二次根式的運(yùn)算

1、二次根式的運(yùn)算編稿：莊永春審稿：邵劍英責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知(1)理解二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性 質(zhì)，并能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡；(2)了解最簡二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡；(3)理解同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進(jìn)行簡單的二次根式加 減運(yùn)算；(4)會利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.(1)理解，及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化 簡；(2)理解，及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡；(3)最簡二次根式的運(yùn)用；(4)合并同類二次根式；(5)二次根式的混合運(yùn)算.(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的乘除法則；(

2、2)會判定一個二次根式是否是最簡二次根式，及二次根式的化簡二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二次根式的乘法法則：，即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：(1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù))(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算：(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.知識點(diǎn)二、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點(diǎn)詮釋：(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡，

3、如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.知識點(diǎn)三、二次根式的除法法則：，即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點(diǎn)詮釋：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，其中，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.知識點(diǎn)四、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.要點(diǎn)詮釋：運(yùn)用次性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時仍要注意

4、符號問題.知識點(diǎn)五：最簡二次根式1.定義：當(dāng)二次根式滿足以下兩條：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運(yùn)算中，最后的結(jié)果必須化為最簡二次根式或有理式.要點(diǎn)詮釋：(1)最簡二次根式中被開方數(shù)不含分母；(2)最簡二次根式被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)或因式從次數(shù)只能 為1次.2.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：(1)把根號下的代分?jǐn)?shù)或絕對值大于1的數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；(2)被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要進(jìn)行因式分解；(3)使被開方數(shù)不含分母；(4)將被開方數(shù)

5、中能開得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移到根號外；(5)化去分母中的根號；(6)約分.知識點(diǎn)六、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否 相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)要點(diǎn)詮釋：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(

6、2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式；(3)不是同類二次根式，不能合并.知識點(diǎn)七、二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.二次根式加減運(yùn)算的步驟：(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；(3)合并同類二次根式.知識點(diǎn)八、二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.要點(diǎn)詮釋：

7、(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算 括號里面的；(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫成最簡形式，這個形式應(yīng)是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次根 式之和或差，或是有理式.三、規(guī)律方法指導(dǎo)二次根式的運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除和加減.(1)二次根式的乘除，只需將被開方數(shù)進(jìn)行乘除，其依據(jù)是：；(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式.通常應(yīng)先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并.二次根式運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡.經(jīng)典例題透析類型一、二次根式的乘除運(yùn)算1、

8、計(jì)算(1)×； (2)×； (3)×； (4)×.思路點(diǎn)撥：直接利用計(jì)算即可解：(1)×=； (2)×=； (3)×=9；(4)×=.2、計(jì)算：(1)； (2)； (3)； (4).思路點(diǎn)撥：直接利用便可直接得出答案解：(1)=2； (2)=×2=2； (3)=2； (4)=2.3、化簡(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路點(diǎn)撥：利用直接化簡即可解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36； (3)=×=9×10=90；

9、 (4)=×=××=3xy；(5)=×=3.舉一反三【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正確改正：=×=2×3=6；(2)不正確改正：×=×=4.4、化簡：(1)； (2)； (3)； (4).思路點(diǎn)撥：直接利用就可以達(dá)到化簡之目的解：(1)=； (2)=；(3)=； (4)=.舉一反三【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值思路點(diǎn)撥：式子=，只有a0，b0時才能成立 因此得到9-x0且x-60，即6x9

10、，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8解：由題意得，即6x9，x為偶數(shù)，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當(dāng)x=8時，原式的值=65、計(jì)算(1)·(-)÷(m0，n0)；(2)-3÷()× (a0).解：(1)原式=-÷=-=-；(2)原式=-2=-2=-a.類型二、最簡二次根式的判別6、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路點(diǎn)撥：判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿足最簡二次根式的兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或

11、因式；不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.解：和都是最簡二次根式，其余的都不是，理由如下：的被開方數(shù)是小數(shù)，能寫成分?jǐn)?shù)，含有分母；和的被開方數(shù)中都含有分母；和的被開方數(shù)中分別含有能開得盡方的因數(shù)和因式.總結(jié)升華：對于最簡二次根式的判斷，一定要把握其實(shí)質(zhì)，既要注意其中的“似是而非”，還要注意其中的“似非而是”，特別象這樣的式子，帶有很大的隱蔽性，更應(yīng)格外小心.7、把下列各式化成最簡二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路點(diǎn)撥：把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及進(jìn)行化簡.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .類型三、同類二次根式8、如

12、果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1思路點(diǎn)撥：根據(jù)同類二次根式的識別方法，在最簡二次根式的前提下，被開方數(shù)相同.解：根據(jù)題意，得 解之，得，故選D.總結(jié)升華：同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)相同；由此可以得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.舉一反三【變式1】下列根式中，能夠與合并的是( )A. B. C. D.思路點(diǎn)撥：首先要把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，然后比較它們的被開方數(shù)是否相同，如果相同，就能進(jìn)行合并，反之，則不能合并.解：合并，故選

13、B.總結(jié)升華：同類二次根式的判斷，關(guān)鍵是能夠熟練準(zhǔn)確地化二次根式為最簡二次根式.【變式2】若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值思路點(diǎn)撥：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同； 事實(shí)上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成 |b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式化為最簡二次根式：=|b|·由題意得，a=1，b=1.類型四、二次根式的加減運(yùn)算9、計(jì)算(1)+ (2)-思路點(diǎn)撥：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)

14、-=4-8=(4-8)=-4總結(jié)升華：一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三【變式1】計(jì)算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=+-=4+2+2-=6+；(3) (4) 【變式2】已知2.236，求(-)-(+)的值(結(jié)果精確到0.01)解：原式=4-=×0.45.類型五、二次根式的混合運(yùn)算10、計(jì)算:(1)(+)×； (2)(4-3)÷2.思路點(diǎn)撥：二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律解：(1)(+)×=×

15、;+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、計(jì)算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).思路點(diǎn)撥：二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.類型六、化簡求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值思路點(diǎn)撥：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根式，再合并同

16、類二次根式，最后代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 (2x-1)2+(y-3)2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時，原式=×+6=+3.舉一反三【變式1】先化簡，再求值(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，當(dāng)x=，y=27時，原式=-=-.【變式2】已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，化簡+，并求值思路點(diǎn)撥：由于(+)(-)=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入

17、化簡得結(jié)果即可解：原式=+=+=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2=4x+2=2-b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2a+b0x=a+b原式=4x+2=4(a+b)+2.類型七、二次根式的應(yīng)用與探究13、一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？解：設(shè)底面正方形鐵桶的底面邊長為x， 則x2×10=30×30×20，x2=30×

18、;30×2， x=×=30 答：鐵桶的底面邊長是30厘米.14、如圖所示的RtABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動；同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？(結(jié)果用最簡二次根式表示)思路點(diǎn)撥：設(shè)x秒后PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值解：設(shè)x 后PBQ的面積為35平方厘米則有PB=x，BQ=2x依題意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后PBQ的面積為35平方厘米PQ=5答：秒后P

19、BQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米15、探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程(1)2=驗(yàn)證：2=×= =(2)3=驗(yàn)證：3=×=同理可得：45，通過上述探究你能猜測出： a=_(a0)，并驗(yàn)證你的結(jié)論解：a=驗(yàn)證：a=.總結(jié)升華：解答此類問題的特點(diǎn)是根據(jù)題目給出的條件，尋找內(nèi)在聯(lián)系和一般規(guī)律，然后猜想所求問題的結(jié)果，有利于提高綜合分析能力.學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.下列根式是最簡二次根式的是（ ）A B C D2. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3.下列根式中，與是同類二次根式的為（ ）A B C D4.(江蘇省無錫市)下列各式中

20、，與是同類根式的是（ ）A B C D與是同類二次根式，則a=（ ）A1 B2 C D26. 下面說法正確的是（ ）A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B. 與是同類二次根式C. 與不是同類二次根式D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式7. 與不是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 8. 若，則化簡的結(jié)果是（ ）A. B. C. 3 D. -39. 若，則的值等于（ ）A. 4 B. C. 2 D. 10.(遼寧省大連市) 計(jì)算的結(jié)果是（ ）A B2 C D1.411.(四川省攀枝花市) 下列計(jì)算中，正確的是（）A BC D12.(山東省東營市)下列計(jì)算正確的是( )A B=

21、1C D13. 下列式子中正確的是（ ）A. B. C. D. 二、填空題與根式是同類二次根式，則a = _.2. 計(jì)算：.3. 計(jì)算：.4.(廣東省) 化簡= _.5.(安徽省) 計(jì)算的結(jié)果是_.6.(南昌) 計(jì)算：_.7.(重慶市) 化簡： = _.8.計(jì)算：_.9.計(jì)算：=_.10.計(jì)算：，則.三、解答題1. 計(jì)算： 2. 計(jì)算： 3.計(jì)算：(1)； (2).能力提升一、選擇題1. 已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 2. 對于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 和的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定4.(山東省濟(jì)南市)已知，則代數(shù)式的值為（ ）A B C D5.(山東省臨沂市) 計(jì)算的值為( ) A2 B