域。薄壁結(jié)構(gòu)以其優(yōu)越的性能滿足了，橋梁設(shè)計的需要。如在橋梁中廣泛應(yīng)用的箱型梁。此外薄壁結(jié)構(gòu)也廣泛應(yīng)用與各個領(lǐng)域中，如鋼結(jié)構(gòu)建筑中的工字鋼，高層中的剪力墻，和大型航空、航海工具等都是薄壁結(jié)構(gòu)體系。1.2箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)簡介橫截面呈一個或幾個封

13、閉箱形的梁橋簡稱為箱形梁橋。這種結(jié)構(gòu)除了梁肋和上部翼緣板外，在底部尚有擴(kuò)展的底板，具有較大的混凝土面積，能有效地抵抗正負(fù)彎矩，并滿足配筋的要求，適應(yīng)具有正負(fù)彎矩的結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁等。并且箱形截面在一定的截面面積下能獲得較大的抗彎慣性矩，抗扭剛度也特別大，在偏心荷載作用下各梁肋的受力比較均勻。此外，箱形截面橋梁的承重結(jié)構(gòu)與傳力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，使各部件共同受力，在達(dá)到經(jīng)濟(jì)效果的同時，截面利用效率也較高。對于寬橋，由于抗扭剛度大，跨中無需設(shè)置橫隔板就能獲得滿意的荷載橫向分布，適于修建曲線橋，具有較大的適用圍，能很好適應(yīng)布置管線等公共設(shè)施的要求。因此箱形截面在較大跨徑的橋梁工程中應(yīng)用比較廣泛。顯然，箱形截面

14、有很多優(yōu)點，也存在一些不足之處，需要引進(jìn)設(shè)計者的充分重視。如箱形截面屬薄壁結(jié)構(gòu)，除受力鋼筋外，還需配置大量構(gòu)造鋼筋，這對于中等跨徑的橋梁，有時會導(dǎo)致用鋼量比工字形或 T 形截面增多。而對于大跨徑橋梁，由于箱形截面是實腹式梁，比起空腹式的桁架結(jié)構(gòu)自重大。減輕自重是大跨徑橋梁的重要課題，在設(shè)計時必須采取措施減輕自重，以節(jié)省材料，使造價經(jīng)濟(jì)。近年來由于三向（即縱向、橫向、豎向）預(yù)應(yīng)力的應(yīng)用，可以采用薄壁、少肋的所謂寬箱截面，收到了良好的經(jīng)濟(jì)效果。作用在箱形梁上的主要荷載是恒載與活載。在偏心荷載作用下，箱形截面梁橋既產(chǎn)生對稱彎曲又產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。在偏心荷載作用下，箱形截面梁橋?qū)a(chǎn)生縱向彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變與橫向

15、撓曲四種基本變形。因此，在計入剪力滯效應(yīng)以后，作用于箱形截面梁橋的外力使其產(chǎn)生了彎、扭、剪力滯的耦合，增加了對此種情況下結(jié)構(gòu)分析的難度。1.3薄壁箱型截面橋梁結(jié)構(gòu)的研究現(xiàn)狀和分析方法近年來，隨著土木工程的發(fā)展越來越快。由于箱形截面具有良好的結(jié)構(gòu)性能，因而在現(xiàn)代各種橋梁工程中越來越多的使用箱形截面梁，尤其在大跨橋梁工程的建設(shè)中。因為箱形截面形式和構(gòu)件的特點可以很好的滿足工程需要，在這種情況下，越來越多結(jié)構(gòu)形式的橋梁在設(shè)計施工中梁的形式使用箱形截面。在各種工程中箱形截面越來越多的被應(yīng)用，為了更好的利用箱梁的特點，更好的掌握箱形結(jié)構(gòu)的受力情況，國外很多的學(xué)者對箱梁進(jìn)行了進(jìn)一步的研究和分析。1.3.1

16、薄壁箱梁的理論研究二十世紀(jì)四五十年代，符拉索夫針對由平板圍成的閉口薄壁箱梁，提出廣義坐標(biāo)法這一新的約束扭轉(zhuǎn)計算方法，創(chuàng)立了廣義坐標(biāo)和廣義位移的概念考慮了梁截面的外形輪廓線變形，成為對箱形梁分析的一種基礎(chǔ)。雖然該理論自稱具有較高的計算精度，但其理論推導(dǎo)和方程的求解都比較復(fù)雜，故并沒有在實際工程中得到普遍應(yīng)用。在國，韋芳芳,吳京,健,呂志濤,吳勝興1在符拉索夫廣義坐標(biāo)法初參數(shù)方程的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出可用于均布扭轉(zhuǎn)荷載作用下薄壁箱梁翹曲分析的剛度矩陣,該剛度矩陣具有較高的單元精度,可用于由較多薄壁箱梁組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的整體有限元分析。通過對廣義坐標(biāo)法剛度矩陣和烏曼斯基理論、修正烏曼斯基理論求得薄壁箱梁的位

17、移和應(yīng)力進(jìn)行分析比較,為各方法在實際工程中的應(yīng)用提供一定的參考。1.3.2 薄壁箱梁常用的研究方法早期修建的箱形梁一般為中等跨徑，采用多箱或單箱多室截面，分析方法沿用荷載橫向分布的概念，考慮結(jié)構(gòu)的整體作用。即將箱形截面分割成若干工字形梁來進(jìn)行計算，不考慮箱形截面的整體抗扭剛度，顯然是粗糙的近似方法，不是很實用。后來由于大跨徑單箱薄壁箱形梁的修建才將箱形梁作為受彎受扭的薄壁桿件來進(jìn)行分析。近年來由于有限元法的發(fā)展，又將箱形梁作為折板或殼體來進(jìn)行分析。長期以來，國外學(xué)者為解決箱形梁的計算問題，發(fā)表了數(shù)以百計的學(xué)術(shù)論文，指出了精確的或?qū)嵱玫挠嬎惴椒?。概括起來，這些計算方法可分兩大類，即解析法和數(shù)值法

18、。（1）解析法箱形截面梁的受力是一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)空間分析問題。為了把問題簡化，在解析法中往往采用一些假定和近似方法處理。如將作用于箱形梁的偏心荷載分解成對稱荷載與反對稱荷載。對稱荷載作用時，按梁的彎曲理論求解；反對稱荷載作用時，按薄壁桿件扭轉(zhuǎn)理論分析；然后將兩者計算結(jié)果疊加。扭轉(zhuǎn)分析又根據(jù)截面的剛度區(qū)分為截面不變形（剛性扭轉(zhuǎn)）和截面變形（畸變）兩種情況。解題的一般步驟是：先假定位移模式；有了位移后，可求得截面上各點的應(yīng)變和應(yīng)力；在此基礎(chǔ)上，或用力的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，或根據(jù)變分原理建立控制微分方程；解微分方程便得位移和應(yīng)力。 （2）數(shù)值法數(shù)值分析法主要是有限單元法、有限條法、有限差分法、有線

19、段法等。有限單元法：有限單元法是在六七年代發(fā)展起來的強(qiáng)有力的數(shù)值分析方法，用它可以分析形狀十分復(fù)雜的非均質(zhì)的各種實際的工程結(jié)構(gòu)，可以在計算中模擬各種復(fù)雜的材料本構(gòu)關(guān)系、荷載和邊界條件，通過前后處理技術(shù)實現(xiàn)圖形化的方案比較和結(jié)果的圖形化顯示。Moffatt 和 Dowling2通過有限單元法對影響箱梁剪力滯效應(yīng)的各種參數(shù)作了系統(tǒng)的分析與研究，提出了各種荷載下的不同寬跨比、支承形式、截面加勁情況的有效寬度比，這些分析結(jié)果已納入到“英國標(biāo)準(zhǔn)橋梁規(guī)”有關(guān)組合梁剪力滯計算準(zhǔn)則中去。黃劍源教授3用有限單元法計算了變截面箱形連續(xù)梁橋的剪力滯效應(yīng)。有限條法：有限條法是從有限單元法發(fā)展出來的一種半解析法，它利用

20、等效分解，把結(jié)構(gòu)看做是由很多條薄板組成的，單獨分析每一條單元，利用一種合理的位移函數(shù)表示單元邊界支撐條件。利用有限條法，理論上可以應(yīng)用于各種邊界條件的箱梁、殼板結(jié)構(gòu)的分析中。如今有限條法通過兩節(jié)線的低階有限曲條和三節(jié)線的高階有限曲條建立方程，已經(jīng)成功地用于分析簡支的箱梁直橋和箱梁曲橋中，并且取得了相對精確的結(jié)果。此法是分析等截面簡支梁橋的有效方法。國外許多學(xué)者采用了這種方法分析箱形梁的剪力滯。目前，有限條法應(yīng)用于變截面箱梁仍有一定的困難。有限差分法：有限差分法是一種傳統(tǒng)的方法，此法是在能量變分法所求得的剪力滯微分方程組基礎(chǔ)上，給出相應(yīng)的有限差分格式，進(jìn)行變截面箱梁橋的剪力滯分析。與有限元方法相

21、比，有限差分法在取一樣單元數(shù)時的計算精度比有限單元法高。有限段法：有限段法也是從有限單元法發(fā)展出來的一種半解析法。羅旗幟教授首先提出了一種分析剪力滯效應(yīng)的有限段法4，該法以剪力滯微分方程的齊次解為位移模式，建立了平面梁單元的半解析有限段模型，將三維空間問題簡化為一維空間，實現(xiàn)了在結(jié)構(gòu)分析中自動計入剪力滯效應(yīng)的功能。模型試驗：所有大型工程項目建造時都必須許進(jìn)行模型試驗，模型試驗可以為結(jié)構(gòu)的計算提供資料，也可驗證結(jié)構(gòu)計算結(jié)果的實用性。在沒有規(guī)涉與的巨型工程中，模型試驗是不可或缺的。1.4薄壁箱梁的振動分析隨著土木工程的飛速發(fā)展，尤其是大跨橋梁工程的建設(shè)。在箱形截面形式和構(gòu)件的材料應(yīng)用有了新的發(fā)展的

22、基礎(chǔ)上，各種結(jié)構(gòu)形式的預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁，采用箱形截面尤其能適應(yīng)構(gòu)造和施工要求。薄壁箱形截面以其諸多優(yōu)點在土木工程尤其是橋梁上得到了大量的運(yùn)用。由于箱形結(jié)構(gòu)自身的特點,箱形截面的受力非常復(fù)雜,其中剪力滯表現(xiàn)比較突出,對于箱梁靜力分析較為完善,而對于其動力特性研究較少。一般計算箱梁的振動頻率也不考慮剪力滯效應(yīng)的影響,往往導(dǎo)致計算結(jié)果與實際結(jié)構(gòu)有較大的偏差,對箱梁結(jié)構(gòu)的動力分析帶來不利影響。而對箱梁的自振的精確分析也以有限元為主,不僅計算量較大,且無法得到顯式結(jié)果。由于箱形截面的廣泛應(yīng)用，箱形結(jié)構(gòu)的受力分析引起了國外學(xué)者的普遍關(guān)注。旭，黃劍源56假定新的縱向位移函數(shù)，使位移函數(shù)能滿足力學(xué)基本條件，通

23、過變分原理建立了薄壁箱梁彎曲變形的微分方程與單元剛度系數(shù)計算公式。推出的剛度法計算結(jié)果與實測與有限元法的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。他們運(yùn)用一般桿系結(jié)構(gòu)剛度法原理,通過對普通桿件增加四個節(jié)點位移未知量,推導(dǎo)出了約束扭轉(zhuǎn)下翹曲、畸變和剪力滯效應(yīng)的箱形梁空間單元剛度矩陣和均布荷載作用下的等效節(jié)點力向量計算式,使箱形梁橋結(jié)構(gòu)分析可按一般桿系結(jié)構(gòu)剛度法進(jìn)行,減少了計算自由度和簡化了許多數(shù)據(jù)準(zhǔn)備,數(shù)據(jù)分析工作?；?曾慶元7根據(jù)薄壁箱梁的結(jié)構(gòu)特點,考慮實際工程中薄壁箱梁頂板和翼緣板不等厚度的實際情況,按薄壁箱形梁約束扭轉(zhuǎn)理論,對橋梁工程中常用的箱形截面扭轉(zhuǎn)中心位置計算公式進(jìn)行理論推導(dǎo)。在箱形梁的底板中點虛開1個切

24、口,把箱形梁截面上的剪力流分為開口截面剪力流和切口上的附加剪力流之和,利用這2種剪力流對切口引起的相對變形為零的條件,推導(dǎo)出計算單箱單室箱形截面扭轉(zhuǎn)中心位置的顯式表達(dá)式。箱形梁的結(jié)構(gòu)分析中，一維梁單元是較簡單的有限梁段單元法，是由我國學(xué)者羅旗幟于 1991 年提出的在普通梁單元節(jié)點位移模式中增加考慮剪滯效應(yīng)的翼板縱向位移參數(shù)8，并寫入其梁段單元的基本位移。有限條法是從有限元法發(fā)展出來的一種半解析方法。雖然與有限元法相比，它具有簡單、精度高、計算量小的優(yōu)點，但將其用于變截面箱梁仍存在一定的困難。后兩種方法是變分法中變系數(shù)微分方程式的兩種半數(shù)值解析法。因為變高度箱梁剪滯基本方程為變系數(shù)微分方程，直

25、接求取該方程的解析解比較困難，于是可以把變量表示為差分格式或三角函數(shù)形式，得到變量的近似解。箱型橋梁的剪力滯效應(yīng)是比較常見的，國外許多學(xué)者致力于該問題的研究，分別從解析理論、數(shù)值解法和模型試驗等方面對剪力滯問題提出了許多新設(shè)想和新理論，獲得了許多研究成果。對于閉口截面薄壁結(jié)構(gòu)Benscoter9提出的用于廣義多元截面薄壁結(jié)構(gòu)的理論，他考慮了轉(zhuǎn)動慣量和翹曲位移； Liu10運(yùn)用連續(xù)化方法提出了框筒結(jié)構(gòu)自由振動分析的能量方法。上面提到的這些方法大部分只適用于一定形式的薄壁結(jié)構(gòu)，對于比較復(fù)雜的截面形式，這些方法往往無能為力。而且由于他們使用線性函數(shù)或多項式作為縱向翹曲位移插值函數(shù)，計算精度受到限制。

26、近兩年，國外又有一些學(xué)者提出了分析薄壁結(jié)構(gòu)動力特性的新方法。如平11等人進(jìn)行的偏心周期載荷作用下薄壁結(jié)構(gòu)動力特性分析，在分析中運(yùn)用加權(quán)殘值法將運(yùn)動的薄壁結(jié)構(gòu)偏微分方程轉(zhuǎn)化為耦合的帶周期性系數(shù)的 Mathien 方程。在他的方法中，能夠反映彎扭耦合作用。在時域取級數(shù)進(jìn)行分析。1997 年，英世12等人進(jìn)行了開口薄壁結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)振動分析，建立開口薄壁桿約束扭轉(zhuǎn)振動的微分方程，并求其通解，給出主振型函數(shù)的表達(dá)式，與常見支承條件下桿的頻率方程。以上的方法沒有考慮剪切變形的影響。甘亞南,周廣春等1315以能量變分原理為基礎(chǔ),綜合考慮剪力滯后效應(yīng)、剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響,推導(dǎo)出箱形截面梁的控制微分方程

27、和相應(yīng)的自然邊界條件,據(jù)此獲得幾種常用邊界條件(簡支、懸臂、連續(xù)、兩端固支)的固有頻率方程,提出一種能對工程中常用矩形薄壁箱梁自振特性進(jìn)行分析的方法。同時為了研究薄壁箱梁的動力反應(yīng)特性,考慮了剪力滯后和剪切變形效應(yīng)的影響,利用能量變分原理建立了矩形截面箱梁動力反應(yīng)關(guān)于w(x,t),u(x,t)和H(x,t)的控制微分方程和自然邊界條件。據(jù)此對薄壁箱梁的動力反應(yīng)特性進(jìn)行了研究,獲得了相應(yīng)廣義位移的閉合解,揭示了箱形梁橋動力反應(yīng)的規(guī)律。Li 和 Ho16提出了考慮剪切變形的位移變分原理，對 Vlasov 理論進(jìn)行了修正，考慮了剪力滯后效應(yīng)，這種方法適用于復(fù)雜的開口和閉口截面構(gòu)件。他們的方法均使用線

28、性函數(shù)描述翹曲位移。Laudiero提出了一種用于薄壁梁動力分析的普遍方法。在他的方法中，考慮了剪切變形的影響，翹曲位移是由經(jīng)典理論解和剪切應(yīng)變引起的附加項組成?？?琦，馬 麟，徐 岳，世忠1720等建立了薄壁箱型梁橋在任意荷載作用下考慮剪力滯剪切變形影響的振動分析理論體系,為分析薄壁箱型橋梁等結(jié)構(gòu)振動時的剪力滯剪切變形效應(yīng)提供了計算手段。采用變分原理,推導(dǎo)了考慮剪力滯剪切變形效應(yīng)的薄壁箱梁振動控制微分方程、邊界與初始條件,探討了方程的解法,建立了方程解的差分格式,并論證了差分格式的穩(wěn)定性、收斂性。同時表明:在薄壁箱梁振動時,剪力滯效應(yīng)和剪切變形使跨中位移明顯增大,應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯,且剪力滯的

29、影響比剪切變形的影響要大。Xin21將上述用于穩(wěn)定分析的半解析方法用于振動分析，通過 Hamilton 變分原理得出一組微分方程和邊界條件，然后用 ODE 求解器求解，得出振動頻率和相應(yīng)的振型。這種分析方法考慮了剪切變形的影響，可以反映剪力滯后效應(yīng)。目前,將解析法應(yīng)用于此類問題的動力分析還不多見,動力分析中最常用的方法是數(shù)值法,特別是有限元法。1989 年，W.Y.Li、L.G.Tham.和 Y,K,Cheung22等人將樣條有限條法引入殼體的自由振動分析中。1993年，A.S.Gendy 和 A.F.Saleab23等人，研究了薄壁曲梁的彎扭耦合振動，給出了相應(yīng)的振型和頻率，方法考慮了彎扭耦

30、合效應(yīng)，彎扭引起的剪切變形，以與轉(zhuǎn)動慣量。Jerzy.W.Wekezer研究了開口截面薄壁梁的自由振動應(yīng)用有限元方法進(jìn)行分析，在構(gòu)件縱向分成許多桿單元，在截面沿薄壁中線分成許多任意的三角形子單元。這些單元的位移由三次多項式來模擬。Wang.Q.F24采用有限桿元法分析了等直構(gòu)件的自由振動，得出的結(jié)果很理想。永健,黃平明2527考慮到箱梁中剪力滯效應(yīng)的存在,通常采用的一般梁理論計算簡支箱梁的振動頻率會產(chǎn)生較大的誤差,對于寬跨比較大的簡支箱梁振動計算誤差尤其明顯。在考慮箱梁剪力滯效應(yīng)的基拙上,利用能量變分原理分析了簡支箱梁的自由振動,得到了考慮剪力滯效應(yīng)的簡支箱梁自振基頻的解析解。最后,考慮剪力滯

31、效應(yīng)對箱形梁結(jié)構(gòu)自振特性的影響進(jìn)行了討論,發(fā)現(xiàn)考慮剪力滯效應(yīng)后簡支箱梁的振動基頻降低,且箱梁的寬跨比對其降低程度影響最為顯著。王根會, 甘亞南2831以能量原理為基礎(chǔ),在綜合考慮了剪力滯后效應(yīng)、剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量等因素影響的情況下,根據(jù)彎曲變形時豎向和軸向的位移關(guān)系,從理論上推導(dǎo)出了等截面薄壁連續(xù)箱形梁的彎曲振動方程和自然邊界條件,并應(yīng)用分離變量法求出了箱形連續(xù)梁固有頻率方程的一般形式.作為算例,應(yīng)用所推導(dǎo)出的動力特征方程并結(jié)合MATLAB軟件對一連續(xù)的兩跨、三跨與四跨薄壁箱形梁的多階固有頻率進(jìn)行了計算,通過與一般梁理論和有限單元法計算結(jié)果的比較分析,證明了其研究方法的有效性和正確性。1.5

32、本文的主要研究容本文以薄壁結(jié)構(gòu)彎扭理論和應(yīng)用力學(xué)為基礎(chǔ)，結(jié)合哈密頓對偶體系，對薄壁箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)考慮動力效應(yīng)影響下的彎扭耦合情況進(jìn)行分析研究。主要研究容包括：（1）收集薄壁梁橋彎扭研究的相關(guān)資料并進(jìn)行系統(tǒng)分析，總結(jié)當(dāng)前箱型梁橋分析方法的研究現(xiàn)狀，明確研究方向和目標(biāo)；（2）假設(shè)薄壁箱型梁受到扭轉(zhuǎn)作用力，對桿件簡化，建立桿件分析的計算模型。（3）利用薄壁力學(xué)的方法建立整個結(jié)構(gòu)的拉格朗日方程，通過勒讓德變換引入對偶變量，將分析問題從拉格朗日體系導(dǎo)向哈密頓體系，導(dǎo)出問題的哈密頓對偶方程；（4）結(jié)合編制的計算機(jī)程序，求解相應(yīng)問題的哈密頓對偶方程，得到其高精度數(shù)值解；（5）選擇合適的算例，并用算例方法的

33、結(jié)果與本文方法計算結(jié)果相比較，驗證本文方法的精度，進(jìn)而討論彎扭作用對薄壁箱形截面梁橋結(jié)構(gòu)考慮動力效應(yīng)時彎扭耦合的影響。（6）指出本文方法的適用性，提出相應(yīng)的分析結(jié)論1.6重點解決的關(guān)鍵問題本文重點解決的關(guān)鍵問題如下(1)選擇合適的薄壁箱梁計算模型，在對其進(jìn)行彎曲扭轉(zhuǎn)分析時，考慮動力的影響；(2) 利用薄壁力學(xué)的方法建立整個結(jié)構(gòu)的拉格朗日方程，通過勒讓德變換引入對偶變量，將分析問題從拉格朗日體系導(dǎo)向哈密頓體系，導(dǎo)出問題的哈密頓對偶方程；(3)將整個問題用計算機(jī)MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)。2 箱梁結(jié)構(gòu)自由振動分析的哈密頓體系2.1 動力方程動力問題中，用梁軸線的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角兩個廣義位移表示梁任一點

34、沿軸、軸和軸的位移。但是這里的兩個廣義位移不僅是位置的函數(shù)，也是時間的函數(shù)，這里表示成和，同樣的其他與時間有關(guān)的物理量我們都以一樣的形式表示。設(shè)梁的密度為，對梁的微段，由牛頓第二定律可得動力方程 （2-1）利用關(guān)系 （2-2）將動力方程中的力消去，得到用位移表示的動力方程 （2-3）式中分別是梁中性軸的撓度、梁截面的轉(zhuǎn)角，梁截面上的剪力和彎矩。他們都是時間的函數(shù)。在分析震動問題時，對時間經(jīng)常采用化為頻域的方法。此時采用 （2-4）其中是圓頻率，于是動力方程變?yōu)?（2-5）令 ， ， （2-6）于是（2-5）可寫成矩陣形式如下 （2-7）2.2 拉格朗日函數(shù)由動力方程（2-7）可以得到 （2-8

35、）上式即為相應(yīng)于動力方程（2-7）的拉格朗日函數(shù)。2.3 哈密頓函數(shù)與正則方程 在哈密頓體系中，我們采取增加一類廣義位移的方式，使基本未知量的數(shù)量增至個，而相應(yīng)的微分方程則降低至一階，隨之方程個數(shù)增至 個，方程個數(shù)與基本未知量個數(shù)一樣。通常，同拉格朗日體系，n個基本未知量選用廣義位移，而另外個基本未知量則引入廣義動量 （2-9）變量稱為正則變量，由于與互為對偶，故也稱為對偶變量。再引入哈密頓函數(shù) （2-10）由（2-10）式可推導(dǎo)哈密頓正則方程： （2-11）由式（2-9）和式（2-11）可得 （2-12）此即為哈密頓正則方程。將q、p共同組成一個狀態(tài)向量 （2-14）于是哈密頓函數(shù)可以表述為

36、，則可得（2-15）為了將哈密頓正則方程(2-12)寫成一個較簡潔的形式，引入（2-16）即可將哈密頓正則方程(2-12)寫成一個一階微分方程（2-17）將拉格朗日函數(shù)寫成向量的形式（2-18）將向量形式的拉格朗日函數(shù)(2-16)代入廣義動量(2-19)，即得（2-19）式(2-18)表示了三者的關(guān)系，從中即可解出（2-20）代入哈密頓函數(shù)(2-18)即可消去q，使哈密頓函數(shù)H 的表述中只剩下兩類獨立變量：廣義位移q和廣義動量p?；喓蟮墓茴D函數(shù)記為（2-21）式中，。將式(2-21)代入哈密頓正則方程可得（2-22）將式(1-22)寫成向量形式 （2-23）引用式(2-11)，將共同組成一

37、個狀態(tài)向量，則式(2-22)可合并寫成一個一階微分方程形式的哈密頓正則方程（2-24）式中 ，矩陣 H 稱為哈密頓矩陣，辛的這個性質(zhì)與哈密頓體系是分不開的，凡是保守體系均可納入哈密頓體系的軌道，因此都是具有辛的性質(zhì)的。2.4 本章小結(jié) 本章首先推導(dǎo)了梁自由振動分析的拉格朗日方程，然后引入廣義位移的拉格朗日函數(shù)以與廣義動量,建立關(guān)于對偶變量的哈密頓函數(shù)，推導(dǎo)出了哈密頓正則方程，為下文在彎扭基礎(chǔ)上的振動分析做好鋪墊。3 雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析箱型結(jié)構(gòu)因其諸多優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用，結(jié)構(gòu)彎扭作用下的振動分析顯得尤為重要。箱型橋梁結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的自振特性是其本身固有的極其重要的力學(xué)特性，其自振頻率

38、、振型和阻尼等動力特性只是和結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)，是結(jié)構(gòu)本身所固有的屬性，是結(jié)構(gòu)振動的因，也是結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的重要特性。阻尼的大小由試驗測定，自振頻率與振型則可通過計算來確定。目前，薄壁桿件結(jié)構(gòu)動力分析方法有能量法，解析法。本章采用數(shù)值法，對考慮彎扭左右下的箱型截面梁橋作出假定，推導(dǎo)出箱型截面梁橋結(jié)構(gòu)震動分析的計算公式。3.1箱形截面橋梁的計算模型箱形截面橋梁的類型很多，根據(jù)其截面形式的不同，還可再分為T形截面橋梁、槽形截面橋梁、箱形截面橋梁等結(jié)構(gòu)體系。箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)實際上屬于薄壁桿件，目前國外建成的鋼筋混凝土箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)，其跨度()、截面寬度(b)、壁厚()大多均可滿足薄壁桿件的條件

39、。故箱形截面橋梁實質(zhì)上可以看作是薄壁桿件結(jié)構(gòu)的一種模型。薄壁桿件的橫截面最大幾何尺寸與長度相比較為小量級，它的壁厚與橫截面最大幾何尺寸相比也為小量級，通常滿足下列關(guān)系:(3-1)式中是截面輪廓曲線s的函數(shù)，b為截面寬度或高度的最大值，為桿件的長度。3.2坐標(biāo)系與基本假定薄壁桿件在外荷載作用下主要將發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)，若當(dāng)某些外荷載達(dá)到一定數(shù)值時，桿件還有可能發(fā)生失穩(wěn)。所以，對薄壁桿件的研究主要集中在研究薄壁桿件的彎曲、扭轉(zhuǎn)和穩(wěn)定性問題。 工程中常見的箱形截面橋梁大多采用兩端扭轉(zhuǎn)固定的線形支承、一端固定另一端自由等支承形式，在豎向和扭轉(zhuǎn)荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)，在此先對烏曼斯基提出的閉口薄壁桿

40、件的約束扭轉(zhuǎn)理論進(jìn)行簡單介紹。烏曼斯基閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論是鳥曼斯基于1939年提出的，采用如下基本假定:在小變形條件下，桿件截面外形輪廓線在其自身平面保持剛性即不變形，在截面外方向(桿軸z方向)可以任意翹曲即扭轉(zhuǎn)前后截面在與縱軸垂直的截面上的投影不變。此即為符拉索夫剛周邊假定。此理論方法簡單且適用性強(qiáng)，是分析閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)問題的常用方法。進(jìn)一步的研究表明，閉口薄壁桿件受截面周邊變形的影響實際上是不大的，而且箱形截面橋梁分布的橫隔板起到對截面的約束作用，更使其周邊變形可忽略不計，恰好迎合了符拉索夫剛周邊假定。所以應(yīng)用烏曼斯基閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論分析箱形截面橋梁結(jié)構(gòu)，是一種較為合理

41、的方法。建立如圖2-1中的直角坐標(biāo)系，其中為截面形心,s為截面扭心，x軸和y軸為截面的形心主慣性軸，z軸與桿件的母線平行，且通過截面形心。曲線坐標(biāo)s沿桿件外形輪廓線量取，桿件截面上任一點p可由坐標(biāo)z和s完全確定?，F(xiàn)規(guī)定，位移u,v,w分別沿x,y,z軸正向為正，轉(zhuǎn)角 與扭角 分別按右手法則繞x, y, z軸正向轉(zhuǎn)動為正。xyo圖2-1 選用坐標(biāo)系 在薄壁桿件的彎扭作用問題中，不失一般性，我們考慮桿件在平面的彎曲，在平面的彎曲與繞軸的扭轉(zhuǎn)。在以下的薄壁桿件彎扭作用分析中，我們采用如下基本假定: 研究薄壁桿件繞z軸扭轉(zhuǎn)時，將符拉索夫剛周邊假定應(yīng)用于截面的切向位移 (3-2) 式中：為截面上任一點p

42、的切線到扭心的距離；為截面z的扭轉(zhuǎn)角。此外，沿曲線坐標(biāo)s方向的環(huán)向應(yīng)力和法向應(yīng)力遠(yuǎn)比橫截面的軸向應(yīng)力 小，可忽略不計。3.3薄壁箱形截面橋梁在彎扭作用下的插值法在薄壁桿件的彎扭作用問題中，為了更真實的表示薄壁桿件結(jié)構(gòu)的實際變形，我們采取插值函數(shù)的思想對桿件的翹曲位移進(jìn)行假定，以此達(dá)到逼近桿件實際變形的效果；將等效后的工字形薄壁結(jié)構(gòu)依次劃分為若干個有限寬度得到條形單元，沿條形單元的豎向真實的的連續(xù)函數(shù)（廣義位移），而沿橫向用插值函數(shù)來模擬翹曲位移函數(shù)：(3-3)式中:為截面所分條單元交界線處的縱向翹曲位移;為關(guān)于各交界線處縱向翹曲位移的插值函數(shù)?？梢赃x取線性、二次、三次或其他高次插值函數(shù)來模擬桿

43、件的實際縱向翹曲位移。此處，我們只求清晰的介紹理論，故選用較簡單的分段線性插值函數(shù)來描述薄壁桿件的縱向翹曲位移： 圖3-2截面線性插值按圖3-2依次寫出(3-4a)(3-4b)(3-4c)(3-4d)(3-4e)(3-4f)(3-4g)式中：表示第 i 點的曲線坐標(biāo)，設(shè)箱形截面左上角點為初始坐標(biāo)，順時針依次為（如圖 3-2 所示）；表示薄壁桿件截面各分段間距，其值等于。將公式（3-4）求導(dǎo)，得（3-5a）（3-5b）（3-5c）（3-5d）（3-5e）（3-5f）（3-5g）引用向量，則縱向翹曲位移函數(shù)用向量的形式可表示為 （3-6）3.3.1箱型截面橋梁的哈密頓對偶方程和拉格朗日方程由幾何方

44、程可知:（3-7a）由物理方程可知：（3-7b）將公式(3-6)代入應(yīng)變表達(dá)式(3-7)，可得用包含描述縱向位移的插值函數(shù)的向量表示的軸向應(yīng)變和剪應(yīng)變，分別為(3-8)式中則體系總勢能為： （3-9）式中：E 、G 分別為材料的彈性模量和剪切模量；圣維南扭轉(zhuǎn)常數(shù)，其值等于截面 z 的扭轉(zhuǎn)角；分別為箱形截面橋梁受到沿縱向變化的分布荷載；箱形截面橋梁受到的扭矩；，為箱形截面橋梁所產(chǎn)生的軸向應(yīng)變能；分別為截面繞 x 、 y 軸的慣性矩，其值分別為，；繞扭心的極慣性矩，其值等于；與布雷特剪應(yīng)力對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)慣性矩，其值等于；沿 x 方向的剪切面積，其值等于；混合剪切面積，其值等于；沿 y 方向的剪切面積，

45、其值等于；x 方向的剪切靜矩，其值等于；y 方向的剪切靜矩，其值等于。由體系總勢能公式（3-8）可求得箱形截面橋梁的勢能密度，即拉格朗日函數(shù)： （3-10）將上式寫成矩陣的形式可表示為 （3-11）式中： ， 拉格朗日靜力平衡方程為：（3-12）由式（3-11）有：（3-13）（3-14）將式（3-13）、（3-14）帶入（3-11）得：（3-15）其中，3.3.2結(jié)構(gòu)自震分析當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)自由振動時，設(shè)為結(jié)構(gòu)單元的密度，在靜力平衡方程式（3-15）的基礎(chǔ)上，加上結(jié)構(gòu)自由振動時的慣性力，并將相關(guān)方程改為運(yùn)動方程便可得到結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程：（3-16）其中， 在分析動力問題時，對時間t 常采用化為頻域的

46、方法，此時采用：（3-17）將式（3-17）代入式（3-16）可得結(jié)構(gòu)自振問題的動力方程： （3-18）由于自振分析時，僅考慮自身的振動特性，即涉與自身頻率，陣型等動力特性問題，因此毋需施加外荷載，由此可取，帶入后可知： （3-19）式中：（3-20）對比系數(shù)可得： ， ，為了將方程導(dǎo)入哈密頓對偶體系，首先導(dǎo)入變量的對偶變量：（3-21）解出： （2-22）導(dǎo)入哈密頓密度函數(shù)： （3-23）于是得到哈密頓對偶方程： （3-24）其中：，令，則哈密頓正則方程還可表示為： （3-25）本問題中， 接著可以運(yùn)Matlab編制程序，進(jìn)行求解計算，從而得到頻率。3.4 本章小結(jié)本章首先根據(jù)箱形截面橋梁的

47、特點，基于薄壁桿件理論建立了箱形截面橋梁彎扭分析的計算模型，然后由模擬縱向翹曲位移的線性插值函數(shù)導(dǎo)出了箱形截面橋梁彎扭分析的哈密頓對偶求解體系，在由拉格朗日靜力方程導(dǎo)出振動分析的拉格朗日方程，并可由此編制相應(yīng)的Matlab分析程序，得出高精度的數(shù)值解，作為在工程中分析薄壁箱型梁在受到作用力時變形的依據(jù)。4 工程算例4.1算例1如圖4-1所示：某懸臂等厚雙閉室箱形截面梁，跨度 L= 15m，其材料的力學(xué)參數(shù)和幾何參數(shù)分別為：材料為鋼筋混凝土， MPa，MPa，結(jié)構(gòu)單元密度；截面尺寸上下翼緣寬 2a = 6.0m，腹板高 2b= 1.5m，厚度t=0.3m。Lzy圖4-1（a）雙壁室箱梁toyx2

48、b2a圖4-1(b) 雙壁室箱梁 圖4-2 截面線性插值截面性質(zhì)：計算所得結(jié)果如下所示：表4-1 各階頻率 頻率（1/s）計算結(jié)果66.5107199.5313363.54.2 算例2如圖4-1所示：某等厚懸臂雙壁室箱形截面橋梁，跨度 l = 18m，其材料的力學(xué)參數(shù)和幾何參數(shù)分別為：材料為鋼筋混凝土， MPa，MPa，結(jié)構(gòu)單元密度；截面尺寸上下翼緣寬 2a = 9.0m，腹板高 2b = 1.5m，厚度t=0.25m。截面特性；沿用圖4-2截面線性插值，則有計算所得結(jié)果如下所示：表4-2 各階頻率頻率（1/s）計算結(jié)果54.599149.5254302.54.3 本章小結(jié)本章主要討論了薄壁箱

49、梁結(jié)構(gòu)的動力特性分析?；诒”诹旱恼駝永碚摚瑢栴}的求解體系從拉格朗日體系導(dǎo)向哈密頓體系，根據(jù)上章推導(dǎo)的公式，運(yùn)用精細(xì)積分法求出算例的自振頻率，證明了該方法的合理性、有效性和實用性。5 結(jié)論與展望薄壁箱型橋梁因其結(jié)構(gòu)的諸多優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于大跨徑橋梁，然而有許多的問題，尤其是振動特性等問題用現(xiàn)行的薄壁桿件理論還無法解決。所以，對薄壁箱梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究顯得非常必要，具有重大的現(xiàn)實意義。本文采用基于薄壁桿件結(jié)構(gòu)彎扭理論的計算模型，在豎向彎曲作用下，薄壁梁將發(fā)生平面彎曲和繞扭轉(zhuǎn)中心扭轉(zhuǎn)兩種作用。本文通過引入計算模型的對偶變量，將問題的求解從拉格朗日體系導(dǎo)向哈密頓對偶體系，從而導(dǎo)出問題的哈密頓對偶方程，

50、然后應(yīng)用兩端邊值問題的精細(xì)積分法求得問題的高精度數(shù)值解。以矩形薄壁梁橋為例分析了薄壁結(jié)構(gòu)梁橋的應(yīng)力情況以與振動頻率。通過分析算例的結(jié)果，得出以下結(jié)論：1 薄壁箱梁的彎扭分析：應(yīng)用精細(xì)積分法與編制的相應(yīng)的 Matlab 語言程序求解箱梁的哈密頓對偶求解體系，分析了箱梁在彎扭作用下的側(cè)移和翹曲應(yīng)力，通過與文獻(xiàn)中其他方法所得結(jié)果的對比，驗證了本文方法的正確性與可行性；所得計算結(jié)果反映了箱形截面梁應(yīng)力的變化情況，符合箱形截面應(yīng)力的實際變化情況。2薄壁箱梁的振動分析在結(jié)構(gòu)彎扭的基礎(chǔ)上，按照勒讓德變換的規(guī)則，導(dǎo)入對偶變量，進(jìn)而導(dǎo)入哈密頓對偶體系，從而得到自由振動分析的哈密頓對偶方程。通過相應(yīng)的Matlab

51、 語言程序求解箱梁的振動頻率。同時提出的插值精細(xì)積分法，將精細(xì)積分法的應(yīng)用圍擴(kuò)展到二維問題中，拓寬了其應(yīng)用圍在并解決相關(guān)類似問題上提供了一種新的思路和途徑。有待進(jìn)一步研究的問題：（1）本文對薄壁結(jié)構(gòu)在彎扭作用下的振動效應(yīng)進(jìn)行了分析。其假定條件是基于剛周邊假定的，但復(fù)雜結(jié)構(gòu)中往往會有畸變出現(xiàn)，不符合此項假定?？紤]畸變的振動效應(yīng)，有待進(jìn)一步研究。（2）本文只對直線橋梁進(jìn)行了計算研究。隨著社會的發(fā)展，現(xiàn)實生活中曲線橋梁的應(yīng)用越來越廣泛。對曲線橋梁的研究還需進(jìn)一步解決。致時光飛逝，四年的大學(xué)生活即將結(jié)束。在歷時四年的學(xué)習(xí)生涯中，我得到眾多老師和同學(xué)們的幫助和關(guān)心支持，讓我在各方面都有了進(jìn)步和提高。本文

52、是在指導(dǎo)老師胡啟平教授的精心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。所以首先我要感指導(dǎo)老師胡啟平教授，在我寫畢業(yè)論文期間耐心的為我們講授課題研究的方法，使我樹立了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，胡老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、創(chuàng)新的研究思想、淵博的學(xué)識，給我留下了極其深刻的印象，使我受益匪淺。在此謹(jǐn)向指導(dǎo)教師致以最崇高的敬意和最衷心的感。然后我要感我的學(xué)長湯方舟，在論文編寫的過程中耐心的給我們講解疑難問題，并在我們遇到困難時給予我們鼓舞，使得我的論文能夠順利的完成。另外我要感和我一起做畢業(yè)設(shè)計的所有同學(xué)以與指導(dǎo)我們畢業(yè)設(shè)計的所有的學(xué)長，我們一起融洽的度過了最后的三個月，在這三個月里，你們在老師不在的時候給了我很大的幫助。感我的09級同

53、窗好友，感你們在生活上對我不斷的關(guān)心，感你們在學(xué)習(xí)上對我有益的幫助！至此論文完成之際，我感教育培養(yǎng)我多年的父母，是你們多年辛苦的付出、與期待才才讓我有了向上的動力和學(xué)習(xí)的決心，成就了今天的我。不管是過去、現(xiàn)在還是將來，家人永遠(yuǎn)是我不斷前進(jìn)的動力。在此，由衷的感你們。參考文獻(xiàn)1韋芳芳,吳 京, 健,呂志濤,吳勝興.薄壁箱梁廣義坐標(biāo)法剛度矩陣的推導(dǎo)與應(yīng)用. 計算力學(xué)學(xué)報,20072 Chu K H,Dudnik E.Concrete box girder bridges analyzed as folded platesJ.ConcreteBridge DesigerACI,1969,(SP23):221-2463 黃劍源,元忠.錢塘江二橋變截面箱型連續(xù)橋梁剪滯效應(yīng)的有限元分析J.橋梁建設(shè),1994,(1):7076.4 羅旗幟.薄壁箱型梁剪力滯計算的梁段有限元法J.大學(xué)學(xué)報, 1991,11(1):6370.5旭，黃劍. 薄壁箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的剛度法. 工程力學(xué)，19956旭，黃劍. 薄壁箱形梁橋約束扭轉(zhuǎn)下翹曲、畸變和剪滯效應(yīng)的空間分析.工程力學(xué)，19957淮，曾慶元. 箱梁截