不等式的證明方法習(xí)題精選精講

1、不等式的性質(zhì)是解不等式、證明不等式的基礎(chǔ)和依據(jù)。教材中列舉了不等式的性質(zhì)，由這些性質(zhì)是可以繼續(xù)推導(dǎo)出其它有關(guān)性質(zhì)。教材中所列舉的性質(zhì)是最基本、最重要的，對此，不僅要掌握性質(zhì)的內(nèi)容，還要掌握性質(zhì)的證明方法，理解掌握性質(zhì)成立的條件，把握性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)。只有理解好，才能牢固記憶及正確運用。1不等式性質(zhì)成立的條件運用不等式的基本性質(zhì)解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現(xiàn)一些錯誤。對表達不等式性質(zhì)的各不等式，要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性。例1：若，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（ ）A B C D解：，。由，（A）成立。由，（C）成立。由，（D）成立。，（

2、B）不成立。故應(yīng)選B。例2：判斷下列命題是否正確，并說明理由。（1）若，則；（2）若，則； （3），則；（4）若，則。分析：解決這類問題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實質(zhì)就是看是否滿足性質(zhì)所需要的條件。解：（1）錯誤。當時不成立。（2）正確。且，在兩邊同乘以，不等式方向不變。（3）錯誤。，成立條件是。（4）錯誤。，當，均為正數(shù)時成立。2不等式性質(zhì)在不等式等價問題中的應(yīng)用例3：下列不等式中不等價的是（ ）（1）與（2）與（3）與（4）與A（2） B（3） C（4） D（2）（3）解：（1）。（2），。（3）且，。（4）不等式的解均為應(yīng)選B。3利用不等式性質(zhì)證明不等式利用不等式的性質(zhì)及其推論可以

3、證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準、記熟不等式的八條性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應(yīng)用。例4：若，求證：。分析：本題考查學(xué)生對不等式性質(zhì)的掌握及靈活應(yīng)用。注意性質(zhì)的使用條件。解：，又，故。而，4利用不等式性質(zhì)求范圍利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意：“同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，在一個解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務(wù)必小心謹慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性不等關(guān)系的運算，求得待求的范圍”，是避免犯錯誤的一條途徑。例5：

4、若二次函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，且，求的范圍。解：設(shè)（）。，即。5利用不等式性質(zhì)，探求不等式成立的條件不等式的性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，包括五個性質(zhì)定理及三個推論，不等式的性質(zhì)是解不等式和證明不等式的主要依據(jù)，只有正確地理解每條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的變化才能正確地加以運用，利用不等式的性質(zhì)，尋求命題成立的條件是不等式性質(zhì)的靈活運用。例6：已知三個不等式：；。以其中兩個作條件，余下一個作結(jié)論，則可組成_個正確命題。解：對命題作等價變形：于是，由，可得成立，即；若，則，故；若，則，故。可組成3個正確命題。例7：已知，同時成立，則應(yīng)滿足的條件是_。解：，由知，從而，或。不等式的證明不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的

5、一個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識綜合應(yīng)用，靈活的掌握運用各種方法是學(xué)好這部分知識的一個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。注意的變式應(yīng)用。常用 (其中)來解決有關(guān)根式不等式的問題。1、比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。1 已知a,b,c均為正數(shù)，求證： 證明：a,b均為正數(shù)， 同理，三式相加，可得2、綜合法綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。2 a、b、，求證：證：3設(shè)、是互不相等的正數(shù)，求證：證：同理：4知a,b,c，求證:證明：即，

6、兩邊開平方得同理可得三式相加，得5且，證：。證：6已知策略:由于證明：。3、分析法分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。7已知、為正數(shù)，求證：證：要證：只需證：即：成立原不等式成立8.且，求證。證：即：即原命題成立4、換元法換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的。9，求證：。證明：令左10：，求證：證：由設(shè)，11知a>b>c,求證：證明：ab>0, bc>0, ac>0 可設(shè)ab=x, bc=y (x, y>0) 則ac= x + y, 原不等式

7、轉(zhuǎn)化為證明即證，即證原不等式成立（當僅x=y當“=”成立）12知1xy2，求證：xxyy3 （帶范圍的三角換元）證明：1xy2，可設(shè)x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3xxyy313已知x2xy2y2，求證：| xy |證明：x2xy2y= (xy)y，可設(shè)xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14解不等式解：因為=6，故可令 = sin， cos，0，則原不等式化為 sin cos 所以 s

8、in + cos由0，知+ cos0，將上式兩邊平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15：1x證明：1x0，1x1，故可設(shè)x = cos，其中0則x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x增量代換法在對稱式(任意互換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡16a，bR，且ab = 1，求證：(a2)(b2)證明：a，bR，且ab = 1，設(shè)a =t，b=t， (tR

9、)則(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)利用“1”的代換型17策略：做“1”的代換。證明：.5、反證法反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。18若p0，q0，pq= 2，求證：pq2證明：反證法假設(shè)pq2，則(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假設(shè)pq2不成立，pq219已知、（0，1），求證：，不能均大于。證明：假設(shè)，均大于，均為正同理

10、不正確假設(shè)不成立原命題正確20已知a,b,c（0，1），求證：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同時大于。證明：假設(shè)三式同時大于0a1 1a0 21 、，求證：、均為正數(shù)。證明：反證法：假設(shè)、不均為正數(shù)又、兩負一正不妨設(shè)，又同乘以即，與已知矛盾假設(shè)不成立、均為正數(shù)6、放縮法放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮?。?用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮22已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：12證明：，將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：1223 ，求證：。證明： 判別式法24A、B、C為的內(nèi)角，、為任意實數(shù)，求證：。證明：構(gòu)造函數(shù)，判別式法令為開口向上的

11、拋物線無論、為何值，命題真構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0a、b、c2，求證：4abcabc2ab2bc2ca證明：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一條線段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可見上述線段在橫軸及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca構(gòu)造向量法證明不等式根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等式關(guān)系·|·|，就能避免復(fù)雜的湊配技巧，使解題過程簡化應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不

12、等式，思路清晰，易于掌握25 設(shè)a、bR，且ab =1，求證：(a2)(b2)證明：構(gòu)造向量= (a2，b2)，= (1，1)設(shè)和的夾角為，其中0| =，| =，·= |·|cos=··cos；另一方面，·= (a2)·1(b2)·1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以·5，從而(a2)(b2) 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式y(tǒng)xxy = 02ABDCO 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達的抽象

13、數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決 26設(shè)a0，b0，ab = 1，求證：2證明：所證不等式變形為：2這可認為是點A()到直線 xy = 0的距離但因()()= 4，故點A在圓xy= 4 (x0，y0)上如圖所示，ADBC，半徑AOAD，即有：2，所以2淺談不等式恒成立問題1 轉(zhuǎn)換主元法確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解。此方法通常化為一次函數(shù)。例1：若不等式 2x1>m(x2-1)對滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)<0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題意有： 即：解之：得x的取值范圍為2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目

14、要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實根分布等相關(guān)知識，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R上定義運算：xyx(1y) 若不等式(xa)(xa)<1對任意實數(shù)x成立，則 ( )(A)1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D)解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) <1對任意x成立即x2-x-a2+a+1>0對xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應(yīng)滿足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化簡得 4a2-4a-3<0解得 ,故選擇C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設(shè)f(x)=

15、x2-2mx+2m+1本題等價于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當m<0時，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 <m<0(2)當0m1時，f(x)在x=m時取得最小值解 得 0m1(3)當m>1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m>1綜合(1)(2)(3) 得注：當化歸為二次函數(shù)后，自變量是實數(shù)集的子集時，應(yīng)用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。3 分離參數(shù)法在題目中分離出參數(shù)，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立問題，再利用a>fm

16、ax(x) （a<fmin(x)）求出參數(shù)范圍。例4：已知向量=(x2,x+1),=(1-x,t) 若函數(shù)f(x)·在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍。解：依題意，f(x)x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t則f(x)=-3x2+2x+tf(x)在(1，1)上是增函數(shù)，則在(1，1)上有f(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立 設(shè)g(x)=3x2-2xtg(-1) 即 t5例5：設(shè)a0為常數(shù)，數(shù)列an的通項公式為an3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0(nN* )若對任意n1，nN*，不等式an

17、>an-1恒成立，求a0的取值范圍。解：依題意：3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0>3n-1+(-1)n-2·2n-1+(-1)n-1·2n-1·a0化簡，得 (-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1 (1)當n=2k-1 kN*時 a0<·()n-1+ 設(shè)g1(n)= ·()n-1+g1(n)在nN* 時且n=2k-1,kN*時是增函數(shù)g1(n)的最小值為g1(1)a0< (2) 當n=2k

18、kN*時a0>-·()n-1+設(shè)g2(n)=- ·()n-1+g2(n)在nN*且n=2k,kN*時是減函數(shù)g2(n)的最大值為g2(2)0a0>0綜上可知0<a0<例6：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)(x)是減函數(shù)，且(x)>0。設(shè)x0(0,)，y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）證明：當x(0,)時，g(x)f(x)（）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在0,）上恒成立，其中a、b為實數(shù)。求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。本題（）應(yīng)

19、用了此方法。（）解：0b1，a>0是不等式成立的必要條件。以下討論設(shè)此條件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0對任意x0,)成立的充要條件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b對任意x0,)成立的充要條件是(x)0由(x)=a-=0得x=當0<x<時，(x) <0；當x>時，(x) >0,所以，當x時，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要條件是()0。即a綜上，不等式x2+1ax+b對任意x0,成立的充要條件是a顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。例7：如果

20、對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是解析：畫出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1例8：已知a>0且a1,當x(-1，1)時，不等式x2-ax<恒成立，則a的取值范圍解析：不等式x2-ax<可化為ax> x2-畫出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a<1或1<a21在解綜合性較強的恒成立問題時，有時一題多法。所以以題為本，關(guān)鍵抓住恒成立的實質(zhì)，具體問題具體分析，不拘泥于一種方法。線性規(guī)劃常見題型及解法線性規(guī)劃是新教材中新增的內(nèi)容之一，由已知條件寫出約束條件，并作出可行域，進而通過平移直線在可行域內(nèi)求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型，除此之外，還有以下六類常見題型。一、求線性目標函數(shù)的取值范圍例1、 若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）xyO22x=2y =2x + y =2BAA、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y0，將l向右上方平移，過點A（2,0）時，有最小值2，過點B（2,2）時，有最大值6，故選A二、求可行域的面積例2、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2A、4B、1C、5D、無窮大解：