直線與圓相交弦長問題

1、二、直線與圓相交弦長問題一、知識儲備性質(zhì)1：直線與圓相交，則圓心到直線的距離d |Aa Bb C|r ； A2 B2Ax By C 0性質(zhì)2：由x a 2 yb 2 r2 消元得到一元二次方程的判別式 0；性質(zhì) 3：若直線 l 與圓 C交于 A，B兩點，設(shè)弦心距為 d，半徑為 r ，弦長為 | AB| ，則有 |AB| 2 d2 2 r 2，二、典例練習(xí)例 已知圓的方程為x2 y2 8 ，圓內(nèi)有一點P( 1,2)， AB 為過點 P 且傾斜角為的弦(1) 當(dāng) 135 °時，求 AB 的長；(2) 當(dāng)弦 AB 被點 P 平分時， 寫出直線 AB 的方程解析：法一：法二：練習(xí) 已知圓 C

2、 和 y 軸相切，圓心C 在直線 x3y 0 上，且被直線y x 截得的弦長為27，求圓 C 的方程解析：練習(xí)已知某圓圓心在x 軸上，半徑長為5，且截y 軸所得線段長為8，求該圓的標(biāo)準方程解析：三、類題通法求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1) 幾何法：如圖 1，直線 l 與圓 C 交于 A， B 兩點，設(shè)弦心距為 d，圓的半徑為 r ，弦長為 |AB|，則有|AB| 2 d2 r 2，2即 |AB | 2r2 d2.(2) 代數(shù)法： 如圖 2 所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立， 設(shè)直線與圓的兩交點分別是 A(x1，122y)， B( x， y )，則 |AB|x1 x22 y1 y2 2 1 k

3、2|x1 x2|11 2k|y y |(直線 l 的斜率 k 存在 )12二、直線與圓相交弦長問題一、知識儲備性質(zhì)1：直線與圓相交，則圓心到直線的距離d |Aa Bb C|r ；A2B2Ax By C 0性質(zhì)2：由x a 2 yb 2 r2 消元得到一元二次方程的判別式 0；性質(zhì) 3：若直線 l 與圓 C 交于 A，B 兩點， 設(shè)弦心距為d，半徑為 r，弦長為 |AB|，則有 |AB| 2 d2 2 r 2，二、典例與練習(xí)例 已知圓的方程為x2 y2 8 ，圓內(nèi)有一點P( 1,2)， AB 為過點 P 且傾斜角為的弦(1) 當(dāng) 135 °時，求 AB 的長；(2) 當(dāng)弦 AB 被點

4、P 平分時， 寫出直線 AB 的方程解 (1)法一： (幾何法 )如圖所示，過點 O 作 OC AB .由已知條件得直線的斜率為 k tan 135° 1，精選文庫直線 AB 的方程為y 2 (x 1)，即 x y 10. 圓心為 (0,0)，|OC| | 1| 22，22 . r 2 |BC| 82 2 30 ，22|AB| 2|BC|30.法二： (代數(shù)法 )當(dāng) 135°時，直線 AB 的方程為y2 (x 1)，即 y x 1，代入 x2 y2 8，得 2x2 2x 7 0. x1 x2 1， x1x2 72， |AB| 1k2|x1 x2| 11 x1 x2 2 4x

5、1x2 30.(2)如圖，當(dāng)弦AB被點 P 平分時， OP AB，1 kOP 2， kAB2，1直線 AB 的方程為y 2 2(x1)，即 x 2y 5 0.練習(xí)已知圓C 和 y 軸相切， 圓心 C 在直線 x 3y0 上，且被直線y x 截得的弦長為27，求圓C 的方程解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)圓 C 和 y 軸相切，得圓的半徑為3|m|，圓心到直線y x 的距離為|2m|2|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m227 2m2， m ±1，所求圓C 的方程為 (x3)2 (y 1)2 9 或 (x 3) 2 (y 1)2 9.練習(xí)已知某圓圓心在x 軸上，半徑長為5，且截y 軸

6、所得線段長為8，求該圓的標(biāo)準方程解 法一： 如圖所示，由題設(shè)|AC| r 5， |AB| 8 ， |AO| 4. 在Rt AOC中 ， |OC| |AC|2 |AO|2 52 42 3.設(shè)點 C 坐標(biāo)為(a,0) ，則 |OC| |a| 3，-2精選文庫 a ±3.所求圓的方程為(x3) 2 y2 25，或 (x 3)2 y2 25.法二： 由題意設(shè)所求圓的方程為( x a)2 y2 25.圓截 y 軸線段長為8，圓過點A(0,4)代入方程得a2 16 25， a ±3.所求圓的方程為(x 3)2 y2 25，或 (x 3)2 y2 25.三、類題通法求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1) 幾何法： 如圖 1，直線 l 與圓 C 交于 A，B 兩點，設(shè)弦心距為 d，圓的|AB|半徑為 r，弦長為 |AB|，則有2 d2 r 2，即 |AB| 2 r 2 d2.(2) 代數(shù)法： 如圖 2 所示，將直線方程與圓的方程