線(xiàn)性代數(shù)---特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)材料

1、特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)幾類(lèi)特殊行列式1. 上（下）三角行列式、對(duì)角行列式（教材 P7例5、例6）2. 以副對(duì)角線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)的行列式00川0a1na11a12IIIa1n川0III0a1n00a2,na2nJa21a22III0+phdqiFh0IIIa2,n0+r+fnf000+r0an,2川an _d,n Aan _J,n+ann000an1III00an1an2川an,n_1annn（n）=（-1） 2 Sn92,n JHanl3. 分塊行列式（教材P14例10）一般化結(jié)果：Cn m°m n0n mBm0n>mACnABmCm壞Bm0m亦BmCm n If Bm=A.B

2、m4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4種特殊行列式的結(jié)果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！ !！二、低階行列式計(jì)算二階、三階行列式一一對(duì)角線(xiàn)法則（教材P2、P3）三、高階行列式的計(jì)算【五種解題方法】1）利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式；2）利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式;3）利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算適用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計(jì)算;4）遞推法或數(shù)學(xué)歸納法;5）升階法（又稱(chēng)加邊法）【常見(jiàn)的化簡(jiǎn)行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式例1（ 2001年考研題

3、）IIIIII020000199900IIIIIIIII002001分析：該行列式的特點(diǎn)是每行每列只有一個(gè)元素,因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進(jìn)行計(jì)算。0 1 2 . 1999 0 2 001! = 2001!解法一：定義法D =(-1) z,n2. ,2,1,n)2001! =(-1)解法二：行列式性質(zhì)法 利用行列式性質(zhì)2把最后一行依次與第n-1,n-2,2,1行交換（這里n=2001）,即 進(jìn)行2000次換行以后，變成副對(duì)角行列式。D =(-1嚴(yán)IIIIIIIII2001002001 (2001)=(一 1)2001(_ 1) 22001! = 2001!0200019990IIIII

4、I解法三：分塊法IIIIII020000199900IIIIHIII 0 0 2001利用分塊行列式的結(jié)果可以得到0000IIIIII02102000(2000-1)D=2001+RiRb+FbF=2001 (-1) 2 2000!=2001!01999III0020000III00解法四：降階定理展開(kāi)按照每一行分別逐次展開(kāi)，此處不再詳細(xì)計(jì)算。2. 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式例21 a11111a11111 b11111 -b分析：該行列式的特點(diǎn)是很多,可以通過(guò)口-2和r3-r4來(lái)將行列式中的很多1化成0.解:aa0011001100 I11 -a1111-a112-

5、A0-a11=ab=ab00bb00114 00111111 -b1111 -b0011-b|D 二11000-a000110011-b2b23a3 a23a3afa afb2 afbs a：b4b3分析：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是每行a2b2 蟲(chóng) a4bfb：，（盯 0）a的次數(shù)遞減，b的次數(shù)增加特點(diǎn)與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將 D化成范德蒙行列式解:33 3 3二 a a?a3a4(5已2（與a1a1a1（蜀(蜀2（E）3a2a2a2隹）（與世）3a3a3a3（蟲(chóng)）凸2(笛3a4a4a4a b32)a2a3a41111V(2f 33 3 3u = a a? a3 a433 3 3-

6、a1 a2a3a4 T 丨1勺：衛(wèi)ai練習(xí)：（11-12年IT專(zhuān)業(yè)期末考試題）若實(shí)數(shù)x, y, z各不相等，則矩陣M二的行列式M二3. 利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算Dn 二aIH00IHIHIHIH00HIa0分析：該行列式特點(diǎn)是a處于主對(duì)角線(xiàn),b在a后的一個(gè)位置，最后一行中b是第一個(gè)元素，a是最后一個(gè)元素 解：按第一列展開(kāi):ab0IIIIII00b0ab001十Dn =a (_1)IIIIII+ (-1)曲 ba bh000IIIIIIab44a b0000a=a 尹+(-1)n +.b宀an +(T)n +bn練習(xí)：（11-12年期中考試題）Dn4.

7、行（列）和相等的行列式Dn =IIIIIIIII分析：該行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線(xiàn)上元素為a，其余位置上都是b?？蓪⒌?,3,n列加到第1列上。（類(lèi)似題型:教材 P12例 8, P27 8(2)120川0分析：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是第一行、第一列及主對(duì)角上元素不為0,其余位置都為解:1bIII b1bIIIb1a川b1a -bin0+1I-+4+4= a+( n-1)b4q1b川a10HIa bDn 可a (n-1)b二a (n -1)b(a -b)n5. 箭頭形（爪行）行列式III 川 川IHIII0.解此類(lèi)行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。解：分別從第2,3，,n列提出因子2,3,，n,然后將

8、第2,3，,n列分別乘以-1, 再加到第1列上。1 1 1二111街10 -Z 7 - - III -23ni _2123n1 10 川 0010 川 0101 川 0=n!001 川 0IIIIIIIIIIII1 0 0 川 100 0 川 1D =n!=n 八(一1)i 2 I注：爪形行列式非常重要,很多看似復(fù)雜的行列式通過(guò)簡(jiǎn)單變化以后都可以化成爪形行列式進(jìn)行計(jì)算!練習(xí)：1) 教材習(xí)題P28: 8(6)2）（ 11-12年期末考試題）a23An =n -1n3）（ 11-12年IT期末考試題）-2-3III(n1)_na0III000aIII00IIIIII00IIIa000III0ax

9、a1a 2a n _1anx 1000x 0992a010x 00n 10x 000na2a3|l|ana1D = q4X2a3|l(a2X3|l|III HIa2a3III分析：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是每一行只有主對(duì)角線(xiàn)上的元素與第一個(gè)元素不同 解:Xia2a3IIIanX2 - a：0III00X3 'a3III0IIIIII00IIIXn - aax1D ai Xia - xXix 一 a-1= (Xi ai) (x2 -a2)川(xn an )a2a3IIIanX2 - a2X3 - a3Xn - ai0川00fai+川i40i0+01川ia2X2 一 a：IIIanXn _ anai

10、i =4 xi - ai=(捲aj(X2 a?)川X a.)00n ai-ji.i (Xi-a)ii 4ixi _ ai該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對(duì)稱(chēng)性，教材Pi5例ii就是遞推法的經(jīng)典例6. 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法題。利用同樣的方法可以計(jì)算教材 P27 8(4)。7.升階法通常計(jì)算行列式都采用降階的方法， 是行列式從高階降到低階，但是對(duì)于某些行 列式，可以通過(guò)加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進(jìn)行計(jì)算i川ii+a2 IIIii HI i+an例 8 (教材 P28 8(6)i+aii Dn =*ri分析：該題有很多解法，這里重點(diǎn)介紹升階法。因?yàn)樾辛惺街杏泻芏鄆,因此可以增加一行i,使

11、得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后還要增加一列， 以保持行列式的形狀。為了使行列 式的值不改變，因此增加的列為i,0,0,0.111III1111III1定理301+a11III1-1a10III0.a”(1+£ 丄)Dn =011+a2III1=-10a2III0=a a2.+p+p+¥i=1 ai011III1+an-100IIIan例 9 (教材 P27 6(4)1111abcdD=2,22,2abcd4,44,4abcd分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì)6將行列式化為上三角行列式，也可以對(duì)比范德蒙行列式的形式,通過(guò)添加一行和一

12、列把行列式變成范德蒙行列式以后再進(jìn)行計(jì)算。解法4 “3 $ -ar?D 二2網(wǎng)bacadab(b -a)2 2 2b (b -a )c(c -a)2 z 22c (cad(d -a)2 2 2d (d -a )按第一列=開(kāi)(ba)(ca)(da)bb2 (b a)cd22c (c + a) d (d +a)c £(b _a)(c _a)(d -a)c3 £b2 b (b a)d -b.2c -b2 2 2 2c (c + a) b (b+a) d (d+a) b (b+a)按第一行展開(kāi)(b -a)(c-a)(d -a)c-bd -bc2(c + a)-b2(b + a) d 2(d+a)-b2(b+ a)