線(xiàn)性代數(shù)總結(jié)

1、線(xiàn)性代數(shù)總結(jié) 轉(zhuǎn)貼 2008-05-04 13:04:49字號(hào)：大 中 小線(xiàn)性代數(shù)總結(jié)一、課程特點(diǎn)特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類(lèi)型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。 特點(diǎn)二：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)， 更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。 復(fù)習(xí)線(xiàn)代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”?！叭跁?huì)”設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處； “貫通”掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。二、行列式與矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。行列式的核心內(nèi)容是求行列式

2、， 包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算， 其中具體行列 式的計(jì)算又有低階和 階兩種類(lèi)型； 主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行 列展開(kāi)定理化為上 下三角行列式求解。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于 、 、 等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì) （其中 為矩陣 的特征值）。矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、 、 、 的性質(zhì)、矩陣 可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。三、向量與線(xiàn)性方程組 向量與線(xiàn)性方程組是整個(gè)線(xiàn)性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。 相比之下， 行列式和矩陣可視作是為了 討論向量和線(xiàn)性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)； 后兩章特征值、 特征向量、 二次

3、 型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線(xiàn)性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切， 很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。 復(fù)習(xí)這 兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系， 因?yàn)檫@樣做首先能夠保 證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線(xiàn)性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線(xiàn)性方程組（一般式）還具有兩種形式：（）矩陣形式 ，其中（）向量形式 ，其中向量就這樣被引入了。1）齊次線(xiàn)性方程組與線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系齊次線(xiàn)性方程組 可以直接看出一定有解， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條 性質(zhì)“零向量可由任何向量線(xiàn)性表示”。齊次線(xiàn)性方程組一定有解又可以分

4、為兩種情況： 有唯一零解； 有非零解。當(dāng)齊次線(xiàn)性方 程組有唯一零解時(shí)，是指等式 中的只能全為 0 才能使等式成立，而當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組有非 零解時(shí)，存在不全為 0 的使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線(xiàn)性相關(guān) 無(wú)關(guān)的定 義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線(xiàn)性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線(xiàn)性方程組 是 否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)。 可以設(shè)想線(xiàn)性相關(guān) 無(wú)關(guān)的概念就是 為了更好地討論線(xiàn)性方程組問(wèn)題而提出的。2）齊次線(xiàn)性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)而引入的。 秩的定義是“極大線(xiàn)性無(wú) 關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有

5、說(shuō)明向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中有 個(gè)向量， 即線(xiàn)性無(wú)關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過(guò)“秩 線(xiàn)性相關(guān) 無(wú)關(guān) 線(xiàn)性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時(shí)，的列向量組 線(xiàn)性相關(guān)，此時(shí) 齊次線(xiàn)性方程組 有非零解，且齊次線(xiàn)性方程組 的解向量可以通過(guò) 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量（基 礎(chǔ)解系）線(xiàn)性表示。3）非齊次線(xiàn)性方程組與線(xiàn)性表示的聯(lián)系非齊次線(xiàn)性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線(xiàn)性表示，即使等式 成立 的一組數(shù) 就是非齊次線(xiàn)性方程組 的解。當(dāng)非齊次線(xiàn)性方程組 滿(mǎn)足時(shí)，它有唯一解。這一 點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理： “若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而線(xiàn)性相關(guān)，則向量可由向量組 線(xiàn)性表

6、 示，且表示方法唯一”。性質(zhì) 1. 對(duì)于方陣 有：方陣可逆 的行列向量組均線(xiàn)性無(wú)關(guān) 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解對(duì)于一般矩陣 則有： 的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 僅有零解，有唯一解（如果有解）性質(zhì) 2齊次線(xiàn)性方程組 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)，而非齊 次線(xiàn)性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線(xiàn)性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線(xiàn)性相關(guān)、 行列式、秩、線(xiàn)性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁。應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論1向量組線(xiàn)性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線(xiàn)性相關(guān)向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線(xiàn)性表出。2）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 向量組中沒(méi)有一個(gè)向量可由其余的向量線(xiàn)

7、性表出。3 ）若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而 線(xiàn)性相關(guān)，則向量 可由向量組 線(xiàn)性表示，且表示法唯一。2向量組線(xiàn)性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：1）一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線(xiàn)性表示。2）如果向量組 可由向量組 線(xiàn)性表示，則有3）等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；4）任何一個(gè)向量組都與它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)。3常見(jiàn)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組：1) 齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；2) 、 、 這樣的單位向量組；3) 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。4關(guān)于秩的一些結(jié)論：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 若有 、 滿(mǎn)足 ，則 ；6) 若 是可逆矩陣則有 ；7) 若 可逆則有 ；8) 。4線(xiàn)性

8、方程組的解：僅有零解；當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮多解；1) 非齊次線(xiàn)性方程組 有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組2)若 有無(wú)窮多解則 有非零解；3) 若 有兩個(gè)不同的解則 有非零解；4) 若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時(shí)有唯一解，5) 若 則 沒(méi)有解或有唯一解。四、特征值與特征向量 相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)， 本章不是線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)， 但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。 其原因是 解決相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量?jī)?nèi)容既有行列式、矩陣又有線(xiàn)性方程組和線(xiàn)性相關(guān)， “牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式如 、 、 和 。常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值 ，則有 ；若矩陣

9、 有特征值 ，則 、 、 、 、 、 分別有特征值 、 、 、 、 、 ，且對(duì)應(yīng)特征向量 等于 所對(duì)應(yīng)的特征向量；2相似矩陣及其性質(zhì)定義式為 ，此時(shí)滿(mǎn)足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣 與矩陣 等價(jià)（ ）的定義式是 ，其中 、 為可逆 矩陣， 此時(shí)矩陣 可通過(guò)初等變換化為矩陣 ，并有 ；當(dāng) 中的 、 互逆時(shí)就變成了矩陣相似 （ ）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是 ，其中 為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、 合同、 相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價(jià)，反 之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。3矩陣可相似對(duì)角化的條件包括兩個(gè)充要條件和

10、兩個(gè)充分條件。充要條件1 是 階矩陣 有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件 2 是 的任意 重特征根對(duì)應(yīng)有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件 1 是 有 個(gè)互不相 同的特征值；充分條件 2 是 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其相似對(duì)角化階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 必可正交相似于對(duì)角陣 ，即有正交矩陣 使得 ，而且正交矩陣 由 對(duì)應(yīng)的 個(gè) 正交的單位特征向量組成。可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來(lái)求 比較困難；但如果 有矩陣 使得 滿(mǎn)足 （對(duì)角矩陣）的話(huà)就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)而對(duì)角陣 的冪 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩 陣的相似對(duì)角化。因?yàn)椋坏袛嗑?/p>

11、陣的相似對(duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中 的 、 也分別是由 的特征向量和特征值決定的。五、二次型本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章 特征值和特征向量 的一個(gè)延伸， 因?yàn)榛涡蜑闃?biāo) 準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是 上一章相似對(duì)角化在 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)的應(yīng)用。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1二次型及其矩陣表示。2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。3正負(fù)定二次型的判斷與證明。標(biāo)簽 : 線(xiàn)性代數(shù)總結(jié) .學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)總結(jié)2009年06月14日 星期日 上午 11:12學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)總結(jié)線(xiàn)性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了， 但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒(méi)有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)

12、一下這門(mén)課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我 們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。這門(mén)課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：線(xiàn)性代數(shù)是 物理系等專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線(xiàn)性代數(shù) 的基本思想方法和行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣論、二次型、線(xiàn)性空間、 線(xiàn)性變換等方面 的系統(tǒng)知識(shí)， 它一方面為后繼課程 （如離散數(shù)學(xué)、 計(jì)算 方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)；另一方面還對(duì)提高學(xué) 生的思維能力，開(kāi)發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、 基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能 力等重要作用。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問(wèn) 題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計(jì)

13、算理論基礎(chǔ)的線(xiàn) 性代數(shù)，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。我總結(jié)了線(xiàn)性代數(shù)的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為這已經(jīng)為 時(shí)過(guò)晚，但我不這么認(rèn)為。從這門(mén)課程中，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是線(xiàn)性代 數(shù)的一些相關(guān)知識(shí)（行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣論、二次型、線(xiàn)性空間、 線(xiàn)性變換等方面的系統(tǒng)知識(shí)），更重要的是，從這門(mén)課程中我們應(yīng)該掌 握一種很重要的思想學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個(gè)工具狹隘的 講是線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)數(shù)學(xué)知識(shí)，但從廣義地說(shuō)：這個(gè)工具應(yīng)該是生活中的 一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、 機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等） 。 在這門(mén)課程給我的感觸就是：這門(mén)課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識(shí)的方法。我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門(mén)知識(shí)的方

14、法是：一、 明確我們要學(xué)習(xí)什么知識(shí)或者要掌握哪 些方面的技能。只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會(huì)有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識(shí)有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒(méi)有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識(shí)沒(méi)有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒(méi)有貶低任何人的意思）。不過(guò)我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專(zhuān) 業(yè)的知識(shí)，掌握專(zhuān)業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。二、 知道知識(shí)是什么， 了解相關(guān)知識(shí)的概念 和定義。這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng) 才能得以開(kāi)展，知識(shí)是人類(lèi)高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說(shuō)話(huà) 那么通俗易懂。 所以我們要想把知識(shí)學(xué)好， 就得在概念上下功夫。 例

15、線(xiàn) 性代數(shù)這門(mén)課程中的實(shí)二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么 叫做實(shí)二次型。否則這一塊的知識(shí)沒(méi)有辦法開(kāi)展。要知到我們學(xué)的知識(shí)可以用到何處， 或者能幫我們解決什么問(wèn)題。其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。但是對(duì)于我們的課本知識(shí)非常得有用， 因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識(shí)。說(shuō)句實(shí)在話(huà)，我們確實(shí)不知到能為我們 生活中能解決什么問(wèn)題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來(lái)一定 會(huì)有用。有一句話(huà)說(shuō)得好，書(shū)到用時(shí)方恨少，說(shuō)得是這個(gè)道理。總之， 我們現(xiàn)在要為以后遇到問(wèn)題而積累解決問(wèn)題的方法，我們現(xiàn)在是在為以 后的人生在打基礎(chǔ)。四、 學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會(huì)如何去操作。像線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。如在我們

16、學(xué)習(xí)正 交矩陣這個(gè)概念后，我們得要學(xué)會(huì)如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn) 識(shí)了矩陣的對(duì)角化定義之后，我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對(duì)角化。其 實(shí)，就是學(xué)會(huì)如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途 徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。只有掌握了這部分， 我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問(wèn)題，就有了這個(gè)工具去為 我們解決實(shí)際的問(wèn)題。五、將所學(xué)習(xí)的知識(shí)反作用于生活 （即將所學(xué)的知識(shí)用到實(shí)處）這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。一個(gè)人的解決問(wèn)題的能力應(yīng)該和他所 掌握的知識(shí)成正比。 學(xué)之所用才叫學(xué)到實(shí)處， 才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。 記得這個(gè)給我印象最深的是：在我們學(xué) C+編程時(shí)，有一道題是講

17、的是 用一百元錢(qián)去買(mǎi)母雞、公雞、小雞。母雞 5 元錢(qián)一只，公雞 3 元錢(qián)一只， 小雞 3 只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可 能。這其實(shí)就是一道最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性代數(shù)題了，設(shè) x 代表小雞， y代表公雞， z 代表母雞：則根據(jù)題意有線(xiàn)性方程組x3+3y+5z=100x+y+z=100解此線(xiàn)性方程組得x=3z/4+75y=-7z/4+25 z=z 用 z 作為循環(huán)變量控制，這個(gè)程序不到十行就可以編出來(lái)。這就說(shuō)明學(xué) 習(xí)知識(shí)總會(huì)有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相 信以后解決問(wèn)題的方法多了，大腦用活了，我們的競(jìng)爭(zhēng)力就強(qiáng)了，自然 在社會(huì)上有一席之地?？傊何覀€(gè)人覺(jué)得學(xué)習(xí)

18、知識(shí)很有用處。雖然就業(yè)壓力在壓著大家，大家為就業(yè)而奔波，但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點(diǎn)。把我們手頭上的事 做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個(gè)“胖胖”所說(shuō)的話(huà)：“一 個(gè)蘿卜，一個(gè)坑”，一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地。相信我們 80年后或 90 年后的一代能夠擔(dān)任起國(guó)家建設(shè)的重任和使命。樓主大中小發(fā)表于 2008-10-10 23:50 只看該作者線(xiàn)性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié) . 關(guān)于： 稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)基， 中的自然基，單位坐標(biāo)向量； 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； ； ； 任意一個(gè) 維向量都可以用 線(xiàn)性表示 . 行列式的計(jì)算： 若都是方陣（不必同階） ,則 上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積 關(guān)于副對(duì)角線(xiàn)： 逆矩陣的求法

19、: 方陣的冪的性質(zhì)： 設(shè) ，對(duì) 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個(gè)多項(xiàng)式 . 設(shè) 的列向量為 , 的列向量為 ， 的列向量為 , 用對(duì)角矩陣 左乘一個(gè)矩陣 , 相當(dāng)于用 的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對(duì)角矩陣 右乘一個(gè)矩陣 , 相當(dāng)于用 的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的列向量 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)元素相乘 ,與分塊對(duì)角陣相乘類(lèi)似 , 即： 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng) 時(shí) , 和 同解（ 列向量個(gè)數(shù)相同） , 則： 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng) , 從而秩相等； 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線(xiàn)性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系 . 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件： 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 是

20、的解； . 零向量是任何向量的線(xiàn)性組合 , 零向量與任何同維實(shí)向量正交 . 單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 部分相關(guān) , 整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān) , 部分必?zé)o關(guān) . 原向量組無(wú)關(guān) , 接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān) , 原向量組相關(guān) . 兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān) 對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 向量組 中任一向量 都是此向量組的線(xiàn)性組合 . 向量組 線(xiàn)性相關(guān) 向量組中至少有一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線(xiàn)性表示向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān) 向量組中每一個(gè)向量 都不能由其余 個(gè)向量線(xiàn)性表示 . 維列向量組 線(xiàn)性相關(guān) ；維列向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 若 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而 線(xiàn)性相關(guān) , 則 可由 線(xiàn)性表示

21、, 且表示法惟一 .矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩 , 且不改變列向量間的線(xiàn)性關(guān)系 . 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩 , 且不改變行向量間的線(xiàn)性關(guān)系 . 向量組等價(jià) 和 可以相互線(xiàn)性表示 . 記作： 矩陣等價(jià) 經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 . 記作： 矩陣 與 等價(jià) 作為向量組等價(jià) , 即：秩相等的向量組不一定等價(jià) . 矩陣 與 作為向量組等價(jià) 矩陣 與 等價(jià) .向量組 可由向量組 線(xiàn)性表示 .向量組 可由向量組 線(xiàn)性表示 , 且 ，則 線(xiàn)性相關(guān) .向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān) ,且可由 線(xiàn)性表示 ,則 .向量組 可由向量組 線(xiàn)性表示 , 且

22、 , 則兩向量組等價(jià)；任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià) .向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià) , 且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等 . 若兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià) , 則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等 . 若 是 矩陣,則 , 若 ， 的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；若 ， 的列向量線(xiàn)性 無(wú)關(guān), 即： 線(xiàn)性無(wú)關(guān) .線(xiàn)性方程組的矩陣式 向量 式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)： 設(shè)為矩陣,若 , 則 , 從而一定有解. 當(dāng)時(shí),一定不是唯一解 . , 則該向量組線(xiàn)性相關(guān) 是的上限 . 矩陣的秩的性質(zhì)： 且 在矩陣乘法中有左消去律標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè) 維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量 , 兩兩正交 , 每個(gè)向量長(zhǎng)度為

23、1.是單位向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對(duì)稱(chēng)性： 雙線(xiàn)性：施密特 線(xiàn)性無(wú)關(guān) ,單位化：正交矩陣 . 是正交矩陣的充要條件： 的 個(gè)行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 正交矩陣的性質(zhì)： ； 是正交陣 , 則 （或 ）也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于 1 或 -1.的特征矩陣 .的特征多項(xiàng)式 .的特征方程 . 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線(xiàn)上的 各元素 . 若 , 則 為 的特征值 ,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 若 , 則 一定可分解為 = 、 , 從而 的特征值為： , . 若 的全部特征值 ， 是多項(xiàng)式 ,則: 的全部特征值為

24、； 當(dāng) 可逆時(shí) , 的全部特征值為 , 的全部特征值為 .與 相似為可逆陣）記為： 相似于對(duì)角陣的充要條件： 恰有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 . 這時(shí) , 為 的特征向量拼成的矩陣， 為對(duì)角陣 , 主對(duì)角線(xiàn)上的元素為 的特征值 . 可對(duì)角化的充要條件： 為 的重?cái)?shù) . 若 階矩陣 有 個(gè)互異的特征值 ,則 與對(duì)角陣相似 .與 正交相似 （ 為正交矩陣） 相似矩陣的性質(zhì)： 若 均可逆 （ 為整數(shù)） , 從而 有相同的特征值 , 但特征向量不一定相同 . 即 : 是 關(guān)于 的特征向量 , 是 關(guān)于 的特征向量 . 從而 同時(shí)可逆或不可逆 數(shù)量矩陣只與自己相似 . 對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù) ,

25、特征向量是實(shí)向量； 與對(duì)角矩陣合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 , 可能有重的特征值 , 重?cái)?shù) = ）.可以相似對(duì)角化 與對(duì)角陣 相似 .記為： （稱(chēng) 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型） 若 為可對(duì)角化矩陣 ,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算） . 設(shè) 為對(duì)應(yīng)于 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 , 則有： 若 , 則： .二次型與 合同 若 ,則 , . 為對(duì)稱(chēng)矩陣記作：（） 兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù) 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是： 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是： 經(jīng)過(guò) 化為 標(biāo)準(zhǔn)型 . 二次型

26、的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的 ,與所作的正交變換有關(guān) , 但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由一確定的 . 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù) 為 1， -1 或 0 時(shí) , 則為規(guī)范形 . 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù) 任一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 與惟一對(duì)角陣 合同 . 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形求出 的特征值、特征向量；對(duì) 個(gè)特征向量單位化、正交化；構(gòu)造 （正交矩陣） , ；作變換 , 新的二次型為 , 的主對(duì)角上的元素 即為 的特征值 .正定二次型不全為零，正定矩陣 正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 . 合同變換不改變二次型的正定性 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：正慣性指數(shù)為 ； 的特征值全大于 ；的所有順序主子式全

27、大于 ；合同于 ，即存在可逆矩陣 使 ；存在可逆矩陣 ，使從而 ）；存在正交矩陣，使大于 ）. 成為正定矩陣的必要條件：k ao內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò) 線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線(xiàn)性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法， 并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算

28、，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡(jiǎn)單的分塊陣）（或抽象的，或具體的， 或用定義，或是用公式 A -1= 1 A* ，或 A用初等行變換）， A和 A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的 冪等也是常考的內(nèi)容之一。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線(xiàn)性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線(xiàn)性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線(xiàn)性相 關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無(wú)關(guān)組， 等價(jià)向量組， 向量組及矩陣的秩的概念， 以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。 用初等行變換是求向

29、量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。在 Rn 中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣，線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式， 應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。行列式、矩陣、向量、方程組是線(xiàn)性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián) 系的，例如 OAO0 =A是可逆陣 =r （ A）=n（ 滿(mǎn)秩陣 ）=A的列（行）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) = AX=0唯一零解 =AX=b對(duì)任何 b 均有（唯一）解 =A=P1 P2 PN，其中 PI（I=1,2, ， N）是初等 陣 = r（AB）=r（B）A 初等行變換I =A 的列（行）

30、向量組是 Rn的一個(gè)基 =A 可以是某兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣等等。這種相互之間 的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開(kāi)拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合 的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 O E-AO=0及（ E-A） =0 即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可 用定義 A =，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問(wèn) 題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由 A 的

31、特征值，特征向量來(lái)確不定期 A 的參數(shù)或確定 A，如果 A是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相 互正交，有時(shí)還可以由已知 1 的特征向量確定出 2（ 2 1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出 A。三是 相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線(xiàn)性代數(shù)中至少可用來(lái)計(jì)算行列式及 An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這 主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下， 用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子 式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明

32、相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī) 范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。線(xiàn)性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩 陣，秩 （矩陣、向量組、二次型 ） ，等價(jià) （矩陣、向量組 ） ，線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出， 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間， 特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同 變換與合同矩陣。往年常有考生沒(méi)有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵， 也沒(méi)有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別 與聯(lián)系，導(dǎo)致做題

33、時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，矩陣 A（ 1， 2， m）與 B（ 1， 2， m）等價(jià)，意味 著經(jīng)過(guò)初等變換可由 A得到 B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩 r（A） 與 r（B） 是否相 等，而向量組 1， 2，m與 1， 2，m等價(jià)，說(shuō)明這兩個(gè)向量組可 以互相線(xiàn)性表出， 因而它們有相同的秩， 但是向量組有相同的秩時(shí)， 并不能保證 它們必能互相線(xiàn)性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組1，2，m與 1，2，m等價(jià)，可知矩陣 A（ 1，2，m）與 B（ 1， 2， m）等價(jià)，但矩陣 A與 B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。又如，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A與 B合同，即存在可逆矩陣 C使 CTACB，要實(shí)現(xiàn)這一

34、點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型 xTAx與 xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同， 而 A與 B相似是指 有可逆矩陣 P使 P-1APB成立，進(jìn)而知 A與 B有相同的特征值，如果特征值相 同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同， 因此，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 AB A B，即相似是合同的充分條件。線(xiàn)性代數(shù)中運(yùn)算法則多， 應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)， 重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型 )的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求 向量組的秩與極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組， 線(xiàn)性相關(guān)的判定或求參數(shù)， 求基礎(chǔ)解系， 求非齊 次線(xiàn)性方程組的通解，求特征值與特征向量 ( 定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系

35、法 ) ， 判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣 ( 亦即用正交變換 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 ) 。二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。線(xiàn)性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此 解題方法靈活多變， 復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)再問(wèn)做得好不好只有不斷地 歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉 了，思路自然就開(kāi)闊了。例如：設(shè) A是mn矩陣， B是 ns矩陣，且 AB0，那么用分塊矩陣可知 B的列向量都是齊次方程組 Ax0 的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與 向量組秩的關(guān)系，可以有r(B) n-r(

36、A) 即 r(A) r(B) n進(jìn)而可求矩陣 A或 B 中的一些參數(shù)再如，若 A是 n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理 P-1AP 可知 A有 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量， P就是由 A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成， 再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若 i是 ni 重特征值，則齊次方程 組(iE-A)x0的基礎(chǔ)解系由 ni 個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩 r( iE-A)n-ni ， 那么，如果 A不能相似對(duì)角化，則 A 的特征值必有重根且有特征值 i使秩 r( iE -A) n-ni ，若 A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則因 A必能相似對(duì)角化而知對(duì)每個(gè)特征 值 i必有 r( iE -A) n-ni ，

37、此時(shí)還可以利用正交性通過(guò)正交矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)相似 對(duì)角化。又比如，對(duì)于 n 階行列式我們知道：若 A 0，則Ax0必有非零解，而 Axb沒(méi)有惟一解(可能有無(wú)窮多解， 也可能無(wú)解 )，而當(dāng) A0時(shí)，可用克萊姆法則求 Axb的惟一解；可用 A證明矩陣 A是否可逆，并在可逆時(shí)通過(guò)伴隨矩陣來(lái)求 A-1；對(duì)于 n個(gè)n維向量 1，2，n可以利用行列式 A 12 n 是否為零來(lái)判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性；矩陣 A的秩 r(A) 是用 A中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的，若 r(A) r，則 A 中 r 階子式全為 0；求矩陣 A的特征值，可以通過(guò)計(jì)算行列式E -A，若 0是 A的特 征值，則行列式 0E-A 0；判斷二次

38、型 xTAx 的正定性，可以用順序主子式全大于零。凡此種種，正是因?yàn)榫€(xiàn)性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系， 代數(shù)題的 綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。三、注重邏輯性與敘述表述線(xiàn)性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求， 通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù) 學(xué)主要原理、 定理的理解與掌握程度， 考查考生的抽象思維能力、 邏輯推理能力 大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注 意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。線(xiàn)性代數(shù)中常見(jiàn)的證明題型有：證 A 0；證向量組 1， 2，t的線(xiàn)性相關(guān)性， 亦可引伸為證 1， 2，t是齊次方程組 Ax0 的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣 的某種性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)，可逆，正交，正定，可對(duì)角化，零矩陣等；證齊次方程組 是否有非零解；線(xiàn)性方程組是否有解 （亦即 能否由 1，2，s線(xiàn)性表出） ； 對(duì)給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無(wú)公共解； 證二次型的正定性， 規(guī)范形等。 線(xiàn)性代數(shù) 是一門(mén)研究線(xiàn)性問(wèn)題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課， 線(xiàn)