微積分基礎知識總結(jié)以及泰勒公式

1、§3.3泰勒公式常用近似公式e V x , sinx ” x（ x充分?。?，將復雜函數(shù)用簡單的一 次多項式函數(shù)近似地表示，這是一個進步。當然這種近似表示式還較粗糙（尤其 當x較大時），從下圖可看出。上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：1、提高近似程度，其可能的途徑是 提高多項式的次數(shù)。2、 任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個想法作進一步地數(shù)學化：對復雜函數(shù)f（X），想找多項式Pn（X）來近似表示它。自然地，我們希望Pn（x）盡可能多地反映出函數(shù)f（X）所具有的性態(tài) 一一女口：在某點處的值與導 數(shù)值；我們還關心Pn（X）的形式如何確定；Pn（x）

2、近似f（x）所產(chǎn)生的誤差Rn（X）二 f（X）- Pn（x）0【問題一】設f（x）在含X。的開區(qū)間內(nèi)具有直到n "階的導數(shù)，能否找出一個關于（x _xo）的門次多項式Pn（x） =a。 ai（x - Xo） a2（x - Xo）2an（x - Xo）n（1）且 即&0）= f（k）（xo） （k = 0,1,n）近似f（X）?【問題二】若問題一的解存在，其誤差&(X)二f(X)_ Pn(x)的表達式是什么？【求解問題一】問題一的求解就是確定多項式的系數(shù) a0, a，an 。2Pn( x)=ao ai(x-xo) a2(xxo) 亠 亠 an( xx°)a。二

3、 Pn(Xo)Pn(x)二 ai 2a 2 ( - x o ) 3a3(x - x。)2n a.(x - x。)"'-ai=pn(x°)2n 2Pn (x) =21a23 2a3(x - x°)4 3日4(x -x°)亠 亠 n (n -1) a“(x - x°)-2 1 a p"( xo)Pn (x) =32 1 S3 4 32 S4 (x-© 5 4 3 (x-xo)2n(n-1) (n-2) q (x-xo)n3 2 1 a3 二 Pn (Xo)上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出:a。= Pn(Xo) =

4、 f (Xo)1 a Pn(X°) = f (Xo)2 1 £2 二 Pn(Xo) = f (Xo)3 2 1 G3 二 Pn (Xo ) = f (Xo)一般地，有k(k -1)( k - 2)2 1 ak 二 pnk)(x°) = f (k)(x。)從而，得到系數(shù)計算公式:ao = f (Xo)a1f(X。)1 !a2f (Xo)a3f (xo)3!ak(k)(Xo)(k = 0,1,2 廠，n)于是，所求的多項式為:盼)器(X%警(X-Mn!【解決問題二】泰勒(Tayler)中值定理若函數(shù)f(X)在含有Xo的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到n T階導數(shù)，則當x

5、 (a,b)時，f(x)可以表示成f(X)二 Pn(x) Rn(x)汕(x-Xo)kk!f (n 1)()(n 1)!(x-x°)n 1這里是Xo與x之間的某個值 先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路:f(X) = Pn(x)Rn(x)f(n4l)(C)n 半二 f(X)- Pn(X)二 Rn(X)(X - X。)(n +1)!_Rn(X)_ f (n4l)u(X 一 Xo)n 1 = (n 1)!注意到：Rnk)(x°) = f(k)(x°) 一 pnk)(x°) =0 (k =0,1,2,，n) q(t) =(t -x°)n JqZ&a

6、mp;o) =0 (k =0,1,2,n),q(n*)(t) _(n +1)!(因q(t)是關于t的n+1次多項式) Pn(t)(n三0(因Pn(t)是關于t的n次多項式)取 Rn(t)二 f (t) 一 Pn(t)，貝U 忠“ ° (t) = f (n °(t)一 Rn(X) Rn(X。)_ 氏“L q(x)q(x°) 一 q(n41)(t) 7這表明：只要對函數(shù)(t) = f (t) - Pn及在x與X。之間反復使用n - 1次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作。【證明】X(a,b) xx。以X。與X為端點的區(qū)間XO,X或X,X0記為I , I (a,b

7、)。函數(shù)二f(° 一 Pn在|上具有直至nT階的導數(shù)，且 凡(x°)=凡(x°)= R(X)h 二 Rr(X0)=0老 )= f(n 1)(t)n比函數(shù)q(t) = (t - x0)在|上有直至n T階的非零導數(shù)，且 q(X0)= q (X0)=q (X0)= =q(n)(X00q(n "(t)二(n 1)!于是，對函數(shù)Rn(t)及q(t)在I上反復使用n 1次柯西中值定理，有在Xo與X之間2在Xo與r之間3在Xo與2之間n .1在Xo與n之間(n 1)(n 1)()(n +1)!(X - Xo)n 1三、幾個概念1、n f (k)( X ) f(X)=

8、f(Xo)：=1(X_Xo)kf (n 1)()(n 1)!(x- Xo)此式稱為函數(shù)f(X)按&一冷)的幕次展開到n階的泰勒公式;或者稱之為函數(shù)f(x)在點X。處的n階泰勒展開式當n=0時，泰勒公式變?yōu)閒 (o 1)()f(X)二 f (Xo)(x-x°)° 1 二 f(x°) f ( ) (X-Xo)(0 + 1)!這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項。f (n 1)(-)&(X)”(X-Xo)" 1(n 1)!為拉格朗日余項。2、對固定的n，若f (n41)(x)蘭 M(n 1)!nFX_ X。Rn(X) R

9、n(X)一 Rn(Xo) Rn ( 1 ) q(x) q(x)q(Xo) q ( 1)_ Rn ( 1)- Rn (Xo)Rn( 2)q ( 1)q (Xo) q ( 2)Rn ( 2) - Rn (Xo)呼(3)-q ( 2)-q (Xo)- q(3)( 3)Rnn d)( 'nd) (n -1)q ( n 1)(n 1)/ - f( n 1(n 1)!記'n 1 ,'在Xo與X之間此式可用作誤差界的估計Rn(x) (x-X0)n爲 + x Xo|t 0 (XT X) (n +1)!故 Rn(X)二 0(X- X°)n (X > X。)表明：誤差Rn（

10、X）是當X X。時較（X-Xo）"高階無窮小，這一余項表達式稱之為皮亞諾余項3、若X。= 0，則 在0與X之間，它表示成形式'X （° ：八：°，泰勒公式有較簡單的形式麥克勞林公式f(X)=f(0) fiOh X2 SXn Lt1!2!n!(n +1)!近似公式f (x) ： f (0)xX2 香門 Q xn (0 :： V :：: 1)1!2!n!誤差估計式Rn(X)M(n 1)!麥克勞林展開式是一種特殊形式的泰勒展開式，容 易求。因此，求函在任意點工二心處的泰 勒展開式時，可通過變量替換 x -戈a二£化歸到這 一情舐令 x -x0 =t則丁

11、（工八 +叼）二陀）對函數(shù)嚴（。作麥克勞林展開。解：f(k)(x)二 ex (k = 0,1,2, n)例 1】求f（X）的麥克勞林公式f(0)= f (0)= f ”(0)=f(n)(0)=e0 = 1f(n41)(e x) = eX于是ex才 X1!2xnev_ _e xn 1(n +1)!2!n!有近似公式2x,XXex1-1! 2!nxn!其誤差的界為Rn(X)乞ex(n 1)!n+1X我們有函數(shù)y =e的一些近似表達式、yr x -x2y : V x - x - x32(3)、 2 6在matlab中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實在逐漸逼近指數(shù)函數(shù)【例2】求f(x)=sinx的n

12、階麥克勞林公式。f(n)(x) = si n(x ) f(n)(0) = sin 解: 2 2f(0) = 0, f (0)=1, f "(0) = 0, f(3)(0) = -1, f(4)(0) = 0,它們的值依次取四個數(shù)值0, 1, 0, _1 。2m-1m-1 xX3X5sin¥ (曠 J R2m(x)同樣，我們也可給出曲線圖象。1y x y *6Xy *-x3 丄 x56 120sin二 x (2m 1)(2m 1)!RUX)=匸其中：y = sin x的近似曲線如下，并用matlab作出它們的【例3】求f（x）二tgx的麥克勞林展開式的前四項，并給出皮亞諾余項

13、解:(tgx)=12 cos x/丄、“2cosx (sin x) 2sinx(tgx)4廠cos xcos x3222cosx cos x-sinx 3cos x (-sinx) 2cos x 6sin x (tgx) = 264cos xcos xtgx xm=o, (tgx)'xn", (tgx)" xm=o, (tgx廠 x=2于是:tgx = x-x3 o(x3)3!利用泰勒展開式求函數(shù)的極限,可以說是求極限方法中的“終極武器”用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。【例4】利用泰勒展開式再求極限x3tgx sin xlimXrO解:tgx 二133X 1x o(x)sinx = x - lx3 o(x3)6133133tgx - sin x = x x3 o(x3) - xx3 o(x3)36x3) (o(x3) - o(x3)613=(x _ x) (-x3o(x3)limtgx-sinxx. 0X31 3/ 3、1 3X o(x )Xlim 3limlimx_；0X3X；0 X3X；0o(x3)X3【注解】 現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處從而因為 tgx Xsinx