2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(共38頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題10小題，每小題5分，共50分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2013四川）設(shè)集合A=x|x+2=0，集合B=x|x24=0，則AB=（）A2B2C2，2D2（5分）設(shè)log2alog2b0，則（）A0ba1B0ab1Cab1Dba13（5分）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD4（5分）函數(shù)y=sin（2x+）（0）是R上的偶函數(shù)，則的值是（）A0BCD5（5分）（2008山東）函

2、數(shù)的圖象是（）ABCD6（5分）函數(shù)f（x）=ex+x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，3）7（5分）在ABC中，若0tanAtanB1，那么tanC的值（）A恒大于0B恒小于0C可能為0D可正可負(fù)8（5分）在ABC中，若點(diǎn)D滿足，則=（）ABCD9（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x1，3時(shí)，f（x）=2|x2|，則（）ABCD10（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m0，對(duì)任意xR，有|f（x）|m|x|，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)給出下列函數(shù)：f（x）=x2；f（x）=2x；f（x）=sin2x其中是F函數(shù)的序號(hào)為（）A

3、BCD二、填空題（本大題6小題，每小題5分，共30分）請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.11（5分）已知，則的值為_(kāi)12（5分）已知函數(shù)，則f（f（1）的值等于_13（5分）已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么等于_14（5分）函數(shù)為減函數(shù)的區(qū)間是_15（5分）若函數(shù)f（x）=，若f（a）0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_16（5分）（2013上海）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=9x+7若f（x）a+1對(duì)一切x0成立，則a的取值范圍為_(kāi)三、解答題（本大題共有5小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（14分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）若

4、，求函數(shù)f（x）的最大值18（14分）已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示（1）求函數(shù) y=f（x）的表達(dá)式；（2）若，且，試求sin的值19（14分）為方便游客出行，某旅游點(diǎn)有50輛自行車供租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛設(shè)每輛自行車的日租金x（元）（3x20，xN*），用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？20（14分）設(shè)函數(shù)，f（

5、x）=ax（1+a2）x2，其中a0，區(qū)間I=x|f（x）0（1）證明：函數(shù)g（x）在（0，1單調(diào)遞增；（2）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（，）的長(zhǎng)度定義為）；（3）給定常數(shù)k（0，1），當(dāng)1ka1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值21（14分）設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|xa|a（）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題10小題，每小題5分，共50分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2013四川）設(shè)集合A=x|x+2=0，集合B=x|x

6、24=0，則AB=（）A2B2C2，2D考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題分析：分別求出兩集合中方程的解，確定出A與B，找出A與B的公共元素即可求出交集解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=2，即A=2；由B中的方程x24=0，解得x=2或2，即B=2，2，則AB=2故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2（5分）設(shè)log2alog2b0，則（）A0ba1B0ab1Cab1Dba1考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：轉(zhuǎn)化思想分析：本題中不等式里的代數(shù)式是對(duì)數(shù)型的，故要討論y=log2x的單調(diào)性，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較兩個(gè)參數(shù)的大小，

7、確定它們的存在范圍解答：解：考察函數(shù)y=log2x，是一個(gè)增函數(shù)，log2alog2b0=log210ab1故選B點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較真數(shù)的大小，屬于基本知識(shí)應(yīng)用題3（5分）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及應(yīng)用分析：根據(jù)向量與垂直，利用數(shù)量積的關(guān)系建立方程即可求解實(shí)數(shù)的值解答：解：，=（31，2），與垂直，（）=0，即（31）=0，=，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量垂直與數(shù)量積之間的關(guān)系，要求熟練掌握向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力4（5分）函數(shù)y=sin（

8、2x+）（0）是R上的偶函數(shù)，則的值是（）A0BCD考點(diǎn)：正弦函數(shù)的奇偶性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：根據(jù)函數(shù)y=sin（2x+）的圖象特征，若它是偶函數(shù)，只需要x=0時(shí)，函數(shù)能取得最值解答：解：函數(shù)y=sin（2x+）是R上的偶函數(shù)，就是x=0時(shí)函數(shù)取得最值，所以f（0）=±1即sin=±1所以=k+（kZ），當(dāng)且僅當(dāng)取 k=0時(shí)，得=，符合0 故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦型函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題5（5分）（2008山東）函數(shù)的圖象是（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：數(shù)形結(jié)合分析：利用函數(shù)的奇偶性可排除一些選

9、項(xiàng)，利用函數(shù)的有界性可排除一些個(gè)選項(xiàng)從而得以解決解答：解：cos（x）=cosx，是偶函數(shù)，可排除B、D，由cosx1lncosx0排除C，故選A點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查復(fù)合函數(shù)的圖象識(shí)別屬于基礎(chǔ)題6（5分）函數(shù)f（x）=ex+x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，3）考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由函數(shù)的解析式可得 f（0）=12=10，f（）=0，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)f（x）=ex+x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間解答：解：由于函數(shù)f（x）=ex+x2，且f（0）=12=10，f（）=0，可得函數(shù)f（x）=ex+x2的零點(diǎn)所在的區(qū)

10、間是（0，），故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題7（5分）在ABC中，若0tanAtanB1，那么tanC的值（）A恒大于0B恒小于0C可能為0D可正可負(fù)考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值分析：根據(jù)tanAtanB0且A、B為三角形的內(nèi)角，得到tanA、tanB都是正數(shù)由tanAtanB1，利用兩角和的正切公式證出tan（A+B）0最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式，證出tanC=tan（A+B）0，可得答案解答：解：tanAtanB0，tanA與tanB的符號(hào)相同，結(jié)合A、B為三角形的內(nèi)角，可得tanA0且tanB0又t

11、anAtanB1tan（A+B）=0，A+B+C=，tanC=tan（C）=tan（A+B）0，即tanC的值恒小于0故選：B點(diǎn)評(píng)：本題已知ABC的角A、B的正弦之積為小于1的正數(shù)，判斷tanC的正數(shù)著重考查了三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式等知識(shí)，屬于中檔題8（5分）在ABC中，若點(diǎn)D滿足，則=（）ABCD考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及應(yīng)用分析：由題意先求出，再求出解答：解：在ABC中，；如圖；=，又，=（）；=+=+（）=+；故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的基本應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形標(biāo)出向量，從而解答問(wèn)題9（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）

12、滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x1，3時(shí)，f（x）=2|x2|，則（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)的周期性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)函數(shù)的周期性和對(duì)稱軸，即可得到結(jié)論解答：解：由f（x）=f（x+2），函數(shù)f（x）的周期為2當(dāng)x1，3時(shí)，f（x）=2|x2|，則函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱Af（sin）=f（），f（sin）=f（），此時(shí)f（sin）f（sin），A錯(cuò)誤Bf（sin）=f（），f（cos）=f（）=f（），此時(shí)f（sin）f（cos），B正確Cf（cos）=f（），f（cos）=f（），f（cos）f（cos），C錯(cuò)誤Df（tan）=f（），f（tan

13、）=f（1），f（tan）f（tan）D錯(cuò)誤故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握常見(jiàn)三角函數(shù)的三角值10（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m0，對(duì)任意xR，有|f（x）|m|x|，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)給出下列函數(shù)：f（x）=x2；f（x）=2x；f（x）=sin2x其中是F函數(shù)的序號(hào)為（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；新定義分析：本題是一個(gè)新定義的題目，故依照定義的所給的規(guī)則對(duì)所四個(gè)函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，選出正確的即可解答：解：對(duì)于，f（x）=x2，當(dāng)x0時(shí)，|f（x）|m

14、|x|，即|x|m，顯然不成立，故其不是F函數(shù)對(duì)于f（x）=，|f（x）|=1×|x|，故函數(shù)f（x）為F函數(shù)對(duì)于f（x）=2x，|f（x）|m|x|，顯然不成立，故其不是F函數(shù)對(duì)于 f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|2x|=2|x|，故函數(shù)f（x）為F函數(shù)故正確序號(hào)為 ，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)所給的新定義來(lái)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則，是函數(shù)知識(shí)的給定應(yīng)用題，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意運(yùn)用所深知識(shí)靈活變化進(jìn)行證明二、填空題（本大題6小題，每小題5分，共30分）請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.11（5分）已知，則的值為考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的作用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：三

15、角函數(shù)的求值分析：原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值解答：解：sin=，cos（+）=sin=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵12（5分）已知函數(shù)，則f（f（1）的值等于0考點(diǎn)：函數(shù)的值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可求值解答：解：由分段函數(shù)可知，f（1）=，f（）=0，即f（f（1）=f（）=0，故答案為：0點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用分段函數(shù)直接代入即可，注意自變量的取值范圍13（5分）已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么等于1考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及

16、應(yīng)用分析：根據(jù) =，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義計(jì)算求得結(jié)果解答：解：=1，故答案為：1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量得模，屬于基礎(chǔ)題14（5分）函數(shù)為減函數(shù)的區(qū)間是，考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的公式，解關(guān)于x的不等式，得到函數(shù)在R上的單調(diào)減區(qū)間為+k，+k（kZ），再取k=0即可得到函數(shù)在0，上的單調(diào)減區(qū)間解答：解：令+2k+2k（kZ），可得+kx+k（kZ），函數(shù)在R上的單調(diào)減區(qū)間為+k，+k（kZ）取整數(shù)k=0，得到減區(qū)間為，函數(shù)在0，上的單調(diào)減區(qū)間為，故答案為：，點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦型三角函數(shù)，求

17、函數(shù)在0，上的單調(diào)減區(qū)間，著重考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題15（5分）若函數(shù)f（x）=，若f（a）0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）（0，1）考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法；其他不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：利用f（x）=，依題意，分a0與a0討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍解答：解：f（x）=，當(dāng)a0時(shí)，f（a）0log2a0，解得：0a1；當(dāng)a0時(shí)，f（a）00=，x1，解得：x1實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（，1）（0，1）故答案為：（，1）（0，1）點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題16（5

18、分）（2013上海）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=9x+7若f（x）a+1對(duì)一切x0成立，則a的取值范圍為考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；基本不等式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先利用y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求出x0時(shí)函數(shù)的解析式，將f（x）a+1對(duì)一切x0成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范圍解答：解：因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；當(dāng)x0時(shí)，則x0，所以f（x）=9x+7因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x）=9x+7；因?yàn)閒（x）a+1對(duì)一切x

19、0成立，所以當(dāng)x=0時(shí)，0a+1成立，所以a1；當(dāng)x0時(shí)，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因?yàn)?x+72=6|a|7，所以6|a|7a+1，解得，所以故答案為點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法；考查解決不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值三、解答題（本大題共有5小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（14分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）若，求函數(shù)f（x）的最大值考點(diǎn)：二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值分析：（1）根據(jù)輔助角公式與兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)得f（x）=，將x=代入即可算出的值；（2

20、）由得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)即時(shí)，有最大值1，由此可得函數(shù)f（x）的最大值解答：解：（1）=2sin+1=1； （2）由（1）得f（x）=，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值1，由此可得：函數(shù)f（x）有最大值為=2×1+1=3點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，求特殊的函數(shù)值并求函數(shù)的最大值著重考查了三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題18（14分）已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示（1）求函數(shù) y=f（x）的表達(dá)式；（2）若，且，試求sin的值考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（1）根

21、據(jù)函數(shù)的最大值，可得A=1算出周期T=4（）=2，可得=1再將代入得到關(guān)于的等式，結(jié)合解出，即可得出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；（2）由（1）得，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出，再進(jìn)行配角：=（+），根據(jù)兩角差的正弦公式加以計(jì)算，可得sin的值解答：解：（1）由圖象，可得函數(shù)的最大值為A=1，最小正周期T=4（）=2，可得=1由此可得f（x）=sin（x+），將代入，可得，可得，解得，因此，函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式是；（2）由，得，可得，=由此可得：=點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，并依此求sin的值著重考查了由三角函數(shù)的部分圖象確定其解析式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函

22、數(shù)公式等知識(shí)，屬于中檔題19（14分）為方便游客出行，某旅游點(diǎn)有50輛自行車供租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛設(shè)每輛自行車的日租金x（元）（3x20，xN*），用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）當(dāng)x6時(shí)，y=50x115，令5

23、0x1150，可得3x6，且xN當(dāng)6x20時(shí)，y=503（x6）x115=3x2+68x115（2）分類討論：當(dāng)x6時(shí)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得其最大值；當(dāng)6x20時(shí)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得其最大值解答：解：（1）當(dāng)3x6，xN*時(shí)，y=50x115（3分）當(dāng)6x20，xN*時(shí)，y=503（x6）x115（6分）故（7分）（2）對(duì)于f（x）=50x115（3x6），f（x）在3，6遞增，當(dāng)x=6時(shí)，ymax=185（元） （9分）對(duì)于，f（x）在遞增，在遞減，又xN*，且f（11）f（12）（12分）當(dāng)x=11時(shí)，ymax=270（元） （13分）270185，當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元

24、時(shí)，才能使一日的凈收入最多（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查一次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的意義、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題20（14分）設(shè)函數(shù)，f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，區(qū)間I=x|f（x）0（1）證明：函數(shù)g（x）在（0，1單調(diào)遞增；（2）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（，）的長(zhǎng)度定義為）；（3）給定常數(shù)k（0，1），當(dāng)1ka1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用分析：（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)g（x）在（0，1的單調(diào)性；（2）求出f（x

25、）0的解集，即得區(qū)間I長(zhǎng)度；（3）由g（x）在1，+）上的單調(diào)性，求出區(qū)間I的表達(dá)式g（a）在1k，1+k上的最小值即可解答：解：（1）證明：函數(shù)，任取x1，x2（0，1，且x1x2；，0x1x21，x1x20，1x1x20，；g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2），函數(shù)g（x）在（0，1單調(diào)遞增（2）f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，且區(qū)間I=x|f（x）0，f（x）=xa（1+a2）x0，即區(qū)間I長(zhǎng)度為（3）由（1）知，當(dāng)1x1x2時(shí)，x1x20，1x1x20，g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2）；g（x）在1，+）上單調(diào)遞減，由（2）知，I=g（a）=，又k（0，1），01k1，11+k2，函數(shù)g（a）在1k，1上單調(diào)遞增，g（a）在1，1+k上單調(diào)遞減；當(dāng)1ka1+k時(shí)，I長(zhǎng)度的最小值必在a=1k或a=1+k處取得，而，又g（1+k）0，g（1k）g（1+k）；當(dāng)a=1k時(shí)，I取最小值g（1k）=點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目21（14分）設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|xa|a（）當(dāng)a