不動點法求數(shù)列的通項(講座)

1、精品不動點法求數(shù)列的通項惠來縣第一中學方文湃自從實施新課程標準， 使用新教材以來， 高考題中出現(xiàn)了數(shù)列的解答題的次數(shù)好象不少。如2007 年普通高考廣東數(shù)學理科卷壓軸題第21 題 、 2011 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學廣東卷理科第20 題 ，這兩道題都是已知數(shù)列的遞推式，求它的的通項公式，并且求法都與“不動點 ”有關。記函數(shù) f(x) 的定義域為 D ，若存在D ，使 f()成立，則稱（，）為坐標的點為函數(shù)f(x) 圖象上的不動點。以此類推，在數(shù)列an 中， an+1 =f(a n )(nN + )，若存在滿足方程f()，稱為不動點方程f()的根。下面介紹的一些數(shù)列，可先求生成函數(shù)（

2、遞推式）的不動點，通過換元后，化為等差、等比數(shù)列，再求這些數(shù)列的通項，這一方法，我們不妨稱為不動點法。一、遞推式為 an+1 =aa n +b(a0,a1,a,b均為常數(shù) ) 型的數(shù)列由遞推式 an+1 =aa n +b 總可變形為an+1 =a （an） （）（）式中的與系數(shù) a,b 存在怎樣的關系呢？由（）得 an+1 =aa n ab=a即a+b （）關于的方程（）剛好是遞推式an+1 =aa n +b 中的 an，an+1 都換成得到的不動點方程。令 b n =a n 代入（）得 b n+1 =ab n一般來說，可先求等比數(shù)列b n的通項，再求數(shù)列 an 的通項。感謝下載載精品例：在數(shù)

3、列 an 中，已知 a1 =1,a n+1 =1 1an (nN + ),求 lim a n 。2n解：令 x=1 1 x 得 x= 223an+1 2=11an 2= 1(an 2)32323令 b n =a n 2 ，則 b n+1 = 1 b n32數(shù)列b n成首項為 b1 =a 1 2=12= 1，公比為 q 1的等比數(shù)列，3332于是有b n= 1 ( 1 )n 1 即 an 2 1 ( 1 )n 132332an= 2 1 1 ( 1 )n332lima n =23n限于篇幅，求這種類型的數(shù)列的通項，其它的解法就不說了。aa nb（c0,a,b,c,d為常數(shù)）型的數(shù)列二、遞推式為

4、an+1 =dcanaa nb(a c )anb d(a c )(anb d)an+1 =a ccan can=canddd令 bd可化得ac ab （）cd關于的方程（）剛好是遞推式aanb都換成后an+1 =中的 an， an+1cand的不動點方程。1當方程（）有兩個不同根，時，有an+1 (a c 1 )(an1 )ca nd感謝下載載精品an+1 (a c 2 )(an2 )ca ndan 11 ac 1?an1an 12a c 2an2令 b n =an1ac1?b nan有 b n c2a2一般來說，可先求等比數(shù)列b n的通項，后求數(shù)列 an 的通項。例：數(shù)列 an 由 a 1

5、=2 ，an+1 =3an1（n 1）給出，求 lim a n 。an3n解：令 x=3x1,得 x1=1,x2 =-1 ，于是有x33an112(an1)an+1 - 1 =3an3anan+1 +1 =3an114(an1)an3an3 an 11 = 1 an1an 112 an1設 b n =an1,則 b n+1 =1b nan12這樣數(shù)列 b n 成首項為b 1=a11=1公比為1a11,的等比數(shù)列 , 于是 b n321( 1) n 1,=3211an11bn1() n1由 b n =32an1得 an =bn1111)n13(2 lim a n =1n2當方程（）出現(xiàn)重根同為時

6、，由 an+1 ( a c )( an)得ca nd感謝下載載精品1can dcdcan 1(a c )(an)a c(a c )( an)設 cn =1dcca n得 cn c?cn aa c即數(shù)列 cn 的遞推式總可化為“ cn acn +b（a，b 為常數(shù)）型”，又一次運用不動點法求得數(shù)列cn的通項，從而求數(shù)列 an的通項。2an例 :在數(shù)列 an中， an =1, a n 1 =(n=1,2)。求 a n 。an22 x解：令 x=,得 x1=x 2=0設b n =12an可得 b n 1 =b n +1an,則由 a n 1 =2an2b n 成為首項為 1,公差為 1的等差數(shù)列 ,

7、于是2b n =1+n 1n 122a n =2n1需要指出的是，上述方法同樣適用于方程（）兩根不同的情形。對例，可設 c=1（或 c=1），我們運用上述方法來求數(shù)列a 的通項。nan1na n1n例另解：令 x= 3x1 ,得 x1 =1,x 2 =-1，于是有x3n+13an112(an1)a- 1 =3an3an1a n3=1+2=an 11 2( an1)2 an 1令 b n =1，則 b 1=1=1 ，b n+1 =2b1n +an 1a112令2+ 1 得 122bn+1+ 1 =2bn +1 + 1 =2(b n+1 )2222感謝下載載精品b n +1成首項為 b 1+ 1

8、=3 ，公比為的等比數(shù)列，于是有 b n +2221 = 3 2 n-122b n = 3 2n-1 - 1 = 1 (3 2 n-1 -1)22211 =1+22(1) n1代入 b n =得 an=1+=1+32an3 2n 111bn11(n 11)32 lim a n =1n小結解法：一般地，設1 ，2 是關于 的方程 l = al + b cl + d的兩個根，對遞推式為 an + 1= aan + b（ a,b,c, d 為常數(shù)）型的數(shù)列，可以有以can + d下兩種方法來求其通項：解法一 ：1o 設 cn =1 （1 或2）得 cn dc ?cn c，a naca c即 cn 的

9、遞推式為 an + 1 = aan + b （ a,b 為常數(shù)）型的數(shù)列；2o 求 cn的通項，再求 an 的通項。解法二 :1o 設 bn an 11，證數(shù)列 b n 成首項為 b 1 = a11 的等比數(shù)列；an 12a122o 求 bn 的通項，再求 an 的通項。當方程有重根時， 解法二 無法進行。以下是 2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學廣東卷理科第20 題第（ 1）小題的不同解法：20. （本小題共 14 分）設 b0, 數(shù)列 annban 1(n 2)滿足 a1=b ， an2an 1 2n.（ 1）求數(shù)列 an的通項公式；感謝下載載精品nban- 1anban- 1 1

10、an =?n - 1an- 1 + 2n - 2nan- 1 + 2n - 1bn =nbn =bbn- 1?1bn- 1 + 2 =2?11anbn- 1 + 2bnbbn- 1bbn- 1bb = 2bn= n an = 2212 (bn - 1 -1b 1 2bn -=)b -2bb -2bn -1b1 -1=1 -1= -22b-2b -2bb -2b(b - 2)bbn -1= -2( 2) n- 1b - 2b(b -2) bbn=12-22)(2 )n - 1 =12-1( 2 )n =11- ( 2) n b -b(b -bb -(b -2)bb -2ban=n2 n= n(b

11、 - 2)bn1(bn - 2nb -1-)2ban=nbn*bn- 1+ bn- 2?2 bn- 3?22L + b2?2n-3b?2n- 22n- 1 (n ? N )nban- 1anban- 1:an =?n- 1+ 2n -2nan- 1a+ 2n- 1n - 1bn =nbn =bbn- 1,b1=1 =1anbn - 1 + 2a1bx =bxx1 = 0, x2 = b - 2x + 2bn = bbn- 1bn- 1 + 2bn - (b- 2) =bbn- 1- (b - 2) = 2bn- 1 - (b - 2)bn- 1 + 2bn- 1 + 2感謝下載載精品 得 bn

12、(b2)2bnb bn(b2) 是首項為 b1(b2)(b1)2 ，公比為 q2 的等比數(shù)列，于bnb1b是bn (b 2)(b 1) 2 ( 2) n 1 解得 bn =11- ( 2)n bnbb-2ban =nn(b- 2)bn12=2n)nbn -b -1-(2b即 an =bn- 1 + bn- 2 ?2bn- 3 ?22nbnb?2n- 22n- 1(n ? N * )L + b2 ?2n- 3* 關于周期數(shù)列：1.已知數(shù)列 an中， a11 , an1n2, n N * ，則a100 =2an12.已知數(shù)列 an中， a11 ,an1n2, nN *，則a2012 =2an 13

13、.已知數(shù)列 an中， a11, an11n2, nN *，則 a15 =2an 14.數(shù)列 an中， a13, an 1an1 (n2) ，求這個數(shù)列的通項公式，并計算1an1a1 a2 La2000 的值。因為以上數(shù)列的遞推式其對應的函數(shù)f(x) 都是周期函數(shù)（ a 0 ，為常數(shù)）：(1)1( f ( x) ? 0) ，則 f ( x) 的周期 T=2a ；f ( x+ a) =f ( x)(2)1( f ( x) ? 0) ，則 f ( x) 的周期 T=2a ；f ( x + a) = -f ( x)(3)1( f (x) ? 0) ，則 f (x) 的周期 T=3a ；f ( x+ a

14、) = 1-f (x)感謝下載載精品1+ f ( x)f (x)T=4a(4) f ( x + a) =( f ( x) ? 1)1-f (x)三、遞推式為an+1 = a 2 nb (b,d 為常數(shù) ) 型的數(shù)列2and200721f (x)=x 2 +x 1, , f(x) ,f/xf (x)a1 =1,a n+1 =a n f (an ) (n=1,2)f ( an )(1) , ;(2) :n,an ;(3) b n =lnan(n=1,2),b nnsnan(3)b n :an+1an21an21 15an21(15)an125 =2an =1=2an112an2(an12 5)2(

15、an)2( )=1=2an12anan+1 =an21 = ( an) 2( )2an12an1()():an 1(an)2lnan 1anan 1=) 2an 1=2 ln(ananb n=lnan,b n+1=2b nb n an感謝下載載精品1152=4ln 15 ，公比為 2的等比數(shù)列 ,故 b n=2 n+1 ln 15 。b 1 =ln221152(an15)2當然由 b n =2ln可求 a n 。(an15 )2方程 f (x)=x 2+x 1=0的兩根,與遞推式 an+1 =a n f ( an )=an21 有何f ( an )2an1關系呢 ?仔細推敲 ,方程 x2 +x

16、 1=0正好是不動點方程 x=x 21的變形， ,也是不2x1動點方程 x=x21 的兩根。2x1n+1an2aanb ( , ,d為常數(shù)）”的數(shù)列都可是不是所有遞推式形如“ a=cana b cd用上述換元方法求 an 通項呢？下面舉一反例給予否定。例如：對 an+1 =an23x 23解得 x1 =1,33an1(n=1,2)，令 x=1x2= -3x2an+1 1=an23 1 =an23n23an13an1顯然n 2 3a n+2( an1)2。a當系數(shù) a,b,c,d 怎樣時，才可運用上述換元方法求呢？an2aanban2(a c )an b dan+1 - =candcan d令

17、an2 + (a c) a n + (b d ) = ( a n )2 = an22 an2由恒等式得：感謝下載載精品=?0?a?a - ca = - 2a?2T?c = 2?da = a?2?b-?+ da - b = 0L L L L L (6)?a把 ()式中改為 x 得 : x2 + d x b =0()方程（）正好是當 a=0,c=2an2bx 2b時遞推式“an+1 =”的不動點方程 x=2 xd2and的變形。1nn+1an2b所以 ,對已知初始值 a(或數(shù)列 a 的某一項 ),遞推式為 a=2an（ b,dd為常數(shù)， n 為正整數(shù)）的數(shù)列 an ，設,是不動點方程 x=x2b 的兩根 ,可2xd按下列方法求數(shù)列 an 的通項：1當 a1 = 或，數(shù)列an 為常數(shù)數(shù)列， an = 或；2當a1且a1，若 ，設 b n=ln|an| ,證bn 為等比數(shù)列，后求ann；a2xb3當 a1= 時，由不動點方程 x=得 x2 + d x b =0 = d 2+4b=0，b = d