微積分基本定理與應(yīng)用

1、§3.4定積分與微積分基本定理一、明確復(fù)習目標i. 直觀了解微積分基本定理的含義.2 .會求簡單的定積分.3. 會用定積分的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題.二. 建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1. 定積分的定義如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a = Xq ：為：| : xid =兇 川:Xn二b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每 個小區(qū)間lxiJ,xi 1上任取一點(i =1,2,川，n)作和式當n時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做b函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作，在f(x)dx中，和分別叫做積分下限和積分上限， 叫做被積函數(shù)， 叫做積分變量， 叫做被積式.2. 定積分的

2、性質(zhì)b(1) k f (x)dx =( k 為常數(shù))；"ab(2) fi(x) 一 f2(x)dx 二；ab(3) f (x)dx =(其中 a ： c ： b). a3 .微積分基本定理*b一般地，如果f (x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且 F (x) = f(x)，那么 f(x)dx =* a ，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓一一萊布尼茲公式，可b以把 F(b) -F(a)記作，即 f(x)dx =."a4. 通過定積分的運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0.(1 )當對應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸上方時，定積分的值取正值，且等于 (2) 當

3、對應(yīng)的曲邊梯形位于 X軸下方時，定積分的值取負值，且等于 (3) 當位于X軸上方的曲邊梯形的面積等于當位于X軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為_；定積分的值等于位于 X軸上方的曲邊梯形的面積 位于X軸下方的曲邊梯形的面積.4. 定積分求曲邊梯形面積如右圖所示，由三條直線：x=a, x=b a : b , x軸及一條曲線y二f x f x > 0圍成的曲邊梯形的面積為 S二若在區(qū)間l.a,b 上，f x < 0,則S =若在區(qū)間l.a,c 1上，f x > 0,在區(qū)間l.c,b 1上，f x < 0，則S二5. 勻變速運動的路程公式：tv4作變速直線運動的物體所經(jīng)過的

4、路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t) v(t) > 0在時間區(qū)間 a, b 1上的定積分，即s-6.變力作功公式一物體在變力F x (單位：N )的作用下作直線運動，如果物體沿著F x與F相同的方向從x二a移動x = b a b (單位：m )，則力F所做的功為 W二三、雙基題目練練手1下列值等于1的積分是()1 1A. xdxB. I I x 1 dxS* 0 '#2.2二 sin x cosx dx 的值 ()C.101dXD.1101dXB.C. 2D. 43如圖，直線y =1與拋物線y =x2相交，則陰影部分面積為()A. - B. 1 311n xdx = x|n222I

5、n2ClB. In .2D.In2 21y嚴/V=1FT -1 O1s四、【例a1f (2x+ )dx =3 + 1 n2，且 a> 1,1xa的值為B.已知自由落體運動的速率A.蠹3x0 F' t dt =B.經(jīng)典例題做一做v = gt，則落體運動從t = 0到t = to所走的路程為gt02 21】(1)1 (x2 2x 1)dx(2) o(sin x-cosx)dx2 2 1(3)(x -x )dx1x【例2】求兩曲線y2 =x和y =X2所圍成圖形的面積.0fx(cosx + e)dxz 21【例3】一物體在做變速直線運動，其v -1曲線如圖所示，求該1物體在一s6s間的

6、運動路程.2【例4】如圖，陰影部分的面積是()321111A7B11110136;(s)A. 2一3B. 9-2、33235C.D.33293【例5】拋物線：y=x -2ax a 0 ,若過原點的直線1與拋物線所圍成的圖形面積為 -a ,求直線1的方程.五.提煉總結(jié)以為師1用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限要借助于求曲邊梯 形的面積和求變速直線運動的路程去體會定積分的基本思想.2. 用微積分基本定理求定積分：關(guān)鍵是找到F，x二f x滿足的函數(shù)F x，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算，運用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運算 法則從反方向上求出 F

7、 x .3 .利用微積分基本定理求定積分，有時需先化簡，再積分.4.在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形的直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限.5 .要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當f x < 0時要通過絕對值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個曲邊梯形的面積，然后相加起來，例如: 當函數(shù)f x在區(qū)間l.a,b上恒為正時，定積分 bf(x)dx的幾何意義是以曲線 f x為曲邊梯 ab形的面積，一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于 x

8、軸、函*a數(shù)f x的圖象以及之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方和面積取負號.6 .體會定積分的化歸和逼近的思想方法.同步練習1 .下列有定義的定積分為1 1xdxB.2 1 dx cosx4 dx(x-2)220ln xdx2. (2007年山東濰坊)2 二sin xdx =( -02 xx0a dx 二-2 a，則a等于(B.e21C . e2(2007年廣東潮州)已知f(X)為偶函數(shù)且1D . e260 f(x)dx =8，則6r f(X)dx 二D . 164 exdx的值等于-_242A . e -eB . e4e2C . e4 - e2 -2e4e，- 22 2(

9、2007年廣東汕頭)° (4 -2x)(4 -3x2)dx =使F(x)=xn°成立的所有F(x)可以表示為F(x)二v0,a均為正的常數(shù))(m).(2006年山東濰坊)汽車從 A處起以速度v(t) -at(m/s)(其中開始減速度行駛，至 B點停止，則A、B之間的距離S-9. 由y =x3及y =2x圍成平面圖形的面積，若選x為積分變量，利用定積分應(yīng)表達為 若選y為積分變量，利用定積分應(yīng)表達為 .10 .求下列定積分的值.(1)|x2 -1| dx;(2)9-x2dx;u 0 0111. 已知 f(a)(2ax2-a2x)dx，求 f (a)的最大值.212. 一質(zhì)點在直

10、線上從時刻 t =0(s)開始以速度v =t -4t 3(m/s)運動.求(1 )在t =4s的位置；(2)在t =4s內(nèi)運動的路程.§ 3.3 定積分自主學(xué)習匕當基礎(chǔ)無限測近于+8時，（sin +sin + nnn成定積分的形式，可記為+sin （n 一1）：）寫答案 10 sin xdx2. 01dx= .答案13. 由曲線y=ex,x=0,y=2所圍成的曲邊梯形的面積為（用定積分表示）答案 flnydy 或,Jn2(2-e x)dx4.已知 f （x）為偶函數(shù)且 Of （x）dx=8,則.f（x）dx=_.答案 165.已知-1 < a<1, f (a) = 0 (

11、 2ax2- a2x) dx,求 f (a)的值域.解 f (a)=0 (2 ax2- a2x)dx=(2a 3x32a 2)|x )|212=-(a-)232+Z972-1 < a< 1,. - < f (a )< I69故f (a)的值域為! _7 -IL6 9例1計算下列定積分(1)0x(x+1)dx;(2) 2(e2x+ 丄“乂;x(3) 0：sin 2xdx.典例剖析解 (1)v x (x+1) =x2+x 且(丄 x3) ' =x2,( lx2) ' =x,322x(x+1)dx= 2 (x2+x)dx=0x2dx+ 0xdx=x3| O +

12、 fx 2 32=(1 X 23-0)+(丄 X 22-0)= 14 .323(2) v (in x) ' = 1 ,(e 2x) ' =e2x (2x) ' =2e2x,x得 e2x=( le21)'2所以 2 ( )dx= fe2xdx+ ：丄 dx =e2x| f +ln x| f= le4- 1e2+ln2-ln1= .!e4- 1e2+ln2.2 2 2 2(3) 由(sin2 x) ' =cos2x (2x) ' =2cos2x,得1cos2x= ( sin2 x)',2所以 O sin 2xdx= 0( 1- 1 cos2x

13、) dxulO v 2 2=1 dx- 1 0 cos2xdx2 2=1 x| J- 1 ( 1 sin2x) | 0：2 2 2=(二-0) - 1 ( -sin2 -丄 sinO )=二.2 2 2 2 2例2計算下列定積分(1)0 |sin x|d x;(2)01 !-1|d x.解 (1)v( -cos x)' =sin x,二 _07r|sin x|d x= _0jsin x|d x+ 撐|sin x|d x =Fsinxdx- 箱sin xdx=-cosx| 召+cosx| 評=-(cos 二-cos0 ) + ( cos2 二-cos 二)=4.(2)v 0< x&

14、lt; 2,于是 |x2-1|= Jx 一1(1空蘭2)1 x2(0 蘭x <1)0| x2-1|d x= 0(1- x2)dx+ 2(x2-1)d x,/ 13 2+ ( x -x) | 1113=(1-丄)+ (丄 X 2-2 )331-(-1 ) =2.3例3 求函數(shù)f ( x)=3 xx2x"0,1x(1,2在區(qū)間0, 3上的積分.2xx (2,3解由積分性質(zhì)知320f(x)dx= 0 f (x)d x+ ff (x)dx+ 2f(x)dxxdx+2xL10 +13x241 o4X+211丄81丄84 + - + - 4 33 In 2 In 2431+ .In 212

15、例4(14分)求定積分 篤.16亠6x -x2 dx.解設(shè) y= -.16 (x x2 ,即(x-3)2+y2=25 ( y > 0).5 分 ；16 6x -x2 dx表示以5為半徑的圓的四分之一面積.10分6 6x x2 dx= 25 兀.14 分4知能遷移1. 求 (cos x+e)dx.解 (cos x+e )dx= 仃cosxdx+ edx=sin x| l+e|=1-丄.e八2. 求 4 (| X-1|+| x-3| ) dx.,X 44(x <1)解 設(shè) y=|x-1|+| x-3|=2(1<x<3)2x -4(x _3)-o(| x-11+1 x-3|)

16、d x=0 (-2 x+4)d x+ 32dx+ 3 (2x-4)d x=(-x2+4x)| 0+2x| 3+(x2-4x)| 4 =-1+4+6-2+16-16-9+12=10.2(x+1)(0Ex<1)3. 已知函數(shù)：f (x)= * jx(1 蘭x <2)G'，2)x-L(2 蘭x 蘭3)求 Of (x)dx.解 Of (x)dx= 02(x+1)-1 dx+ . x dx+ 2 ( ' 2 )"dx=2ln( x+1)| 0+2 ；x3 | 2+ 1 J2)x° |33 In (2=2ln2+ 2 (2 2-1)+ _J(2/2)3In、

17、24. 0 ( 1 -(x -1)2 -x) dx=_答案 24j*-活頁作業(yè)、填空題1. 定積分.3 兀訥 YOSX dx=.答案 6 ,2x=a, x=b所圍成的平面區(qū)域的2. 若y=f(x)與y=g(x)是a, b上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線面積為 (用定積分表示).答案 和 f(x)- g(x)|d x3. 定積分 0(3卞+3 x)dx= .答案2In 3廠24. 設(shè)函數(shù) f (x) = /+1,0 蘭xM,則 2f(%)dx= .3 x,1 <x <2,答案1765. 定積分 22 2( x3+5x5)d x=.答案 06. 根據(jù)0 sin xdx=0推斷

18、，直線x=0, x=2二,y=0和正弦曲線y=sin x所圍成的曲邊梯形的面積時，曲邊梯形在x軸上方的面積 在x軸下方的面積.(用“大于”，“小于”，“等于”填空)答案等于7. 若 0f (x)d x=1,；f(x)dx=-1,貝 U 2 f (x)d x= .答案 -28. 定積分0石dx的值是 .1 +x答案 lln22二、解答題9. 求下列定積分的值(1).0 .9 -x2 dx;2 _已知f(x)=必一斗 f(x)dx= 01 x dx+ 0 1dx蘭X蘭0，求Lf(x)dx的值.1 0 £X C1解 (1) 3 9 -x2 dx表示以y=、. 9-x2與x=0, x=3所圍

19、成圖形的面積，而 y=:9-x2與x=0,x=3圍成的圖形為圓x2+y2=9在第一象限內(nèi)的部分，因此所求的面積為-：.4一1_x _00 : x ：:1=丄 x3|3°_i+x|0 =丄+1 =么33o f (x) dx =-2，求 a、b、c 的值.10. 已知 f (x) =ax2+bx+c，且 f (-1 ) =2, f'( 0) =0,解由 f (-1 ) =2,得 a- b+c=2,又 f ' (x)=2ax+b,由 f ' (0)=0 得 b=0,of (x)d x= 0 ( ax'+bx+c)d x=(1 ax3+ bx+cx)| 0 3

20、21 1=a+ b+c.32即 1 a+ 1 b+c=-2 ,32f (x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超過由得：a=6, b=0, c=-4.11.已知 f ( a)=0 (2 ax2-a2x)d x,求 f (a)的最大值.解0(2ax2-a2x)dx=( 2 ax3-1 a2x2)| 0_ 2 1 o2=a - a3232即 f(a)= Za-丄 a2=-1 (a2-4a+4 )+ 23223991/2、22=-(a- ) + .239所以當a=時，f(a)有最大值.3912. (2009 青島模擬)對于函數(shù)f (x)= bx3+ax2-3 x.(1 )若f(x)在x=1和x=3處取得

21、極值，且2sin t cost -2 3 cos2t + . 3 ,試求實數(shù)t的取值范圍;(2)若f(x)為實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且 b>-1,設(shè)點P的坐標為(a, b)，試求出點P的軌跡所圍成的圖 形的面積S.解 (1)由 f (x)= bx3+ax2-3 x,則 f ' (x)=3bx2+2ax-3,/f (x)在x=1和x=3處取得極值，x=1和x=3是f' ( x)=0的兩個根且 b工0.1勺=-33b/ f' (x)=-x2+4x-3.T f (X)的圖象上每一點的切線的斜率不超過2sin t cost -23 cos2t + , 3 ,/ f '

22、; (x) < 2sin t cos t -2 , 3 cos2t + . 3 對 x G R恒成立，而f ' (x)=-( x-2) 2+1,其最大值為1.故 2sin t cost -2 3 cos2t + . 3 > 1=2sin(2 t- ) > 1 = 2k：+< 2t-< 2k 二+- , kG Z'3636=.k-+< t < k-+二，kG 乙4 12(2 )當b=0時，由f(x)在R上單調(diào)，知a=0.當b工0時，由f(x)在R上單調(diào):二f ' ( x) > 0恒成立，或者f ' (x) <

23、0恒成立./f ' (x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b< 0 可得 b< -丄 a2.9-a2與直線b=-19從而知滿足條件的點P (a, b)在直角坐標平面aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線b=-所圍成的封閉圖形，其面積為 S= 33 (1- - a2)d a=4.9§ 3.4定積分的簡單應(yīng)用i* 自主學(xué)習 一*«基礎(chǔ)自測1總由y=cosx, x=0, x=二,y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為.答案 0 cosxdx+| cos xdx |2間的運動路程為2. 一物體沿直線以v=3t+2 ( t單位：s, v單位：m/s)的速度運動

24、，則該物體在3 s6 sm.答案 46.53. 用力把彈簧從平衡位置拉長10 cm,此時用的力是200 N，變力F做的功W為J.答案 104. 曲線y=cosx ( 0 < x < 3)與坐標軸所圍成的面積是答案 3x軸），棒長為5. 有一質(zhì)量非均勻分布的細棒，已知其線密度為（x） =x3 （取細棒的一端為原點，所在直線為1，則棒的質(zhì)量M為答案14例1求拋物線 面圖形的面積.y2=2x與直線典例剖析y=4- x圍成的平解由方程組2丿=2x解出 y =4 x拋物線和直線的交點為（2，2）及（8,-4）.方法一 選x作為積分變量，由圖可看出S=Ai+A2在Al部分：由于拋物線的上半支方

25、程為y =2X ,下半支方程為y=- .2x，所以1Sa=2 N2x-(- V2x) dx=22 |x 2 dx3=2.2 £x2| 2=16，33s A2 = 2 4-x-(-. 2x ) dx=(4x- x2+ 2 2 x 2 )| 8 =38 ,2 33于是：S=16 +38 =18.3 3方法二 選y作積分變量，2將曲線方程寫為x=L及x=4-y.22 2s=巳(4- y) - d y=(4 y- - )| 2_42 2 6=30-12=18.例2（14分）如圖所示，直線 y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.解 拋物線y=x-x2與x軸兩交

26、點的橫坐標X1=0,X2=1,所以拋物線與x軸所圍圖形的面積s= 0 (x-x2)3x-)|=1-1=12 36拋物線y=x-x2與y=kx兩交點的橫坐標為x i =0, x 2=1- k,所以 S= 0主(x- x2- kx) dx2 012分14分1 min內(nèi)所行駛的路程13= -（1-k）,6又知 S=1，所以（1- k） 3 = 1,6 2于是 k=1-中1 =1-2 .勺22例3 一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示，求此汽車在這解由速度一時間曲線易知，3tt :二0,10）v（ t）= 30t - 10,40）1.5t90 t - 40,60由變速直線運動的路程公式可得s= 00 3t

27、 dt + 4o 30dt +OO6 -(-1.5 t +90)d t_ 3 * 2 10403 260=t | 0 +30t | 10 + (-二 t +90t )1 40 24=1 350 (m).答 此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.i*知能遷移一1. 求拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積 S.y2 _解 方法一 由川 =x得拋物線與直線的交點為P（ 1，-1），Q（ 9，3）（如圖）豈一2y 3 =0二 S=0.x)=2.一 x dx+ 9 ( , x -+3)dx2 23 20 + ( 2X2-L + 3X| 9 = 4 + 28 = 323

28、 42333方法二若選取積分變量為y，則兩個函數(shù)分別為x=y2, x=2y+3.由方法一知上限為3，下限為-1.二 S= ,3i (2y+3-y2) dy= (y2+3y- 1 y3)| 31 32=(9+9-9)-(1-3+)=.3 32. 如圖所示，陰影部分的面積是答案3233. 一物體按規(guī)律x=bt3做直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，試求物 體由x=0運動到x=a時，阻力做的功.解 物體的速度 v=x' (t)=( bt3) ' =3bt2,媒質(zhì)阻力f E=kv2=k (3bt2) 2=9kb2t4.(其中k為比例常數(shù)，k>0)當

29、x=0時，t=0，當x=a時,阻力做的功是:W阻 = a f 阻 dx= 01 kv2 vdt=k J v3dt=k g (3bt2) 3dt= 7kb3t17 =27 k3a7b27 7活頁作業(yè)一、填空題1. 如圖所示，陰影部分面積為答案 £ g(x)-f(x) dx+£ :f(x)-g(x) dx2 2. 設(shè) f (x)=x , xqo,1,則 ff(x)dx=.2x,x 皋(1,2,答案563. 設(shè) f (x)= 0 sin t dt,則 f (f ( 2 )=.答案 1-cos1f4. 一物體在力F(x)=(0蘭x蘭2)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x=

30、0處運動到x=43x+4(x>2)(單位：m)處，則力F(x)做的功為J.答案 465. 一物體在變力F(x)=5- x2(力單位:N,位移單位:m)作用下，沿與F( x)成30°方向作直線運動，則由x=1運動到x=2時F(x)做的功為J.答案空36. 函數(shù)F(x)= 0ft(t-4)d t在-1,5 上的最大值為 ，最小值為答案0 - 327.汽車以v=3t+2 (單位：m/s)作變速直線運動時，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是m.答案 6.58. 若f (x)是一次函數(shù)，且0f(x)dx=5, 0xf(x)dx=衛(wèi)，那么函數(shù)f ( x)的解析式是6答案 f(x)

31、=4x+3、解答題9. 證明：把質(zhì)量為 m (單位：kg)的物體從地球的表面升高 h(單位：m)處所做的功V=G- Mmh ，其中G是k(k+h)地球引力常數(shù)，M是地球的質(zhì)量，k是地球的半徑.證明 根據(jù)萬有引力定律：知道對于兩個距離為r,質(zhì)量分別為 m、m的質(zhì)點，它們之間的引力為f (r)=G- m1m2，其中G為引力常數(shù). r2則當質(zhì)量為m的物體距地面高度為 x(0 < x< h)時，地心對它的引力f (x) =G-一(k+x)故該物體從地面升到 h高處所做的功為心(x) dx=0G鳥 dx=GMmh 一d (k+x)L (k +x)Mmh=G .k(k h)10. 設(shè)函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx在點x=1處有極值-2.(1) 求常數(shù)a, b的值；(2) 求曲線y=f (x)與x軸所圍成的圖形的面積.解 (1)由題意知 f' (x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2 且 f' (1)=0,即加加一 4，解得a=0, b=-3,3 +2a +b =0即 f (x)= x3-3x.(2)作出曲線y=x3