原函數與導函數的關系

1、 課題：探究原函數與導函數的關系首師大附中 數學組 王建華設計思路這節(jié)課是在學完導數和積分之后，學生從大量的實例中對原函數和導函數的關系有了一定的認識的基礎上展開教學的。由于這部分內容課本上沒有，但數學內部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學生拾級而上，最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導學生進行一次理論的探險，大膽地猜，小心地證，謹慎地修改條件，步步逼近真理。最終學生能否記住這些結論并不重要，重要的是研究相互關聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)秀

2、生或熱愛數學的學生來說會有更多的收獲。整個教學流程1. 從經驗觀察發(fā)現，猜想得命題p,q. 這兩個命題為真命題，證明它們的方法用復合函數求導，比較容易上手。2. 學生自然會想到這個命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現由于導數確定后原函數不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關于y軸對稱的性質能夠保持，但關于原點對稱的性質就不能保證了。3. 函數的平移不改變函數圖象的對稱性，因此將奇函數的性質拓展為關于中心對稱，將偶函數的性質拓展為關于直線對稱，研究前面的四個命題還是否成立。研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改變條件使之成為真命

3、題。4.已有成果的應用：利用二次函數的對稱性性質研究三次函數的對稱性。教學目標在這個探究過程中1.加強學生對導函數與原函數相生相伴的關系的理解；2.增強學生對函數對稱性的理解和抽象概括表達能力；3體驗研究事物的角度，一個新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認識了一個事物。4.培養(yǎng)學生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學重點以原函數與導函數的對稱性的聯(lián)系為載體讓學生體驗觀察發(fā)現、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學難點靈活運用所學知識探索未知領域。新課引入前面解題時我們常根據導函數的符號示意圖畫出原函數的單調性示意圖，你能根據原函數的圖像畫出導函數的示意圖嗎？一 探究由原函數的奇偶性

4、能否推出導函數的奇偶性。問題1 已知函數的圖像，請嘗試畫出其導函數的圖像示意圖。yxoxyo yxo oxyxyo導函數的實質是原函數的瞬時變化率，導函數的正負反應了原函數的單調性，導函數的大小反應了原函數增減的快慢。從圖像的整體性質上看，你還有什么發(fā)現？猜想p : 可導的奇函數的導函數是偶函數，猜想q: 可導的偶函數的導函數是奇函數。問題2 你能根據圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函數關于原點中心對稱，它的曲線在原點兩側等距離處升降速度相同，即切線斜率相等；偶函數關于y軸對稱，它的曲線在y軸兩側等距離處升降速度絕對值相等，即切線斜率互為相反數。問題3嘗試證明你的猜想P: 已知是可導的奇函數，求證

5、時偶函數分析1：欲證時偶函數，只需證若將理解將中的替換為得到的函數，可以用導數定義證明。證明：當是奇函數時,對定義域中的任意都有所以時偶函數分析2.用復合函數求導證明：當是奇函數時，對定義域中的任意都有兩邊對求導得，即得，所以時偶函數命題 q 同理可證.思考：看來已知原函數的奇偶性，我們可以確定導函數的奇偶性，那么已知導函數的奇偶性能否推知原函數的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二探究由導函數的奇偶性能否推出原函數的奇偶性。問題4 p和q的逆命題是否成立？p的逆命題：若是偶函數，則奇函數此命題不正確，可舉出反例：如是奇函數，而原函數當c不為0時，原函數不是偶函數。這是什么原因造成的呢？

6、因為原函數定了，導函數是唯一確定的，而同一個導函數的原函數有無窮多個。一個函數向上或向下平移后導函數是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函數上下平移就不能保證圖象關于原點中心對稱了。q的逆命題：若是奇函數，則偶函數證明：是奇函數時 能否推出？只能推出，思考是確定的值嗎？能求嗎？問題轉化為導函數是0，原函數是什么？可以舉出分段的常數函數 ，為使此命題成立，我們加強一下條件，將命題改為“對于在R上連續(xù)可導的函數，若是奇函數，則偶函數”。此時在處有定義，則，此時可得，原函數是偶函數。三探究由原函數的對稱性能否推出導函數的對稱性對于連續(xù)的可導函數，原函數的奇偶性可以推出導函數的奇偶性，而逆命題中當導

7、函數為奇函數時，原函數是偶函數，但當導函數為偶函數時，原函數不一定是奇函數，那么此時原函數雖然不是奇函數了，它是不是也有什么性質呢？它的圖像應該是中心對稱的。能否將剛才的結論推廣一下？問題5 奇函數圖象特征是關于原點中心對稱，偶函數圖象特征是關于軸對稱，能否將上述命題推廣一下？P的推廣命題：若可導函數關于對稱，則它的導函數關于直線對稱。證明：關于對稱，則，即，所以其導函數關于直線對稱。q的推廣命題：若可導函數關于對稱，則它的導函數關于對稱證明：關于對稱，則，即所以其導函數關于對稱導函數的對稱中心在軸上. 修改命題.若可導函數關于對稱，則它的導函數關于對稱令中可得，能否從圖像中找到解釋？四探究由

8、導函數的對稱性能否推出原函數的對稱性問題6 思考：命題，逆命題是否成立？命題的逆命題：對于在R上可導的函數，若它的導函數關于直線對稱，則原函數關于對稱證明：關于直線對稱，則而得當時可得，所以，即函數關于對稱。對稱中心在函數圖像上。命題的逆命題：（課上只寫出命題，判斷驗證留作課后思考題）對于在R上連續(xù)可導的函數，若它的導函數關于對稱，則原函數關于直線對稱證明：關于直線對稱，則而得當時，此命題不成立。當時，由時可得，所以，即函數關于對稱。命題的逆命題需要修正，若對于在R上連續(xù)可導的函數，若它的導函數關于對稱，則原函數關于直線對稱五原函數與導函數對稱性聯(lián)系的應用1.我們知道二次函數都是有對稱軸的，而

9、二次函數又是三次函數的導函數，你能由此得出三次函數具有什么性質？分析：由命題的逆命題知三次函數必有對稱中心。對稱中心的橫坐標與導函數的對稱軸的橫坐標相同。求任意三次多項式函數的對稱中心。解：，其對稱軸是，將此值代入解析式可得對稱中心縱坐標。即函數的對稱中心為.2.若是偶函數，則的關系是 解：由其導函數是奇函數，且在0處有定義，可得，得，代回檢驗。小結：整體結構：原函數 導函數導函數 原函數奇偶性p： 可導的奇函數的導函數是偶函數（真）q: 可導的偶函數的導函數是奇函數（真）p逆：若是偶函數，則奇函數. （假）q逆：若是奇函數，則偶函數 . （真）對稱性r：若R上可導函數關于對稱，則它的導函數關

10、于直線對稱。 (真)s: 若R上可導函數關于對稱，則它的導函數關于對稱。 (真)r逆：對于在R上可導的函數，若它的導函數關于直線對稱，則原函數關于對稱. （真）s逆（改）：對于在R上可導的函數，若它的導函數關于對稱，則原函數關于直線對稱。（真）證明上述命題的思路：1. 由原函數研究導函數用符合函數求導；2. 由導函數研究原函數從要證的式子出發(fā)尋找原函數的性質。課后思考研究： 判斷s逆是否正確，如果正確嘗試證明，若不正確舉出反例。教學反思： 學生對這樣的課很感興趣，一方面可以在探索的過程中加深對導數概念的理解，另一方面可以感受到數學內部的嚴謹性和對稱美。命題的產生來自經驗，命題的證明需要用復合函數的導數這一工具溝通原函數和導函數的對應關系，開始學生覺得有點吃力，需要教師加以啟發(fā)引導。但證過兩個命題后，學生對后面的命題證明就有了可以類比遷移的