巧用旋轉(zhuǎn)變換探究三條線段的數(shù)量關(guān)系

1、巧用旋轉(zhuǎn)變換探究三條線段的數(shù)量關(guān)系江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 馮娟初中數(shù)學(xué)中的全等的幾何變換有平移、對(duì)稱（翻折）和旋轉(zhuǎn).其中旋轉(zhuǎn)變換具有這樣的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置。據(jù)此，解題時(shí)可充分利用旋轉(zhuǎn)變換的特征，把圖形位置進(jìn)行改變，從而達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步整合圖形信息的目的，使較復(fù)雜的問題得到創(chuàng)造性解決。例題1（2012·東營）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G 是AD上一點(diǎn)，如果

2、GCE45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積F圖4解法：（1）略（2）如圖（4）由題可知CB=CD，BCD=B=D=90°,將BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°如圖4所示，則點(diǎn)G、D、F在一條直線上，CE=CF，BCE=DCF，四邊形ABCD是正方形，BCD=90°即BCE+ECG+GCD=90°.ECG=45&

3、#176;BCE+GCD=45°.BCE=DCF，DCF+GCD=45°即FCG=45°.ECG=FCG。又CE=CF，CG=CG，ECGFCG。GE=GF.又GF=DF+GD=BE+GD，GE=BE+GD(3)略說明：利用旋轉(zhuǎn)將線段的位置進(jìn)行改變，使兩條線段連成一條新的線段，進(jìn)而將本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題。將本題的條件正方形進(jìn)行改變，則有如下例題：例題2（2012·黑河）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若MBN=45°，易證MN=AM+CN（1）如圖2，在梯形ABCD中，BCAD，AB=BC=CD，點(diǎn)M、N分別

4、在AD、CD上，若MBN=ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若MBN=ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想，不需證明FE圖4圖5解法：（1）過程同例1的第（2）題.（2）猜想：MN=AM+CN.證明：如圖4，由題可知CB=CD，A+BCD=180°,將ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°如圖所示，則點(diǎn)F、C、N在一條直線上，BM=BC，ABM=CBF，ABC=120°即ABM+MBN

5、+FBC=120°.MBN=60°ABM+CBF=60°.ABM=CBF，NBC+CBF=60°即NBF=60°.MBN=FBN。又MB=FB，BN=BN，MBNFBN。MN=FN.又FN=FC+CN=AM+CN，MN=AM+CN（3）猜想：MN=CN-AM，如圖5，由題可知AB=CB，ABC+ADC=180°,BAD+BCD=180°BAM=BCE.可通過證BENBMN進(jìn)而證得.說明：例2中的三個(gè)問題都是緊扣線段相等進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而題目中的正方形、梯形、ABC+ADC=180°等條件使得旋轉(zhuǎn)后的線段與要加減的線段在同

6、一直線上，進(jìn)而利用全等得出三條線段的和差關(guān)系。若旋轉(zhuǎn)后的線段與另兩條線段不在同一條直線上，則有如下例題：例3（2012·宿遷）（1）如圖1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBEABC）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將BEC按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC，得到BEA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E處）連接DE，求證：DE=DE（2）如圖2，在ABC中，BA=BC，ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBE45°）求證：F圖3解答：（1）略（2）如圖3，將CBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABF

7、，AF=CE，F(xiàn)AB=C，BA=BC,ABC=90°BAC=C=45°.FAD=FAB+BAC=C+BAC=90°.DBE=45°ABD+CBE=45°.ABF=CBE，ABF+ABD=45°即DBF=45°.DBF=DBE。又BF=BE，BD=BD，DBFDBE。DF=DE.又，說明：由結(jié)論的形式立即聯(lián)想到以DE、AD、EC為邊構(gòu)造成的三角形如果是直角三角形，那么問題就能根據(jù)勾股定理得解。但圖中DE、AD、EC的位置分散，所以想到作適當(dāng)變換使之構(gòu)成直角三角形。這里緊扣AB=BC，ABC=90°將圖形進(jìn)行90

8、76;的旋轉(zhuǎn)，巧妙構(gòu)造出直角三角形，把分散的條件集中起來，使問題得解。例4（2012·鎮(zhèn)江）等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）（1）求證：AM=AN；（2）設(shè)BP=x若BM= ，求x的值；求四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；連接DE分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2）當(dāng)x為何值時(shí)，BAD=15°？此時(shí)，以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說明理由F圖3解法：(1)(2)略如圖3，通過分

9、析可知AD=AE，DAE=120°，四邊形ADPC是菱形，將AHE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AED，連接FG，可證FAG=HAG，證得FAGHAG。FG=HG. AFG=AHG=75°，AFD=AHE=105°，DFG=30°.FDA=AEH=ADE=30°，F(xiàn)DG=60°DGF=90° ，.即以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形.說明：本題中通過分析可知AD=AE，DAE=120°，可將圖形旋轉(zhuǎn)120°使三條線段構(gòu)成直角三角形。本題中給出的是BAD=15°的特殊

10、情況，此時(shí)這三條線段剛好圍成一個(gè)直角三角形。當(dāng)BAD角度一般化時(shí)，這時(shí)圍成的就不一定是直角三角形，如下題：例5（2010· 臺(tái)州）如圖1，RtABCRtEDF，ACB=F=90°，A=E=30°EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)， DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K （1）觀察： 如圖2、圖3，當(dāng)CDF=0° 或60°時(shí)，AM+CK_MK(填“>”，“<”或“=”)如圖4，當(dāng)CDF=30° 時(shí)，AM+CK_MK(只填“>”或“<”)（2）猜想：如圖1，當(dāng)0°CDF60°時(shí)，AM+CK_MK，證明你所得到的結(jié)論（3）如果，請(qǐng)直接寫出CDF的度數(shù)和的值圖1圖2圖3圖4G圖5解法：(1)略(2)通過分析可知AD=CD，ADC=120°，DAC=ACD=30°,，將DKC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DGA，連接MG，得AG=CK，GD=KD，GDM=KDM=60°，證得GDMKDM。GM=KM. AM+CK=AM+AGMG即AM+CKMK(3)用同樣的方法旋轉(zhuǎn)后使得三條線段在一個(gè)三角形中，問題便迎刃而解。以上呈現(xiàn)的一些例題都是緊扣題目中的線段相等構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線，進(jìn)而解決問題的。這些例題除了可以利