《工程經(jīng)濟(jì)計算》word版

1、. 二、利息計算方法 利息計算有單利和復(fù)利之分。當(dāng)計息周期在一個以上時，就需要考慮單利與復(fù)利的問題。 （一）單利計算 單利是指在計算利息時，僅用最初本金來加以計算，而不計入在先前利息周期中所累積增加的利息，即通常所說的“利不生利”的計息方法。其計算式如下： ItPis （2.1.3）式中：It第t計息期的利息額； P本金； is計息周期單利利率。設(shè)In代表n個計息周期所付或所收的單利總利息，則有下式： （2.1.4）由式（2.1.4）可知，在以單利計息的情況下，總利息與本金、利率以及計息周期數(shù)成正比。而n期末單利本利和F 等于本金加上利息，即： （2.1.5）式中（1nis）稱為單利終值系數(shù)。

2、在利用式（2.1.5）計算本利和F時，要注意式中n和is反映的時期要一致。如is為年利率，則n應(yīng)為計息的年數(shù)；若is為月利率，則n應(yīng)為計息的月數(shù)。 單利的年利息額僅由本金所產(chǎn)生，其新生利息，不再加入本金產(chǎn)生利息。由于沒有反映資金隨時都在“增值”的規(guī)律，即沒有完全反映資金的時間價值，因此，單利在工程經(jīng)濟(jì)分析中使用較少。（二）復(fù)利計算 復(fù)利是指將其上期利息結(jié)轉(zhuǎn)為本金來一并計算的本期利息，即通常所說的“利生利”、“利滾利”的計息方法。其計算式如下： ItiFt-1 （2.1.6）式中：i 計息周期復(fù)利利率； Ft-1 表示第（t1）年末復(fù)利本利和。而第t年末復(fù)利本利和Ft的表達(dá)式如下： FtFt-1

3、（1i） Ft-2（1i）2 P（1i）n （2.1.7）復(fù)利反映利息的本質(zhì)特征，復(fù)利計息比較符合資金在社會生產(chǎn)過程中運動的實際狀況。因此，在工程經(jīng)濟(jì)分析中，一般采用復(fù)利計算。 復(fù)利計算有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）計算復(fù)利的方法稱為間斷復(fù)利（即普通復(fù)利）；按瞬時計算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。在實際應(yīng)用中，一般均采用間斷復(fù)利。三、等值計算 （一）影響資金等值的因素如前所述，由于資金的時間價值，使得金額相同的資金發(fā)生在不同時間，會產(chǎn)生不同的價值。反之，不同時點金額不等的資金在時間價值的作用下，卻可能具有相等的價值。這些不同時期、不同數(shù)額但其“價值等效”的資金稱為等值，也

4、稱為等效值。影響資金等值的因素有三個：資金的多少、資金發(fā)生的時間及利率（或折現(xiàn)率）的大小。其中，利率是一個關(guān)鍵因素，在等值計算中，一般是以同一利率為依據(jù)的。在工程經(jīng)濟(jì)分析中，等值是一個十分重要的概念，它為我們確定某一經(jīng)濟(jì)活動的有效性或者進(jìn)行方案比選提供了可能。（二）等值計算方法常用的資金等值計算主要包括兩大類，即：一次支付和等額支付。1. 一次支付的情形圖2.1.2 一次支付現(xiàn)金流量圖0 1 2 3 4 nPiF？ 一次支付又稱整付，是指所分析系統(tǒng)的現(xiàn)金流量，無論是流入或是流出，分別在時點上只發(fā)生一次。 （1）終值計算（已知P求F）。現(xiàn)有一筆資金P，年利率為i，按復(fù)利計算，則n年末的本利和F為

5、多少？即已知P、i、n，求F。其現(xiàn)金流量如圖2.1.2 所示。根據(jù)復(fù)利的定義，n年末本利和F的計算過程見表2.1.3。 表2.1.3 n年末本利和F的計算過程計息期期初金額（1）本期利息額（2）期末本利和Ft（1）（2）1PPiF1PPiP（1i）2P（1i）P（1i）iF2 P（1i） P（1i）i P（1i）23P（1i）2P（1i）2iF3 P（1i）2 P（1i）2i P（1i）3nP（1i）n-1P（1i）n-1iFFn P（1i）n-1 P（1i）n-1i P（1i）n 由表2.1.3可以看出，一次支付n年末本利和F的計算公式為： FP（1i）n （2.1.8）式中：i 計息周期復(fù)

6、利率； n 計息周期數(shù)； P 現(xiàn)值（即現(xiàn)在的資金價值或本金，Present Value），指資金發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列起點時的價值； F終值（n期末的資金價值或本利和，F(xiàn)uture Value），指資金發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列終點的價值。 式（2.1.8）中的（1i）n稱為一次支付終值系數(shù)，用（FP，i，n）表示，則式（2.1.8）又可寫成： FP（FP，i，n） （2.1.9） 在（FP，i，n）這類符號中，括號內(nèi)斜線左側(cè)的符號表示所求的未知數(shù)，斜線右側(cè)的符號表示已知數(shù)。（FP，i，n）就表示在已知P、i和n的情況下求解F的值。為了計算方便，通常按照不同的利率i和計息周

7、期數(shù)n計算出（1i）n的值，并列表（見本節(jié)附錄）。在計算F時，只要從復(fù)利表中查出相應(yīng)的復(fù)利系數(shù)再乘以本金即可。 （2）現(xiàn)值計算（已知F求P）。由式（2.1.8）即可求出現(xiàn)值P。 PF（1i）n （2.1.10） 式中（1i）n稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，用符號（PF，i，n）表示，并按不同的利率i和計息期n列表于附錄。在工程經(jīng)濟(jì)分析中，一般是將未來時刻的資金價值折算為現(xiàn)在時刻的價值，該過程稱為“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”，其所使用的利率常稱為折現(xiàn)率或貼現(xiàn)率。故（1i）n或（PF，i，n）也可稱為折現(xiàn)系數(shù)或貼現(xiàn)系數(shù)。式（2.1.10）常寫成： PF（PF，i，n） （2.1.11） 2. 等額支付系列情形在工程

8、實踐中，多次支付是最常見的支付形式。多次支付是指現(xiàn)金流量在多個時點發(fā)生，而不是集中在某一個時點上，如圖2.1.3所示。如果用At表示第t期末發(fā)生的現(xiàn)金流量（可正可負(fù)），用逐個折現(xiàn)的方法，可將多次現(xiàn)金流量換算成現(xiàn)值，即： （2.1.12）或 （2.1.13）同理，也可將多次現(xiàn)金流量換算成終值： （2.1.14）或 （2.1.15）在上述公式中，雖然所用系數(shù)都可以通過計算或查復(fù)利表得到，但如果n較大，At較多時，計算也是比較繁瑣的。如果多次現(xiàn)金流量At是連續(xù)序列流量，且數(shù)額相等，則可大大簡化上述計算公式。這種具有AtA常數(shù)（t1，2，3，n）特征的系列現(xiàn)金流量稱為等額系列現(xiàn)金流量，如圖2.1.3所

9、示。 F P A A 0 1 2 3 4 n 0 1 2 3 4 n i i （a）年金與終值關(guān)系 （b）年金與現(xiàn)值關(guān)系圖2.1.3 等額系列現(xiàn)金流量示意圖 A年金，發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列各計息期末（不包括零期）的等額資金序列的價值。 對于等額系列現(xiàn)金流量，其復(fù)利計算方法如下： （1）終值計算（即已知A求F）。由式（2.1.14）展開得： （2.1.16） 式中 稱為等額系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù)，用符號（FA，i，n）表示，式（2.1.16）又可寫成： FA（FA，i，n） （2.1.17） 等額系列終值系數(shù)（FA，i，n）可從附錄中查得。 （2）現(xiàn)值計算（即已知A求P）。由式（

10、2.1.10）和式（2.1.16）得： （2.1.18）式中稱為等額系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號（PA，i，n）表示，則式（2.1.18）又可寫成： PA（PA，i，n） （2.1.19） 等額系列現(xiàn)值系數(shù)（PA，i，n）可從附錄中查得。 （3）資金回收計算（已知P求A）。等額系列資金回收計算是等額系列現(xiàn)值計算的逆運算，故由式（2.1.18）可得： （2.1.20） 式中稱為等額系列資金回收系數(shù)，用符號（AP，i，n）表示，則式（2.1.20）又可寫成： AP（AP，i，n） （2.1.21） 等額系列資金回收系數(shù)（AP，i，n）可從附錄中查得。 （4）償債基金計算（已知F求A）。償債基

11、金計算是等額系列終值計算的逆運算，故由式（2.1.16）可得： （2.1.22） 式中稱為等額系列償債基金系數(shù)，用符號（AF，i，n）表示，則式（2.1.22）又可寫成： AF（AF，i，n） （2.1.23） 等額系列償債基金系數(shù)（AF，i，n）可從附錄中查得。 【例2.1.9】若想在第5年末獲得2000萬元，每年存款金額相等，年利率為10%，則每年需存款多少？解：由式（2.1.23）得： AF（AF，i，n）2000（AF，10%，5） 從附錄中查出系數(shù)（AF，10%，5）為0.1638，代入上式得： A20000.1638327.6（萬元）上述資金等值計算公式之間的相互關(guān)系如圖2.1.4

12、所示。在工程經(jīng)濟(jì)分析中，現(xiàn)值比終值使用更為廣泛。因為用終值進(jìn)行分析，會使人感到評價結(jié)論的可信度較低；而用現(xiàn)值概念容易被決策者接受。為此，在工程經(jīng)濟(jì)分析時應(yīng)當(dāng)注意以下兩點：確選取折現(xiàn)率。折現(xiàn)率是決定現(xiàn)值大小的一個重要因素，必須根據(jù)實際情況靈活選用。注意現(xiàn)金流量的分布情況。從收益角度來看，獲得的時間越早、數(shù)額越大，其現(xiàn)值就越大。因此，應(yīng)使建設(shè)項目早日投產(chǎn)，早日達(dá)到設(shè)計生產(chǎn)能力，早獲收益，多獲收益，才能達(dá)到最佳經(jīng)濟(jì)效益。從投資角度看，投資支出的時間越晚、數(shù)額越小，其現(xiàn)值就越小。因此，應(yīng)合理分配各年投資額，在不影響項目正常實施的前提下，盡量減少建設(shè)初期投資額，加大建設(shè)后期投資比重。PFPA A A A

13、 A A A A0 1 2 3 4 5 6 7 n圖2.1.4 資金等值公式相互關(guān)系示意圖例題1：某工程項目建設(shè)期為2年，建設(shè)期內(nèi)第1年初和第2年初分別貸款600萬元和400萬元，年得率為8%.若運營期前3年每年末等額還貸款本息，到第3年末全部還清.則每年末應(yīng)償還本息（ ）萬元.A.406.66B.439.19C.587.69D.634.70【答案】：B600 400A=？0 1 2 3 4 5 【解題思路】：根據(jù)題意繪制現(xiàn)金流量圖：則A=600（1+8%）2+400（1+8%）（A/P,8%,3）=439.19萬元例題2：某項目建設(shè)期為2年，建設(shè)期內(nèi)每年初貸款1000萬元，年利率為8%。若運

14、營期前5年每年末等額償還貸款本息，到第5年末全部還清。則每年末償還貸款本息（）萬元。A 482.36 B520.95C 562.63 D678.23【答案】C【解題思路】 本題考核的是等值計算。計算過程如下：10003 4 5 6 70 1 2 A=？A=1000（F/A，8%，2）（1+8%）（A/P，8%，5） =10002.081.083.993=562.63例題3：下列關(guān)于現(xiàn)金流量的說法中，正確的是（）。 A.收益獲得的時間越晚、數(shù)額越大，其現(xiàn)值越大 B收益獲得的時間越早、數(shù)額越大，其現(xiàn)值越小 C.投資支出的時間越早、數(shù)額越小，其現(xiàn)值越大 D.投資支出的時間越晚、數(shù)額越小，其現(xiàn)值越小答

15、案： D解題要點：根據(jù)教材從單筆收益或投資角度解釋，并不考慮資金的正負(fù)，解題要點如下：從收益角度來看，獲得的時間越早、數(shù)額越大，其現(xiàn)值就越大。因此，應(yīng)使建設(shè)項目早日投產(chǎn)，早日達(dá)到設(shè)計生產(chǎn)能力，早獲收益，多獲收益，才能達(dá)到最佳經(jīng)濟(jì)效益。從投資角度看，投資支出的時間越晚、數(shù)額越小，其現(xiàn)值就越小。因此，應(yīng)合理分配各年投資額，在不影響項目正常實施的前提下，盡量減少建設(shè)初期投資額，加大建設(shè)后期投資比重。但是，如果考慮收益和投資共同作用的凈現(xiàn)金流量，此時須考慮資金的正負(fù)了，解釋如下：現(xiàn)金流量現(xiàn)值的大小與資金作用的時間、收益或支出的數(shù)額有關(guān)。滿足關(guān)系式： 凈現(xiàn)金流量現(xiàn)值=CIt（1+i）tCOt（1+i）t

16、所以，當(dāng)收益（CIt）越小，收益獲得的時間（t）越晚，其現(xiàn)值越?。划?dāng)收益（CIt）越大，收益獲得的時間（t）越早，其現(xiàn)值越大；當(dāng)投資支出數(shù)額（COt）越大，投資支出的時間越早，其現(xiàn)值越小，當(dāng)投資支出數(shù)額（COt）越小，投資支出的時間越晚，其現(xiàn)值越大。所以，回答此類題目時，一定根據(jù)教材的解釋，教材只是從單筆資金的角度，并沒有考慮資金的正負(fù)。 （三）名義利率與有效利率 在復(fù)利計算中，利率周期通常以年為單位，它可以與計息周期相同，也可以不同。當(dāng)利率周期與計息周期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和實際利率的概念。 1. 名義利率名義利率r是指計息周期利率i乘以一個利率周期內(nèi)的計息周期數(shù)m 所得的利率周期利率

17、。即： rim （2.1.24） 若月利率為1%，則年名義利率為12%。顯然，計算名義利率時忽略了前面各期利息再生利息的因素，這與單利的計算相同。通常所說的利率周期利率都是名義利率。 2. 有效利率有效利率是指資金在計息中所發(fā)生的實際利率，包括計息周期有效利率和利率周期有效利率兩種情況。（1）計息周期有效利率。即計息周期利率i，由式（2.1.24）得： （2.1.25）（2）利率周期有效利率。若用計息周期利率來計算利率周期有效利率，并將利率周期內(nèi)的利息再生利息因素考慮進(jìn)去，這時所得的利率周期利率稱為利率周期有效利率（又稱利率周期實際利率）。根據(jù)利率的概念即可推導(dǎo)出利率周期有效利率的計算式。 已

18、知利率周期名義利率r，一個利率周期內(nèi)計息m次（如圖2.1.5所示），則計息周期利率為irm，在某個利率周期初有資金P，則利率周期終值F的計算式為：0 1 2 3 4 5 m期 0 1利率周期PFirm圖2.1.5 利率周期有效利率計算的現(xiàn)金流量圖 根據(jù)利息的定義可得該利率周期的利息I為： 再根據(jù)利率的定義可得該利率周期的有效利率ieff為： （2.1.26）由此可見，利率周期有效利率與名義利率的關(guān)系實質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系相同。假設(shè)年名義利率r10%，則按年、半年、季、月、日計息的年有效利率見表2.1.4。 表2.1.4 年有效利率計算結(jié)果年名義利率(r)計息期年計息次數(shù)(m)計息期利率(ir

19、m)年有效利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.46%日3650.0274%10.51%從表2.1.3可以看出，在名義利率r一定時，每年計息期數(shù)m越多，ieff 與r相差越大。因此，在工程經(jīng)濟(jì)分析中，如果各方案的計息期不同，就不能簡單地使用名義利率來評價，而必須換算成有效利率進(jìn)行評價，否則會得出不正確的結(jié)論。例題：1.某企業(yè)于年初向銀行借款1500萬元，其年有效利率為10%，若按月復(fù)利計息，則該年第3季度末借款本利和為（ ）萬元。A1611.1B1612.5C1616.3D1237.5答案： A解析：本題考核的是有效利率和名

20、義利率的內(nèi)容。年有效利率為10%，按照有效利率的計算關(guān)系式：年有效利率=（1+月利率）121，則月利率=（年有效利率1）1/121，按月復(fù)利計息，則該年第3季度末借款本利和為1500萬元（1月利率）9=1611.1萬元。2某項目建設(shè)期為3年，建設(shè)期內(nèi)每年年初貸款均為300萬元，年利率為10%。若在運營期第3年末償還800萬元，則在運營期第5年末全部償還貸款本利和時尚需償還（ ）萬元。A1273.83B959.16C1579.16D791.04答案： D解析：本題考核的是資金時間價值的計算。按題意畫出現(xiàn)金流量圖：3003003000 1 2 3 4 5 6 7 8？800尚需償還的本利和=300

21、（F/A，10%，3）（F/P，10%，4）800 （F/P，10%，2）=791.04萬元或：尚需償還的本利和=300（F/A，10%，3）（F/P，10%，6） 800（F/P，10%，2）=791.04萬元【解題思路】復(fù)利計算有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）計算復(fù)利的方法稱為間斷復(fù)利（即普通復(fù)利）；按瞬時計算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。在實際應(yīng)用中，一般均采用間斷復(fù)利。4. 某項目建設(shè)期為2年，運營期為5年。建設(shè)期內(nèi)每年年初貸款分別為300萬元、和500萬元，年利率為10%。若在運營期后3年每年末等額償還貸款，則每年應(yīng)償還的本利和為（ ）萬元。A444.22B413.52C560.49D601.34答案：A解析：本題考核的是資金時間價值的計算。按題意畫出現(xiàn)金流量圖： A0 1 2 3 4 5 6 7300 500A=300（110%）7+500（110%）6（A/F，10%，3） =300（110