二次函數(shù)知識點

1、一、二次函數(shù)的定義1.一般地，形如 （為常數(shù)，）的函數(shù)稱為的二次函數(shù)，其中為自變量，為因變量，分別為二次函數(shù)的二次項、一次項和常數(shù)項系數(shù).這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的性質(zhì)1二次函數(shù)的性質(zhì)：（1） 拋物線的頂點是坐標原點（0，0），對稱軸是（ 軸）.（2） 函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系. 當時拋物線開口向上頂點為其最低點； 當時拋物線開口向下頂點為其最高點；的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大

2、而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)若二次函數(shù)解析式為（或）()，則：（1） 開口方向：， （2） 對稱軸：（或），（3） 頂點坐標：（或）（4） 最值： 時有最小值（或）（如圖1）； 時有最大值（或）（如圖2）； （5）單調(diào)性：二次函數(shù)（）的變化情況（增減性） 如圖1所示，當時，對稱軸左側(cè)，隨著的增大而減小，在對稱軸的右側(cè) ，隨的增大而增大； 如圖

3、2所示，當時，對稱軸左側(cè)， y隨著x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減??；（6）與坐標軸的交點：與軸的交點：（0，C）；與軸的交點：使方程（或）成立的值.3. 二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.三、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)關(guān)系1. 決定拋物線的開口方向： 當時拋物線開口向上；當時拋物線開口向下決定拋

4、物線的開口大小：越大，拋物線開口越??； 越小，拋物線開口越大.注：幾條拋物線的解析式中，若相等，則其形狀相同，即若相等，則開口及形狀相同，若互為相反數(shù)，則形狀相同、開口相反.2. 和共同決定拋物線對稱軸的位置.（對稱軸為：）當時，拋物線的對稱軸為軸；當同號時，對稱軸在軸的左側(cè)；當異號時，對稱軸在軸的右側(cè).3. 的大小決定拋物線與軸交點的位置.（拋物線與軸的交點為）當時，拋物線與軸的交點為原點；當時，交點在軸的正半軸；當時，交點在軸的負半軸.板塊二二次函數(shù)圖像特征函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時，開口向上當時，開口向下（軸）（軸）二、二次函數(shù)的三種表達方式（1）一般式：（2）頂點式：（3）雙

5、根式（交點式）：2.如何設(shè)點： 一次函數(shù)（）圖像上的任意點可設(shè)為.其中時，該點為直線與軸交點. 二次函數(shù)（）圖像上的任意一點可設(shè)為.時，該點為拋物線與軸交點，當時，該點為拋物線頂點 點關(guān)于的對稱點為4.如何設(shè)解析式： 已知任意3點坐標，可用一般式求解二次函數(shù)解析式； 已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可用頂點式求解二次函數(shù)解析式； 已知拋物線與的兩個交點坐標，可用交點式求解二次函數(shù)解析式. 已知拋物線經(jīng)過兩點，且這兩點的縱坐標相等時，可用對稱點式求解函數(shù)解析式（交點式可視為對稱點式的特例）注：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，

6、拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.一、二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.二、二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：1.直線與拋物線的交點: （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與軸的交點:二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

7、有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.（5）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故2.二次函數(shù)常用解題方法 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對

8、稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.3.二次函數(shù)與一元二次方程之根的分布（選講）所謂一元二次方程，實質(zhì)就是其相應二次函數(shù)的零點（圖象與軸的交點問題，因此，二次方程的實根分布問題，即二次方

9、程的實根在什么區(qū)間內(nèi)的問題，借助于二次函數(shù)及其圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究是非常有益的設(shè)的二實根為，且是預先給定的兩個實數(shù) 當兩根都在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件：，對應的二次函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當時的充要條件是：，當時的充要條件是：，兩種情形合并后的充要條件是： 當兩根中有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件；或，對應的函數(shù)的圖象有下列四種情形：從四種情形得充要條件是： 當兩根都不在區(qū)間內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件：當兩根分別在區(qū)間的兩旁時；對應的函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當時的充要條件是：，當時充要條件是：，兩種情形合并后的充要條件是：， 當兩根分別在區(qū)間之外的同側(cè)時：或，

10、對應函數(shù)的圖象有下列四種情形：當時的充要條件是：， 當時的充要條件是：， 4區(qū)間根定理如果在區(qū)間上有，則至少存在一個，使得此定理即為區(qū)間根定理，又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時候會發(fā)揮巨大的威力二次函數(shù)與三角形在直角坐標系中，已知三角形三個頂點的坐標，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標軸平行，可以直接運用三角形面積公式求解三角形面積.如果三角形的三條邊與坐標軸都不平行，則通常有以下方法：1.如圖，過三角形的某個頂點作與軸或軸的平行線，將原三角形分割成兩個滿足一條邊與坐標軸平行的三角形，分別求出面積后相加 其中,兩點坐標可以通過或的直線方程以及或點坐標得到2.如圖，首先計算三角形的外接矩形的

11、面積，然后再減去矩形內(nèi)其他各塊面積. 所涉及的各塊面積都可以通過已知點之間的坐標差直接求得3.如圖，通過三個梯形的組合，可求出三角形的面積.該方法不常用4.如圖，作三角形的高，運用三角形的面積公式求解四邊形的面積該方法不常用，如果三角形的一條邊與平行，則可以快速求解二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”二、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到