類型二2007-2016高考數(shù)列累加法求通項-典型的錯位相減法求和

1、類型二：累加法累乘法求通項典型的錯位相減法求和1.(2009全國卷I理)(本小題滿分12分)1 n 1在數(shù)列an中，a1 1,an1 (1 一)an n-n 2(I)設bn 電，求數(shù)列bn的通項公式 n(II)求數(shù)列an的前n項和Sn：(I)由已知有曳工 ann 1 nb b1bn 1 bnn2利用累差迭加即可求出數(shù)列bn的通項公式：bn1*(n(II)由(I)知 an2nn2n 1，nSn=(2 kk 1(2 k)n而(2k)k 1n(n1),又kk曰-CTk k 11 2個典型的錯位相減法模型,2. 2012高考江西理16n 22n 1Sn =n(n1)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前

2、n項和SnN*,且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k,求an；n項和(2)求數(shù)列9 2a9 2an的前2n1解：(1)當 n k N 時，Snn2 k29.從而 an Sn Sn 1 - n(n 2),又 a1 2因為bn 9，Tn b1一,11所以 Tn 2Tn Tn 2 1 1 L 中22一一1 221 2取最大值，即8-k2 k2 k2,故k 4,22c 7-9S1一,所以 an n222gn 1nb2L bn 122?L2n 22門 1n1 n n 2、n 14- n 2_n 14_n 1n2223. (2013年高考山東卷(文)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S,24 1(i)求數(shù)

3、列 an的通項公式；an 2n 1(n)設數(shù)列bn滿足.b2aia2bnggg 一 an1 一2n 1n N求bn的前n項和Tn。4. (2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(理)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S4 4s2, a2n 2an 1.(I )求數(shù)列an的通項公式；(n)設數(shù)列bn前a 1n項和為Tn,且Tn 2n為常數(shù)).令cn. * b2n (nN ).求數(shù)列cn的前n項和Rn.解：(i)設等差數(shù)列 an的首項為a1,公差為d ,由 S4 4S2 a2n 2an 1 得4al 6d 8al 4da1 (2n 1) 2al 2(n 1)d 1 ,解得,a1 1,d 2*因

4、此 an 2n 1 (n N )T 上nn 1(n)由題意知：2bTT -n 1bn1 n1 n 1_n 1_n 2所以n 2時，222n 21、n 1*(n N )cnb2n -mT (n 1)()故，24(n 1) (1)n141 01 11 21 3所以 Rn 0 (1)1 T 2 T 3 T1Rn 則41 1(4)1 21(4)21 n 11 n(n 2)(4) (n 1)C)兩式相減得為(1)1 (；)244(43(n 1) (1)n44j44(n1 , 整理得n 9(43n 1,n 1)4所以數(shù)列數(shù)列cn的前n項和1/ 3n 1、Rn9(4 R5.（2009山東卷文）（本小題滿分1

5、2分)等比數(shù)列an的前n項和為Sn ,已知對任意的n N，點（n,Sn）,均在函數(shù)y bx r(b 0 且 b1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.（1）求r的值;（11）當b=2時，記n 1bn(n N )4an求數(shù)列bn的前n項和Tn解:因為對任意的N，點（n,Sn）,均在函數(shù)bxr(b 0 且 b1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.所以得Sn當n 1時，a1S1當n 2時，anSnSnbn r(bn1 r)bnbn1n 1(b 1)b又因為an為等比數(shù)列所以r1,公比為b,所以an(bn 11)b(2)當 b=2 時,an(bn 11)b2n 1bn4ann 14 2n 12n 1則Tn2221T2

6、n，一1相減，得Tn2323223424324242512n八2 八322123 (11241n2n1252n 212n 12n 22n 1 )12?n 12n 2所以Tn326.2014四川卷設等差數(shù)列an的公差為d,點(an, bn)在函數(shù) ) = 2、的圖像上(nCN*).證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；1(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖像在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2百萬，求數(shù)列anb2 的前n項和Sn.19.解：(1)證明：由已知得，bn = 2an0,當 n 1 時，與一=2an+1 - an = 2d.bn故數(shù)列bn是首項為2a1，公比為2d的等比數(shù)列.(2)函數(shù) f(

7、x)=2x在點(a2, b2)處的切線方程為 y2a2= (2a21n 2)(x- a2),其在x軸上的截距為a2.In 2由題意知，a24=2 一二，In 2 In 2解得a2=2,所以 d=a2a1=1, an=n, bn=2n, anb2= n 4n.于是，Sn=1 X 4+ 2X 42+ 3X 43+ (n1) X 4n 1 + nX 4n,(1 3n) 4n+l-44Sn= 1 x 42 + 2 X 43+ (n 1) X 4n+ nX 4n+1,因此，Sn 4Si= 4+ 42+ 4n n 4n+ 1 = n - 4n1 =3(3n 1) 4n+1 + 4所以，Sn =q.97.2

8、014 安徽卷數(shù)列an滿足 a = 1, nan+1 = (n+1)an+n(n+1), nCN*.證明：數(shù)列片是等差數(shù)列；(2)設bn=3n - 而,求數(shù)列bn的前n項和Sn.an+ 118.解：證明：由已知可得卷an 口r an+1a+1,即n n+1詈1,所以那是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)得q=1 + (n1)1=n,所以 an=n2,從而可得bn= n 3n.Sn= 1X 31+2X 32+ (n 1)X3n 1 + nX3n,3Sn= 1 x 32 + 2X 33+ + (n1)3n+nX 3n1.一得一2Sn=31+32+ 3nn 3n+3 ,(1一初 _n 3

9、n+=一2? 3n1一31-32所以Sn =(2n1) 3n+l + 38. 2015高考安徽，文18已知數(shù)列 an是遞增的等比數(shù)列，且a1 a49,a2a3 8.(i)求數(shù)列 an的通項公式;(U)設8n為數(shù)列 an的前n項和，bn 三，求數(shù)列 bn的前n項和Tn.&a 1【答案】(I) an 2n 1 (n)2n 1 22n 1 1【解析】(i)由題設可知a1 a4 a2 a3 8 ,a1 1a1 8 人，又a a4 9,可解的 或(舍去)a4 8a4 1由 a4 a1q3得公比 q 2 ,故 an aqn 12n 1.(n) Sna1(1qn)1 q1 2n1 22n 1又bnan 1S

10、nSmSn1SnSnSn 111SnSn 1所以 Tnb1b2.bn1S21S21S3SnSn1S1Sn【考點定位】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、性質，等比數(shù)列的前n項和，以及利用裂項相消法求和【名師點睛】本題利用“若m n p q ,則aman apaq ，是解決本題的關鍵，同時考生發(fā)現(xiàn)bnan 1 Sn 1 SnSnSn 1SnSn 11Sn1Sn1是解決本題求和的關鍵，本題考查了考生的基礎運算能力.9、（2016年高考山東卷理）已知數(shù)列 an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列，且anbnbn 1.（I ）求數(shù)列 bn的通項公式；.（a 1）n 1（n）令cn L.求數(shù)列Cn的前n項和Tn.（bn 2）n【答案】（I） bn 3n 1； （n）3n 2n 2.【解析】試題分析：（I ）根據(jù)an Sn Sn 1及等差數(shù)列的通項公式求解；（II ）根據(jù)（I ）知數(shù)列Cn的通項公式，再用錯位相減法求其試題解析：(I)由題意知當 n當 n 1 時，aiSi11,所以an 6n 5.設數(shù)列bn的公差為d ,abib2112bid由12 ,即a2b2b3172b13d所以bn 3n 1.(n )由(i)知 cn (6n 6/I (3n 3)n又 Tn C1 C2 C3Cn ,得 Tn 3 2 22 3 23