專(zhuān)題構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)

1、利用三角形的中線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形（倍長(zhǎng)中線(xiàn)法）倍長(zhǎng)中線(xiàn)法：即把中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。圖1GCFBAED1、如圖1，在ABC中，AD是中線(xiàn)，BE交AD于點(diǎn)F，且AEEF試說(shuō)明線(xiàn)段AC與BF相等的理由簡(jiǎn)析由于AD是中線(xiàn)，于是可延長(zhǎng)AD到G，使DGAD，連結(jié)BG，則在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，所以ACDGBD（SAS），所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFE BFG，所以BFGG，所以BFBG，所以ACBF說(shuō)明要說(shuō)明線(xiàn)段或角相等，通常的思路是說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線(xiàn)時(shí)又通常通過(guò)延長(zhǎng)中線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形利用三角形的角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)

2、造全等三角形法一：如圖，在ABC中，AD平分BAC。在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。（可以利用角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。） 法二：如圖，在ABC中，AD平分BAC。延長(zhǎng)AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。(可以利用角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。)法三：在ABC中，AD平分BAC。作DMAB于M，DNAC于N。(可以利用角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形)（還可以用“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來(lái)證DM=DN）2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線(xiàn)，AD=CD，求證：A+C=180°法一：證

3、明：在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。 法二：延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。 BD是ABC的角平分線(xiàn)（已知） BD是ABC的角平分線(xiàn)（已知）1=2（角平分線(xiàn)定義） 1=2（角平分線(xiàn)定義）在ABD和EBD中 在BFD和BCD中 AB=EB（已知） BF=BC（已知）1=2（已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） BD=BD（公共邊）ABDEBD（） BFDBCD（）A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） AD=CD（已知），AD=DE（已證） AD=CD（已知），DF=DC（已證）D

4、E=DC（等量代換）DF=AD（等量代換）4=C（等邊對(duì)等角） 4=F（等邊對(duì)等角）3+ 4180° （平角定義）， FC（已證）A3（已證） 4=C（等量代換）A+ C180°（等量代換） 3+ 4180°（平角定義）A+ C180°（等量代換）法三：作DMBC于M，DNBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N。 BD是ABC的角平分線(xiàn)（已知）1=2（角平分線(xiàn)定義） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90°（垂直的定義）在NBD和MBD中N=DMB （已證）1=2（已證） BD=BD（公共邊）NBDMBD（） ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） DNBA

5、，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 3+ 4180°（平角定義），A3（已證）A+ C180°（等量代換）法四：作DMBC于M，DNBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N。 BD是ABC的角平分線(xiàn)（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 3+

6、4180°（平角定義）A3（已證）A+ C180°（等量代換）利用高可以高線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造全等三角形EDCBA3、在ABC中，ADBC，若C2B試比較線(xiàn)段BD與AC+CD的大小簡(jiǎn)析由于ADBC，所以可在BD上截取DEDC，于是可得ADEADC（SAS），所以AEAC，AEDC，又C2B，所以AED2B，而AEDB+BAE，即BBAE，所以BEAEAC，所以BDBE+DEAE+DEAC+CD 說(shuō)明利用三角形高的性質(zhì)，在幾何解題時(shí)，可以高線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造全等三角形求解利用特殊圖形可通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形圖4PPBAC4、設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線(xiàn)段PA與PB+P

7、C的大小簡(jiǎn)析由于ABC是等邊三角形，所以可以將ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°到ACP的位置，連結(jié)PP，則ACPABP（SAS），所以APAP，CPBP，APP是等邊三角形，即PPPA，在CPP中，因?yàn)镻PPC+PC，所以PAPB+PC說(shuō)明由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是位置發(fā)生了變化，而形狀和大小都沒(méi)有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形來(lái)解題利用利用平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形F圖5MEABCD5、ABC中，ABAC，E是AB上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到F，連接EF交BC于M，且EMFM試說(shuō)明線(xiàn)段BE與CF相等的理由簡(jiǎn)析由于BE與CF的位置較散，故可考慮將線(xiàn)段CF平移

8、到ED，所以過(guò)點(diǎn)E作 EDCF，則EDBACB，EDMFCM，由于EMFM，EMDFMC，所以EMDFMC（AAS），所以EDCF，又因?yàn)锳BAC，所以BACB，即BEDB，所以EBED，所以BECF說(shuō)明這里通過(guò)輔助線(xiàn)將較散的結(jié)論相對(duì)集中，使求解的難度降低綜合練習(xí)1、如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線(xiàn)，AB=AC+CD，求證：C=2B法一：證明：在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。 AD是BAC的角平分線(xiàn)（已知）1=2（角平分線(xiàn)定義）在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已證） AD=AD（公共邊）AEDACD（）C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)

9、邊相等）又AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代換）B=4（等邊對(duì)等角）3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）C=2B（等量代換）法二：延長(zhǎng)AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF。 AD是BAC的角平分線(xiàn)（已知）1=2（角平分線(xiàn)定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）在ABD和AFD中 AB=AF（已證）1=2（已證） AD=AD（公共邊）ABDAFD（）FB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） CF=CD（已知）B=3（等邊對(duì)等角）ACB= 2F（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）ACB=2B（等量代換）2、如圖，已知直線(xiàn)MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是過(guò)E的任意線(xiàn)段，交MN于點(diǎn)D，交PQ于點(diǎn)C。求證：AD+AB=BC。法一