三角函數(shù)培優(yōu)講義一

1、【知識梳理】：1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說該角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限。第I象限角的集合：；第II角限角的集合：；第III象限角的集合：；第IV象限角的集合：；終邊在軸正半軸的角的集合：；終邊在軸負(fù)半軸的角的集合：；終邊在軸上的角的集合：；終邊在

2、軸正半軸的角的集合：終邊在軸負(fù)半軸的角的集合：；終邊在軸上的角的集合：；終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：終邊在直線的角的集合：終邊在直線的角的集合：3.終邊相同的角的表示：終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)；終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上)；終邊與終邊關(guān)于軸對稱；終邊與終邊關(guān)于軸對稱；終邊與終邊關(guān)于原點對稱；終邊與終邊關(guān)于直線對稱；注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.4. 弧長公式：扇形的弧長為,半徑為,圓心角為,則:，扇形面積公式：；1弧度(1rad).5 任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么正弦余弦，正

3、切；了解：余切，正割，余割。注意：三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。各象限角的各種三角函數(shù)值符號:一全二正弦,三切四余弦6. 三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“站在點處(起點是)”。7.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：；商數(shù)關(guān)系：；了解：，；8.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式：（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)?；A(chǔ)典例（1）寫出與終邊相同的角

4、的集合M；（2）把的角寫成（）的形式；（3）若角，且求。【變式拓展】1、角與角的終邊互為反向延長線，則()AB180°Ck·360°(kZ)Dk·360°±180°(kZ)2、已知角的終邊與的終邊相同，則在區(qū)間內(nèi)與的終邊相同的角有（ ）個ABCD3、設(shè)sina0,cosa0,且sincos,則的取值范圍是( ) A(2kp+,2kp+), kÎZ B(+,+),kÎZC(2kp+,2kp+p),kÎZ D(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ基礎(chǔ)典例（1）在已知園內(nèi)，1

5、弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長為多少？（2）扇形的面積是1，它的周長是4，求它的圓心角和弦的長?！咀兪酵卣埂?、已知扇形的面積是16，試求當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取何值時，扇形的周長最??？2、若扇形的周長是一定值，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？3、如圖，已知長為，寬的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四次時被一小木板擋住，使木塊底面成的角，問點走過的路程的長以及走過的弧度所在扇形的總面積。基礎(chǔ)典例已知角的終邊經(jīng)過點P(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值【變式拓展】1、已知，則與的關(guān)系是（ ）A或BCD2、若是第二象限角，則0

6、（填>或<）3、已知角的終邊在直線3x4y0上，則sin cos tan =；基礎(chǔ)典例在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍并由此寫出角的集合：sin ；cos .【變式拓展】1、函數(shù)的定義域為；2、如果，那么的取值范圍是；3、若（為銳角），則的取值范圍?；A(chǔ)典例已知，求證：（2010北約）【變式拓展】1、設(shè)，則、與大小關(guān)系是；2、已知，則與1的大小關(guān)系是（ ）ABCD大小與的取值有關(guān)3、當(dāng)時，下列不等式正確的是（ ）ABCD基礎(chǔ)典例已知化簡；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值【變式拓展】1、設(shè)函數(shù)，則的值為；2、已知，為銳角，且x·（+-）>0，求證：3

7、、在銳角三角形中，求證：.基礎(chǔ)典例化簡：.證明：.若，求（1）的值；（2）的值【變式拓展】1、；2、 已知為正數(shù)，且，則的值為；3、若是方程的兩個實根，則；基礎(chǔ)典例已知，且，求的值?！咀兪酵卣埂?、已知ÎR，sin +2cos =，則tan=；2、已知，且，則；3、已知，則；1、 選擇題：1、已知集合，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）ABCD2、若是第二象限的角，則是（） A第一象限的角 B第二象限的角 C第一、三象限的角D第二、四象限的角3、 給出下面四個命題：（1）如果，那么； （2）如果，那么；（3）如果，那么是第一或第二象限角；（1）如果是第一或第二象限角，那么。這四個命題中，錯

8、誤的命題有（ ）個A1B2C3 D44、設(shè)，則的值為（）A、 B、 C、 D、5、的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.6、化簡三角有理式的值為（ ）A. 1 B. C. D. 1+7、對任意,下列不等式正確的是（）ABC D8設(shè)，且，則的大小（）9、已知，則（ ）10、設(shè)，,則的大小關(guān)系是（）2、 填空題：1、從3:00到5:40這段時間里，時鐘的分針和時針分別轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為、；2、已知銳角x的終邊上一點A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為_；3、適合的角的集合為_；4、 已知,，函數(shù)，則；5、已知是三角形的一個內(nèi)角，且，則的范圍是；6、表示不超過的最大整數(shù)，則的值；7、已知，則下面三個數(shù)：，從小到大以此為；8、已知，則的值為；9、設(shè)為一個給定的銳角，則關(guān)于的方程的實數(shù)解共有個。10、 滿足的銳角共有個。三、解答題：1、已知sin m(|m|<1且m0)，求tan 的值2、已知sin 、cos 是關(guān)于x的方程x2axa0的兩個根(aR