折疊問題中相似三角形的識(shí)別

1、折疊問題中相似三角折疊問題中相似三角形的識(shí)別形的識(shí)別初三數(shù)學(xué)初三數(shù)學(xué)主講教師主講教師:張華云張華云相似三角形的識(shí)別法相似三角形的識(shí)別法識(shí)別法一：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似識(shí)別法二：兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等， 兩三角形相似識(shí)別法三：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似特別地： 一對銳角對應(yīng)相等，兩直角三角形相似識(shí)別法如下：應(yīng)用的較多！從幾何變換的角度看三角形中的相似三角形從幾何變換的角度看三角形中的相似三角形：ADECBADECBAEC(D)BAEDCBAEDCB例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B 沿沿AF 對折，使點(diǎn)對折，使點(diǎn)B 恰

2、好落在恰好落在CD 邊上的邊上的E 處處.CBADEF(1)觀察矩形ABCD被分成了幾個(gè)互不重合的三角形？它們分別是什么三角形？ 從圖上易知矩形ABCD被分成了4個(gè)互不重 合的三角形，它們都是直角三角形EAFBAF（且全等） DAECFE 例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B沿沿AF對折，使點(diǎn)對折，使點(diǎn)B恰好落在恰好落在CD邊上的邊上的E處處 C CB BA AD DE EF F(2) 請找出圖中的相似三角形； RtDAE和RtEAF中， DEA+DAE=90 DEA+CEF=90 所以DAE=CEF，從而DAECFE不一定不一

3、定 例例1 1任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCDABCD，把它的，把它的頂點(diǎn)頂點(diǎn)B B沿沿AFAF對折，使點(diǎn)對折，使點(diǎn)B B恰好落在恰好落在CDCD邊上的邊上的E E處處 C CB BA AD DE EF F(3) 想一想：這4個(gè)三角形是兩兩相似的嗎？EAFBAF（且全等） ； DAECFE DAE 相似于EAF？由(2)知：例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B沿沿AF對折，使點(diǎn)對折，使點(diǎn)B恰好落在恰好落在CD邊上的邊上的E處處CBADEF(4)做一做：你能分析出要使這 4 個(gè)三角形兩兩相似，

4、對于4個(gè)直角三角形中的銳角有何要求嗎？CBA ADEF若DAEEAF若DEAEAF？因?yàn)镈EA=EAB所以不可能！需要DAE=EAF又EAF=FAB DAE+EAF+FAB=90所以DAE=EAF=FAB=30所以要使這 4 個(gè)三角形兩兩相似，則 4 個(gè)直角三角形中均有一個(gè)銳角為 30 ，另一個(gè)銳角為60 需要DEA=EAF又EAB=2EAF例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的的 頂點(diǎn)頂點(diǎn)B沿沿AF對折，使點(diǎn)對折，使點(diǎn)B 恰好落在恰好落在CD 邊上的邊上的E 處處 (5)做一做：由(4)知，存在這樣的矩形（如圖）按題 中的方法對折后，形成的

5、4個(gè)三角形是兩兩相似的， 需要的條件是DAE=EAF=FAB=30現(xiàn)在請大 家動(dòng)手，把頂點(diǎn)D沿AE對折，把頂點(diǎn)C沿EF對折， 看一看， D、C落在了何處？D DA AB BF FC CE E邊邊AFAF上上E 為CD的中點(diǎn)E點(diǎn)在CD上的位置有何特點(diǎn)？為什么？ (6)試一試：給你若干張長方形的紙片、一副三角試一試：給你若干張長方形的紙片、一副三角板、剪刀和膠水，你能否剪拼出一個(gè)矩形，按題板、剪刀和膠水，你能否剪拼出一個(gè)矩形，按題中的方法對折后，形成的中的方法對折后，形成的4個(gè)三角形是兩兩相似的？個(gè)三角形是兩兩相似的？E(B)D(C)由(5)知，把下圖滿足條件的矩形ABCD的頂點(diǎn)B沿AF對折，使點(diǎn)

6、B恰好落在CD邊上的E處后，再把頂點(diǎn)D沿AE對折，把頂點(diǎn)C沿EF對折，D、C均落在了邊AF上，且這兩點(diǎn)重合，如右下圖所示DABFCE先用30的三角板作出RtAEF和斜邊AF上的高ED，再分別剪出三個(gè)分別和AED 、EFD、 AEF全等的三角形，然后用膠水拼一下即可這就給了我們一個(gè)啟示！FA練一練練一練(7)練一練：你能分析出如果一個(gè)矩形按題練一練：你能分析出如果一個(gè)矩形按題中的方法對折后，形成的中的方法對折后，形成的4個(gè)三角形是個(gè)三角形是兩兩相似的話，那么這個(gè)矩形的長和寬兩兩相似的話，那么這個(gè)矩形的長和寬的比是多少呢？的比是多少呢？注：請學(xué)過尺規(guī)作圖的同學(xué)，思考一下如何用尺規(guī) 作圖的方法畫出一

7、個(gè)這樣的矩形所以AB: BC= :(x+2x) = :3x3232DABFCEx2x4x2x3x2 3xRtCEF中， CEF=30，設(shè)CF=x，則EF=2x， CE=x3RtEAF中， EAF=30，則AF=4x， AB=x32練習(xí)練習(xí). 如圖所示，以如圖所示，以DE為軸，折疊等邊為軸，折疊等邊 ABC，頂，頂點(diǎn)點(diǎn)A恰好落在恰好落在BC邊上的邊上的F處處A AB BC CF FE ED D3 31 1 2 2(1) 觀察ABC被分成了幾個(gè)互不重合的三角形？易知ABC被分成了4個(gè)互不重合的三角形(2) 請找出圖中的相似三角形；ADEFDE（且全等） BDFCFE 又DEF由折疊得到，所以DFE

8、=A=60， 1+2=120 1+3=120所以2=3所以BDFCFE 因?yàn)榈冗匒BC，所以B=C=60練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí). 如圖所示，以如圖所示，以DE為軸，折疊等邊為軸，折疊等邊 ABC，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A恰好落在恰好落在BC邊上的邊上的F處處A AB BC CF FE ED D3 31 12 2A AB BC CFE ED D312(3) 做一做：如果這4個(gè)三角形是兩兩相似的，那么對軸DE有何要求？由(2)知：ADEFDE（且全等） BDFCFE 不一定 BDF相似于FDE？若BDFFDE？需要BDF=FDE又ADE=FDE ADE+FDE+BDF=180所以ADE=FDE=FDB=60已知B=DFE=60若BDFFED？需要BDF=FED從而需要DE平行于BC且DE為等邊ABC的中位線又BDF=CFE，類似可得上述對DE的要求思考題思考題1： 如圖所示，如圖所示，AB是等腰直角是等腰直角 ABC的斜的斜邊，若點(diǎn)邊，若點(diǎn) M在在AC邊上，點(diǎn)邊上，點(diǎn)N在在BC邊上，設(shè)邊上，設(shè) MCN沿