2015-2016學(xué)年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)(理科)試題及參考答案最新校對(duì)版

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué)（理科） 2016.1 本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 已知，則的值為 A. B. C. D.2. 拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A. B. C. D.3. 如圖，正方形中，為的中點(diǎn)，若， 則的值為 A. B. C. D.4. 某程序框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的值為1，則輸出的值為 A. B. C. D.5. 已知數(shù)列，其中, 則滿足 的不同數(shù)列一共有 A.

2、 個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)6. 已知圓, 直線，.若被圓 所截得的弦的長度之比為，則的值為 A. B.1 C. D.7. 若滿足 則的最大值為 A. B. C. D.8. 已知正方體，記過點(diǎn)與三條直線所成角都相等的直線條數(shù)為 , 過點(diǎn)與三個(gè)平面所成角都相等的直線的條數(shù)為，則下面結(jié)論正確的是 A. B. C. D. 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9. 已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn),則_，其離心率為_.10. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_.（用數(shù)字作答）11. 已知等比數(shù)列的公比為，若，則_.12. 某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐中最長棱的棱長為_.13. 已知函數(shù) 若的最小值是，則

3、_.14. 已知，若存在，滿足,則稱是的一個(gè)“友好”三角形. (i)在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（請(qǐng)寫出符合要求的條件的 序號(hào)） ； ； . (ii)若等腰存在“友好”三角形，則其頂角的度數(shù)為_.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15. （本小題滿分13分） 已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和. 16. （本小題滿分13分） 已知某種動(dòng)物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為. 為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，做藥物試驗(yàn).試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期. 假設(shè)每次用

4、藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀的出現(xiàn)與上次用藥無關(guān). （）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗(yàn)”，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；（）如果在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期. 設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期數(shù)為，求的期望.17. （本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，且. （）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；（）求二面角的大??；（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得? 若存在，求出的長；若不存在，說明理由. 18. （本小題滿分13分）已知函數(shù). （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.（其中）19. （本小題滿分14分

5、）已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上.（）求橢圓的方程；（）若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為. 是否存在點(diǎn)，使得? 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 20. （本小題滿分13分）若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（）若數(shù)列是數(shù)列，且，求，的值；() 求證：若數(shù)列是數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；() 若數(shù)列為數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求所有可能取值. 海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)參考答案 數(shù) 學(xué)（理科） 2016.1閱卷須知:1.評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。2.其它正確解法可以參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按相

6、應(yīng)步驟給分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號(hào)12345678答案ABDCACDD二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.題號(hào)91011121314答案；說明：第9，14題第一空3分，第二空2分3、 解答題: 本大題共6小題，共80分.15. （本小題滿分13分） 已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和. 解：（）因?yàn)?.1分 .5分（兩個(gè)倍角公式，每個(gè)各2分） .6分 所以函數(shù)的最小正周期. .7分 （）因?yàn)?，所以，所? .8分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值; .10分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值, .12分 因?yàn)? 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大

7、值與最小值的和為. .13分16. （本小題滿分13分） 已知某種動(dòng)物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為. 為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，做藥物試驗(yàn).試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期. 假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀的出現(xiàn)與上次用藥無關(guān). （）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗(yàn)”，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；（）如果在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期. 設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期數(shù)為，求的期望.解：（）設(shè)持續(xù)天為事件，用藥持續(xù)最多一個(gè)周期為事件， .1分 所以，.5分 則. .6分 法二：設(shè)用藥持續(xù)最多一個(gè)周

8、期為事件，則為用藥超過一個(gè)周期， .1分 所以, .3分 所以. .6分（）隨機(jī)變量可以取 ， .7分 所以 , , .11分 所以. .13分 17. （本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，且. （）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；（）求二面角的大??；（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得? 若存在，求出的長；若不存在，說明理由.解：（）過點(diǎn)作，交于,連接, 因?yàn)?，所? .1分 又，所以. .2分 所以為平行四邊形, 所以. .3分 又平面，平面, .4分（一個(gè)都沒寫的，則這1分不給） 所以平面. .5分（）因?yàn)樘菪沃校? 所以. 因?yàn)槠矫?，所? 如圖，以為原點(diǎn)， 所在直線為軸建

9、立空間直角坐標(biāo)系, .6分 所以. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為, 因?yàn)?所以，即， .7分 取得到, .8分 同理可得, .9分 所以, .10分 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角為. .11分（）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)， 所以, .12分 所以，解得, .13分 所以存在點(diǎn)，且. .14分18. （本小題滿分13分） 已知函數(shù). （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解. （其中）解：（）因?yàn)? 所以， .1分 當(dāng)時(shí)，. .2分 令 ， 得 ， .3分 所以隨的變化情況如下表：極大值極小值 .6分 所以在處取得極大值， 在處取得極小值. .7分 函數(shù)的單

10、調(diào)遞增區(qū)間為，, 的單調(diào)遞減區(qū)間為.8分（）證明：不等式在區(qū)間上無解，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立， 即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1. 因?yàn)椋?令，得. .9分 因?yàn)闀r(shí)，所以. 當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， .10分 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為, 所以不等式在區(qū)間上無解； .11分 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：極小值 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或. .12分 此時(shí), ， 所以 . 綜上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解. .13分 19. （本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上.（）求橢圓的方程；（）若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為. 是否存在點(diǎn)，使得? 若存在

11、，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 解：（）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上， 令，得，所以. .1分 又離心率為，所以，所以, .2分 所以, .3分 所以的方程為. .4分（）法一：設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為， .5分 與橢圓方程聯(lián)立得, 化簡得到, .6分 因?yàn)闉樯厦娣匠痰囊粋€(gè)根，所以，所以. .7分 所以. .8分 因?yàn)閳A心到直線的距離為， .9分 所以, .10分 因?yàn)椋?.11分 代入得到 . .13分 顯然，所以不存在直線，使得. .14分法二：設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為， .5分 與橢圓方程聯(lián)立得 化簡得到, 由得. .6分 顯然是上面方程的一個(gè)根，所以另一個(gè)根，即. .7分 由， .8分 因?yàn)閳A

12、心到直線的距離為， .9分 所以. .10分 因?yàn)椋?.11分 代入得到, .13分 若，則，與矛盾，矛盾， 所以不存在直線，使得. .14分法三：假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則 ，得. .5分 顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為， .6分 由，得 , 由得， .7分 所以. .9分 同理可得， .11分 所以由得， .13分 則，與矛盾， 所以不存在直線，使得. .14分20. （本小題滿分13分）若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（）若數(shù)列是數(shù)列，且，求，的值；() 求證：若數(shù)列是數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；() 若數(shù)列為數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求所有可能取值. 解：() 因?yàn)槭菙?shù)列，且 所以， 所以, 所以，解得, .1分 所以. .3分() 假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，即， 所以，與假設(shè)矛盾. 故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù), .5分 假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)， 則而,與假設(shè)矛盾, .7分 故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù).() 由()可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)， 且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù). 因此存在最小的正整數(shù)滿足（）. 設(shè)，則 . , 故有, 即數(shù)列是周期為9的數(shù)列 .9分 由上可知這9項(xiàng)中為負(fù)數(shù)，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正