2020年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：《相似綜合》（含答案）

1、備戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：相似綜合1如圖，在ABC中，AGBC，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，BECE，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，GDGB，連接AD交BE于點(diǎn)F（1）求證：ABEEAF；（2）求證：AE2EFEC；（3）若CG2AG，AD2AF，BC5，求AE的長2在ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上（1）若BACBED2CED，若90，ABAC，過C作CFAD于點(diǎn)F，求的值；若BD3CD，求的值；（2）AD為ABC的角平分線，AEED2，AC5，tanBED2，直接寫出BE的長度3已知EFGH的頂點(diǎn)E、G分別在ABCD的邊AD、BC上，頂點(diǎn)F、H在ABCD的對角線BD上（1）

2、如圖1，求證：BFDH；（2）如圖2，若HEFA90，求的值；（3）如圖1，當(dāng)HEFA120，時，求k的值4如圖，BM、DN分別平分正方形ABCD的兩個外角，且MAN45，連接MN（1）猜想以線段BM、DN、MN為三邊組成的三角形的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AMN為等腰直角三角形，探究線段BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；（3）當(dāng)MNAD時，直接寫出的值5如圖，銳角ABC中，BC12，BC邊上的高AD8，矩形EFGH的邊GH在BC上，其余兩點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且EF交AD于點(diǎn)K（1）求的值；（2）設(shè)EHx，矩形EFGH的面積為S求S與x的函數(shù)關(guān)系式；請直接寫出S的最大值為 6如圖1，ABC

3、中，BD，CE是ABC的高（1）求證：ABDACE（2）ADE與ABC相似嗎？為什么？（3）如圖2，設(shè)cosABD，DE12，DE的中點(diǎn)為F，BC的中點(diǎn)為M，連接FM，求FM的長7如圖，在ABC中，ADBC，垂足為D，BEAC，垂足為E，AD與BE相交于點(diǎn)F，連接ED（1）求證：AEFBDF；（2）若AE4，BD8，EF+DF9，求DE的長8如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC3，點(diǎn)P，Q在對角線BD上，且BQBP，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQm（1）若m2時，求此時PH的長（2）若點(diǎn)C，G，H在同一直線上時，求此時的m值（3）若經(jīng)過點(diǎn)G的直

4、線將矩形ABCD的面積平分，同時該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時m的值9如圖，四邊形ABCD是矩形（1）如圖1，E、F分別是AD、CD上的點(diǎn)，BFCE，垂足為G，連接AG求證：；若G為CE的中點(diǎn)，求證：sinAGB；（2）如圖2，將矩形ABCD沿MN折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)R處，點(diǎn)B落在CD邊的點(diǎn)S處，連接BS交MN于點(diǎn)P，Q是RS的中點(diǎn)若AB2，BC3，直接寫出PS+PQ的最小值為 10已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DB延長線上的一點(diǎn)，且EAEC，分別延長AD、EC交于點(diǎn)F（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）如果AEC2BAC，求證

5、：ECCFAFAD11“創(chuàng)新實(shí)踐”小組想利用鏡子與皮尺測量大樹AB的高度，因大樹底部有障礙物，無法直接測量到大樹底部的距離聰明的小穎借鑒海島算經(jīng)的測量方法設(shè)計(jì)出如圖所示的測量方案：測量者站在點(diǎn)F處，將鏡子放在點(diǎn)M處時，剛好看到大樹的頂端，沿大樹方向向前走2.8米，到達(dá)點(diǎn)D處，將鏡子放在點(diǎn)N處時，剛好看到大樹的頂端（點(diǎn)F，M，D，N，B在同一條直線上）若測得FM1.5米，DN1.1米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米，求大樹AB的高度12矩形ABCD中，AD9，AB12，點(diǎn)E在對角線BD上（不與B、D重合），EFAE交CD于F點(diǎn)，連接AF交BD于G點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)G為DE中點(diǎn)時求證：FDFE；

6、求BE的長（2）如圖2，若E為BD上任意點(diǎn)，求證：AG2BGGE13已知ABC中，ABC90，點(diǎn)D、E分別在邊BC、邊AC上，連接DE，DFDE，點(diǎn)F、點(diǎn)C在直線DE同側(cè)，連接FC，且k（1）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，如圖1，k1時，AE和FC的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；如圖2，k2時，猜想AE和FC的關(guān)系，并說明理由；（2）BD2CD時，如圖3，k1時，若AE2，SCDF6，求FC的長度；如圖4，k2時，點(diǎn)M、N分別為EF和AC的中點(diǎn)，若AB10，直接寫出MN的最小值14如圖1，ABC的兩條中線BD、CE交于點(diǎn)F（1） ；（2）如圖2，若BE2EFEC，且，EF，求DE的長；（3）如圖3，已知BC

7、4，BAC60，當(dāng)點(diǎn)A在直線BC的上方運(yùn)動時，直接寫出CE的最大值15教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第62頁的部分內(nèi)容已知：如圖，DEBC，并分別交AB、AC于點(diǎn)D、E求證：ADEABC請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，運(yùn)用相似三角形的定義，寫出完整的證明過程證明：過點(diǎn)D作AC的平行線交BC于點(diǎn)F結(jié)論應(yīng)用：如圖，ABC中，AB10，AC7，AD平分BAC，AE是BC邊上的中線，過點(diǎn)C作CGAD交AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為 16如圖1所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，將AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)（0360），直線BE，DF相交于點(diǎn)P（1）若ABAD，將AE

8、F繞點(diǎn)A逆時針旋至如圖2所示的位置上，則線段BE與DF的位置關(guān)系是 ，數(shù)量關(guān)系是 （2）若ADnAB（n1）將AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說明理由（3）若AB6，BC8，將AEF旋轉(zhuǎn)至AEBE時，請直接寫出DP的長17如圖1，矩形ABCD中，AB8，BC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將AEF沿直線EF對折，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G（1）如圖2，當(dāng)EFBD，且點(diǎn)G落在對角線BD上時，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EFBD且DFG是直角三角形時，求AE的值；（3）當(dāng)AE2AF時，F(xiàn)G的延長線交B

9、CD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由18如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足90，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”（1）若ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，A90，B20，求C的度數(shù)；（2）如圖，在RtABC中，BAC90，AB4，BC5，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)若ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC4，CD5，BAC90，ACD2ABC，且BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長參考答案1（1）證明：EBEC，EBCC，AGBD，BGGD，ABAD，ABDADB，AB

10、DABE+EBC，ADBDAC+C，ABEDAC，即ABEEAF（2）證明：AEFBEA，EAFABE，AEFBEA，AE2EFEB，EBEC，AE2EFEC（3）解：設(shè)BE交AG于J，連接DJ，DEAG垂直平分線段BD，JBJD，JBDJDG，JBDC，JDBC，DJAC，AEFDJF，AFDF，AFEDFJ，AFEDFJ（AAS），EFFJ，AEDJ，AFDF，四邊形AJDE是平行四邊形，DEAG，AGBC，EDBC，EBEC，BDDC，BGDG，tanJDGtanC，JG，JGD90，DJ，AEDJ2解：（1）BACBED2CED，當(dāng)90，ABAC時，ABC與CEF都是等腰直角三角形，B

11、AE+FAC90，ACF+FAC90，BAEAFC，在ABE與CAF中，ABECAF（AAS），AECFEF，BEAF2EF2CF，2；如圖，過點(diǎn)C作CFBE，交AD的延長線于點(diǎn)F，在AD上取一點(diǎn)G，使得CGCF，BACBED2CED，ABECAG，F(xiàn)BEDCGF，AEBAGC，ABECAG，CFBE，BEDCFD，3，設(shè)CFx，BE3x，AEy，則CGEGx，解得：，；（2）如圖，過點(diǎn)C作CFAD，交BA的延長線于F，延長BE交CF與G，則BADF，DACACF，又AD為ABC的角平分線，即BADDAC，ACFF，AFAC5，又AEED，F(xiàn)GCG，AGCF，CAGFAG，ADAG，tanBE

12、D2，tanAEG2，AEED2，2，AG2AE4，又AC5，F(xiàn)GCG3，DECG，解得，BE43（1）證明：四邊形EFGH是平行四邊形，EFHG，EFHG，EFDGHB，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，EDFGBH，在EFD和GHB中，EFDGHB（AAS），DFBH，DFHFBHHF，BFDH；（2）解：作EMFH于M，如圖2所示：設(shè)MHa，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是平行四邊形，AFEH90，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是矩形，ADBC，tanADB，tanEFH，F(xiàn)EHEMH90，MEH+EHM90，EFH+EHF90，MEHEFH，tanMEHtanEFH，EM2a，

13、FM4a，tanEDM，DM4a，F(xiàn)H5a，由（1）得：BFDH，BFDH3a，；（3）過點(diǎn)E作EMBD于M，如圖1所示：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，即，HEFA，EFHADB，EFHADB，EFED，F(xiàn)MDM，設(shè)BF3a，F(xiàn)H7a，DF10a，DM5a，由（1）得：BFDH，DH3a，MHDMDH5a3a2a，過點(diǎn)E作NEHEDH，交BD于N，ENHDNE，ENHDNE，EN2DNHN，設(shè)HNx，EN2x（3a+x），EN，NEHEDH，NEHEFH，EHNFHE，ENHFEH，ENDHEF120，ENM60，NEM30，EN2MN，2（2ax），解得：xa，EN2a，MNa，由勾

14、股定理得：EMa，EHa，EFDE2a，k4解：（1）以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形證明如下：如圖，過點(diǎn)A作AFAN并截取AFAN，連接BF、FM，1+BAN90，3+BAN90，13，在ABF和ADN中，ABFADN（SAS），BFDN，F(xiàn)BANDA135，F(xiàn)AN90，MAN45，1+2FAMMAN45，在AFM和ANM中，AFMANM（SAS），F(xiàn)MNM，F(xiàn)BP180FBA18013545，F(xiàn)BP+PBM45+4590，F(xiàn)BM是直角三角形，F(xiàn)BDN，F(xiàn)MMN，以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形；（2）BM、DN分別平分正方形的兩個外角，CBMCDN45，AB

15、MADN135，MAN45，BAM+NAD45，在ABM中，BAM+AMBMBP45，NADAMB，在ABM和NDA中，ABMNDA，AMN是等腰直角三角形，；（3）連接BD并延長交MN延長線于點(diǎn)G，如圖2，由題意知GDNGBM90，ADN135，MNAD，GND45，G90GND45，DGN和BGM均為等腰直角三角形，GNDN，GMBM，由（1）知，DN2+BM2MN2，設(shè)BMx，DNy，則GMx，GNy，MN（yx），x2+y2（yx）2，x1（2+）y（舍），x2（2）y，5解：（1）四邊形EFGH是矩形，EFBC，ADBC，AKEF，EFBC，AEFABC，；（2）四邊形EFGH是矩形

16、，F(xiàn)EHEHG90，ADBC，ADB90，四邊形EHDK是矩形，EHDKx，AK+DKAD，AK8x，SEHEFx（8x）x2+12xSx2+12x，當(dāng)x4，時S有最大值24故答案為：246（1）證明：如圖1中，BD、CE是ABC的高，ADBAEC90，AA，ABDACE（2）相似理由：ABDACE，即，AA，ADEABC（4）如圖2中，連接DM、EM由得，BC18，又EMDM9，MFDE，且FDFE6，F(xiàn)M37（1）證明：ADBC，BEAC，BDFAEF90，AFEBFD，AEFBDF（2）解：AEFBDF，DF+EF9，EF3，DF6，BF10，AF5，AD5+611，AB，AFBEFD，

17、AFBEFD，DE8解：（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，BD5，BQ2，BP3，PHAD，BPHBDA，；（2）如圖，設(shè)HG與PQ交于點(diǎn)O，設(shè)BQ2x，則BP3x，PQx，POQO，BOx，PHBC，PHOBCO，PH，PHAD，BPHBDA，x，BQ；（3）連接AC交BD于O，經(jīng)過點(diǎn)G的直線將矩形ABCD的面積平分，這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)O如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過PH的中點(diǎn)R時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，PHGQ，m；如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過HQ的中點(diǎn)N時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，PGHQ，m；綜上所述，滿足條件的m的

18、值為或9（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，CDEBCF90，BFCE，BGC90，BCG+FBCBCG+ECD90，F(xiàn)BCECD，F(xiàn)BCECD，證明：如圖1中，連接BE，GDBFCE，EGCG，BF垂直平分線段EC，BECB，EBGCBG，DGCG，CDGGCD，ADG+CDG90，BCG+ECD90，ADGBCG，ADBC，ADGBCG（SAS），DAGCBG，DAGEBG，AEBAGB，sinAGBsinAEB（2）如圖2中，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，CP四邊形MNSR與四邊形MNBA關(guān)于MN對稱，T是AB中點(diǎn)，Q是SR中點(diǎn)，PTPQ，MN垂直平分線段BS，BPPS，BCS90，

19、PCPSPB，PQ+PSPT+PC，當(dāng)T，P，C共線時，PQ+PS的值最小，最小值，PQ+PS的最小值為故答案為10解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，又EAEC，EOAC，四邊形ABCD是菱形；（2）AEBCEBAEC，平行四邊形ABCD為菱形，AEBCEBBACBCADACDCA，CDFDAC+DCAAEF，F(xiàn)CDFAE，CDAD，AECE，即ECCFAFAD11解：設(shè)NB的長為x米，則MBx+1.1+2.81.5（x+2.4）米由題意，得CNDANB，CDNABN90，CNDANB，同理，EMFAMB，EFCD，即解得x6.6，解得AB9.6答：大樹AB的高度為9.6米12（

20、1）證明：如圖1，取AF的中點(diǎn)O，連接OD，OE，ADFFEA90，OEODAF，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，OGDE，AFDE，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，F(xiàn)DFE；解：由知，AFDE，AGD90，ADGADB，ADGBDA，在RtABD中，AD9，AB12，根據(jù)勾股定理得，BD15，DG，DE2DG，BEBDDE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作MNBC分別交AB，CD于M，N，BCCD，MNCD且MNAB，DNEAME90，F(xiàn)EA90，NEFMAE，NEFMAE，AMDN，F(xiàn)EAEND90，F(xiàn)EAEND，F(xiàn)AEEDN，EDNABG，F(xiàn)AEABG，AGEBGA，AGEBGA，AG2BGGE13解：（1）如圖1中，結(jié)論：

21、AECF，AECF理由：由題意：BABC，BEBE，ABCEBF90，ABECBF，AACB45，ABECBF（SAS），AECF，ABCF45，ACFACB+BCF90，AECF，故答案為AECF，AECF如圖2中，結(jié)論：AE2CF，AECF理由：2，ABECBF，ABECBF，2，ABCF，AE2CF，A+ACB90，BCF+ACB90，AECF（2）如圖3中，過點(diǎn)D作DHAC于H，作DTAB交AC于T由題意ABBC，ABC90，ACB45，DTAB，CDTCBA90，DTCDCT45，DTDC，DHCT，HTHC，DHHTHC，設(shè)DHHTHCm，DTAB，AT4m，AE2，ET4m2，D

22、EDF，DTDC，EDFTDC90，EDTFDC，EDTFDC（SAS），SEDTSFDC6，ETFC，（4m2）m6，解得m2或（舍棄），CFET4m2826如圖4中，連接DM，CM，根點(diǎn)M作MKBC于K，交AC于J同法可證：AECF，EDFECF90，EMMF，DMMCEF，點(diǎn)M在長度CD的垂直平分線MK上，當(dāng)NMNK時，MN的值最小，由題意：AB10，BC5，CD，CKDK，在RtABC中，AC5，ANCN，CNAC，JKAB，CJ，NJCNCJ，NMMK時，NMKCKJ，MN，MN的最小值為14解：（1）如圖1中，AEBE，ADDC，DEBC，DEBC，EDFCBF，故答案為：（2）如

23、圖2中，DEBC，且DEBC，EDFCBF，EF，CF2，EC3，BE2EFEC，BE3，DFBE2，BF4，BEFCEB，BEFCEB，CB4，DEBC2（3）如圖3中，如圖，作ABC的外接圓O，連接OA，OB，OC，取OB的中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)O作OHBC于H，過點(diǎn)F作FTBC于TBOC2BAC120，OBOC，OHBC，BHCHBC2，BOHCOH60，OH，OB2OH，AEEB，BFOF，EFOA，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以F為圓心FE為半徑的F，CE的最大值EF+CF，F(xiàn)TBC，OHBC，F(xiàn)TOH，BFOF，BTTH1，F(xiàn)TOH，在RtFCT中，CF，CE的最大值為15教材呈現(xiàn)：證明：過點(diǎn)

24、D作AC的平行線交BC于點(diǎn)F，DEBC，四邊形DECF是平行四邊形，DECF，DEBC，AEDC，ADEB，DFAC，AA，ADEABC；結(jié)論應(yīng)用：AD平分BAC，GAFCAF，CGAD，AFGAFC，在AGF和ACF中，AGFACF（ASA），AGAC7，GFCF，則BGABAG1073又BECE，EF是BCG的中位線，EFBG1.5故答案是：1.516解：（1）如圖2中，結(jié)論：BEDF，BEDF理由：四邊形ABCD是矩形，ABAD，四邊形ABCD是正方形，AEAB，AFAD，AEAF，DABEAF90，BAEDAF，ABEADF（SAS），BEDF，ABEADF，ABE+AHB90，AHB

25、DHP，ADF+PHD90，DPH90，BEDF故答案為BEDF，BEDF（2）如圖3中，結(jié)論不成立結(jié)論：DFnBE，BEDF，AEAB，AFAD，ADnAB，AFnAE，AF：AEAD：AB，AF：AEAD：AB，DABEAF90，BAEDAF，BAEDAF，DF：BEAF：AEn，ABEADF，DFnBE，ABE+AHB90，AHBDHP，ADF+PHD90，DPH90，BEDF（3）如圖41中，當(dāng)點(diǎn)P在BE的延長線上時，在RtAEB中，AEB90，AB6，AE3，BE3，ABEADF，DF4，四邊形AEPF是矩形，AEPF3，PDDFPF43；如圖42中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時，同法可得D

26、F4，PFAE3，PDDF+PF4+3，綜上所述，滿足條件的PD的值為43或4+317解：（1）連接AG，如圖2所示，由折疊得：AGEF，EFBD，AGBD，在矩形ABCD中，AB8，BC6，DAB90，ADBC6，DB10，cosADB，DGADcosADB6（2）當(dāng)DGF90時，此時點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，設(shè)AF3t，則FG3t，AE4t，DF63t，在RtDFG中，DG2+FG2DF2，即DG2（63t）2（3t）23636t，tanFDG，解得t，AE當(dāng)GDF90時，點(diǎn)G在DC上，過點(diǎn)E作EHCD于H，則四邊形ADHE是矩形，EHAD6設(shè)AF3t，則FG3t，AE4t，DF63t，F(xiàn)DGFGEEHG90，DGF+DFG90，DGF+EGH90，DFGEGH，GDFEHG，DG，GH84k，DG+GHAE，+84k4k，k，AE綜上所述：AE或（3）當(dāng)AEFGHE時，如圖41，過點(diǎn)H作HPAB于P，AEFFEGEHG，EHG+HEG90，F(xiàn)EG+HEG90，AFEH90，AEFEHF，EF：HEAF