第13的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛體基本運(yùn)動(dòng)

1、第 13 章點(diǎn)的剛體的學(xué)與本1工程力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第三篇學(xué)與動(dòng)力學(xué)第 13 章 點(diǎn)的學(xué)與剛體的基本學(xué)研究物體在空間的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，以及物體上各點(diǎn)的速度和度這些物體的物體采用矢量的幾何性質(zhì)，但是不涉及引起都是相對(duì)的，因此研究物體的 的位移、及其上各點(diǎn)的速度和。 情形下，這些矢量的大小和的。必須指明參考體和參考系。度都是矢量，因此研究學(xué)隨著時(shí)間的變化而變化，因而稱為變矢量。13.1 教學(xué)要求與學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握點(diǎn)作位矢、速度與及剛體基本的有關(guān)概念，如度；at 與an 的物理意義；剛體的平移與轉(zhuǎn)動(dòng)；剛體角速度、角度矢量等。2. 對(duì)于點(diǎn)的問(wèn)題，能熟練地根據(jù)約束條件選擇恰當(dāng)坐標(biāo)（直角坐標(biāo)或弧坐標(biāo)）建

2、立速度分析，對(duì)所得到的數(shù)學(xué)表解。方程，正確熟練地進(jìn)行速度及加所代表的性質(zhì)有清晰地了3. 對(duì)于剛體的基本形式，再根據(jù)確定的，要首先能正確、熟練地其形式建立相應(yīng)的方程，并能熟練地計(jì)算剛體上一點(diǎn)的速度與度。13.2 理 論 要 點(diǎn)本章主要研究：點(diǎn)的和剛體的兩種基本平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。13.2.1 分析點(diǎn)的的三種點(diǎn)的分析主要是研究點(diǎn)的方程、速度和度。描述點(diǎn)在空間的位置隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)表稱為點(diǎn)的方程。研究點(diǎn)的通常有以下幾種：21. 矢量法r = r(t) ， v = = d rd rdt 22a = = =r,vrdtr、v、a 分別為點(diǎn)在時(shí)間 t 瞬時(shí)的位矢、速度、度。且r = r(t) 為方程。2.直角坐標(biāo)

3、法é i ùr = xi + yj + zk = (x, y , z)ê j úê úêëk úûé i ùv = x i + y j + z k = (x , y , z )ê j úê úêëk úûé i ùa = x i + y j + z k = ( x , y , z )ê j úê úêëk ú

4、û3.弧坐標(biāo)法如果點(diǎn)的程、速度、軌跡已知，則點(diǎn)沿軌跡的度分別為規(guī)律可用弧坐標(biāo) s 表示，方s = f (t ) v = d r = ds d r= s tdtdt dsdtv2dvddvdtdv(vt ) =a =t + v=t +ndtdtrdtdt= att + an n式中t 和 n 分別為徑。軌跡在點(diǎn) P 處的切向和法向矢量,為軌跡的曲率半3式中的第一項(xiàng)稱為切速度，為速度大小的變化率；第二項(xiàng)稱為法速度，為速度方向的變化率，二者在t 與n 方向的投影分別為：v2s 2at = v = s ， an =rr建立點(diǎn)的方程的關(guān)鍵，是選擇合適的，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系（不管使用哪種坐標(biāo)系，一

5、定要首先確定原點(diǎn)及坐標(biāo)正向），并將點(diǎn)置于位置（不能放在特殊位置），根據(jù)問(wèn)題的約束條件建立方程。4. 三種各自的特點(diǎn)及適用性1) 矢量法簡(jiǎn)明、直觀，常用于理論推導(dǎo)，不適于具體問(wèn)題的計(jì)算；2) 便于代數(shù)及微積分運(yùn)算，常用于點(diǎn)的軌跡未知情況下的具體計(jì)算， 但所得結(jié)果物理意義不夠直觀；3) 弧坐標(biāo)法速度、切速度、法速度的表物理意義明確，常軌跡未知的情用于點(diǎn)的況。軌跡已知情況下的具體計(jì)算，但不適用于點(diǎn)的13.2.2 剛體的基本1. 平移平移的定義：剛體在過(guò)程中，其上任取直線始終與它的最初位置平行。平移的特點(diǎn)是：剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀、速度、度相同。因此，只要，也就決定了整個(gè)剛體求得剛體上任意一點(diǎn)的的。，就

6、可得知其他各點(diǎn)的rA = rB + rBA根據(jù)平移的定義， rBA 為常矢量d rBA= 0dt故有r A = r B即vA = vB ®類似地，有：v A = v B4即aA = aB2.轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的定義：剛體時(shí)，若其上（或其擴(kuò)展部分）有一條直線始終保持不動(dòng)。這條固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸。軸線上各點(diǎn)的速度和度均恒為零，其他各點(diǎn)均軸線作圓周。圖 13-1 二維剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)如果研究位于定系Oxy 中的平面剛體繞垂直于紙面的軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)（圖 131），則取與剛體固結(jié)并通過(guò)軸 O 的任意直線 OA，以 OA 與定坐標(biāo)軸 Ox 之間的夾角為坐標(biāo)。于是，轉(zhuǎn)角 隨時(shí)間 t 的變化描述了剛體的，由此

7、得到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方程為j = f (t)剛體的角速度w與角度a 分別為w = j üa = w = j ýþ轉(zhuǎn)角（或角位移） 、角速度w 與角度a 都是描述剛體整體的物理量。上式中，角速度 與角度 均為代數(shù)量。當(dāng)規(guī)定轉(zhuǎn)角 以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎龝r(shí)，與 均應(yīng)以 增加的方向?yàn)檎?，即均按逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，相反則為負(fù)。若與 同號(hào)，則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)；若異號(hào)，則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上點(diǎn) P 作圓周的速度與度（切向與法向分量）的大小為vP = wrPa =(at )2 + (an )2 =(a r ) + (w r= ra 2 + w422)2PPPPPP5式中， rP = OP ，這表明，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

8、時(shí)，其上各點(diǎn)的速度和度與點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離成正比，由下式確定r aaattanq = P = P=r w2w 2anPP13.2.3 角速度與角度矢矢為 k ，則剛體角速度與角度可以分別表示為矢量w設(shè)轉(zhuǎn)軸Oz 的和a，稱為角速度矢和角度矢，如圖 13-2 所示。圖 13-2 角速度矢與角度矢w = w k üa = a k ýþ若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，則a 與w 同向；若轉(zhuǎn)動(dòng)，則a 與w 反向。剛體上某一點(diǎn) P 的速度可以表示為vP = w×rP式中， rP 為點(diǎn) P 的位矢（圖 13-2）。點(diǎn) P 的度為aP = v P = w ´ rP + ´

9、r P = a ´ rP + w ´ vP+ w ´(w ´ r )= a ´ r= a + atnPPPP這表明，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上某一點(diǎn)的度由兩部分組成，即式中的切速度at 與法速度an 。PP613.3 學(xué) 習(xí) 建議1. 建立非件，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的方程時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的約束條（軌跡已知采用弧坐標(biāo)法；軌跡未知采用直角坐標(biāo)法），確定表示該點(diǎn)在時(shí)位置的參量。再根據(jù)已知的條件，把參量表示為時(shí)間t 的函數(shù)，從而得到用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)形式表示的點(diǎn)的方程。2. 將點(diǎn)的方程中的參變量t 消去，即得到點(diǎn)的軌跡方程，由此，可以描繪點(diǎn)的軌跡。將方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)后，得到速度和變化規(guī)律

10、。度的表，它們表明點(diǎn)的速度和度隨時(shí)間的3. 為了確定點(diǎn)沿軌跡向和法向分量。在計(jì)算的性質(zhì)，需要分別計(jì)算度的切軌跡的曲率半徑時(shí)，常需要直角坐標(biāo)法和弧坐標(biāo)法的綜合應(yīng)用。故需熟練掌握下列式v = s =x 2 + y 2 + z 2da = s =( dtx 2 + y 2 + z 2 ) =a2 + a2 = x 2 + y 2 + z 2tn4. 在剛體是否作平行移動(dòng)（特別是作曲線平移）時(shí)，只要根據(jù)平移剛體上各點(diǎn)軌跡形狀相同的特征，通過(guò)對(duì)該剛體上若干特殊點(diǎn)（例如它與其他構(gòu)件的兩個(gè)連接點(diǎn)）的分析，就可確定剛體的平移。形式，如果有兩點(diǎn)的軌跡完全相同，該剛體即作關(guān)于平移剛體上各點(diǎn)的分析，與點(diǎn)的分析相同，

11、所以只需分析其上任意一點(diǎn)。對(duì)于非接點(diǎn)所受約束的條件，先建立它的的平移剛體，可分析其聯(lián)方程。作圓弧形曲線平移的問(wèn)題，常應(yīng)用弧坐標(biāo)法分析線平移的問(wèn)題，只需用一維坐標(biāo)軸表示和分析其；作直。5. 在已知轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度與角度的條件下，根據(jù)相應(yīng)的式，就可分析、計(jì)算剛體上任一點(diǎn)的速度及度。13.4 例 題 示 范7【例題 13-1】橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖 13-3 所示，已知 AC=CB=OC=r，曲柄 OC 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，j = w t ，帶動(dòng) AB 尺，A、B 分別在鉛垂和水平槽內(nèi)滑動(dòng)。求 BC 中點(diǎn) M 的速度和度以及軌跡的曲率半徑?！窘狻?分析 M 點(diǎn)的曲柄 OC 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng) BC 尺，而 CB 中點(diǎn) M 作

12、軌跡未知的平面曲線 動(dòng)。，可采用直角坐標(biāo)法確定其運(yùn)2建立方程建立如圖 13-3 所示的直角坐標(biāo)系jOxy，由圖的幾何為知，M 點(diǎn)的坐標(biāo)x = OCcosj + CMcosjy = BMsinjüý圖 13-3例題13-1þ(a)將j = w t 、r 代入式（1），得x = 3 rcosw tüï2ý(b)y = 1 rsinw tïþ2式（2）為 M 點(diǎn)的程參數(shù)方程。從式（2）中消去參數(shù) t，得到 M 點(diǎn)的軌跡方x 2y 2+= 1(c)( 3 r)2( 1 r)222顯然 M 點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓。3求點(diǎn) M 的

13、速度和度v = v i + v j = x i + y j = (- 3 w r sin w t)i + ( 1 w r cosw t) jxy22所以點(diǎn) M 速度的大小為v =v 2 + v 2 = 1 rw 9 sin 2 w t + cos2 w t = 1 rw 1 + 8sin 2 w t(d)xy22a = a i + a j = x i + y j = (- 3 w2r cosw t)i + (- 1 w2r sin w t) j(e)xy22所以點(diǎn) M度的大小為a =a2 + a2 =(- 3 w2r cosw t)2 + (- 1 w 2r cosw t)2xy22(f)=

14、1 rw2 1+ 8 cos2 w t24確定軌跡的曲率半徑r在點(diǎn)的學(xué)中可根據(jù)點(diǎn)的法速度表求出軌跡的曲率半徑。將式(d)對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)可得切速度的大小為8sin 2wta = d v = 2rw2td t1+ 8sin2 wt由式(f)和切速度的表可得法速度的大小為16 sin 2 2wt1a - a =rw(1+ 8 cos2wt) -1+ 8sin2 wtan =2222t3rw2=2 1+ 8sin2 wt軌跡的曲率半徑為1 r 2w2 (1+ 8sin2 w t)3= r(1+ 8sin2 w t)22r = v =43rw2a6n 2 1+ 8sin2 w t【例題 13-2】圖

15、 13-4a 所示機(jī)構(gòu)中齒輪 1 緊固在桿 AC 上，AB = O1O2，齒輪 1 和半徑為 r2 的齒輪 2 嚙合，齒輪 2 可繞 O2 軸轉(zhuǎn)動(dòng)且和曲柄 O2B 沒(méi)有。設(shè) O1A = O2B = l，j = bsinwt，試確定t =s 時(shí)，輪 2 的角速度和角度。2wvBCvAACAB1B1vDDjjOOOO121222a)b)圖 13-4例題 13-2解：1分析機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)由桿 O1A、O2B、組合體 ACB 和輪 O2 四部分組成，除組合體 ACB 作平移（A、B 兩點(diǎn)速度相同）外，其余三物體作2速度分析轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)闂U O1A 作轉(zhuǎn)動(dòng)，故點(diǎn) A 的速度為vA = O1Aj = lbw co

16、swt組合體 ACB 作平移，點(diǎn) ABD 有相同的速度（圖 13-4(b)），即vD = vA = lbw coswt輪 2 的角速度為= lbw coswt= vDw2rr2293度分析點(diǎn) A 的切速度為= O Aj = -w sin wtat 2lbA1根據(jù)剛體平移的性質(zhì)，有= at = -lbw2 sin wtatDA輪 2 的角度為a= - lbw2ta =sin wt D 2r2r2當(dāng)t = p s 時(shí)，可得2w= - lbw2w = 0 ，a（順時(shí)針）22r2【例題 13-3】圖 13-5 所示圓盤半徑 R = 0.2 m，繞其中心軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)。在某瞬時(shí)，輪緣上點(diǎn) A 的切速度at = 6m/s2 ，圓盤上任一點(diǎn) B 的度與 OB 連線A間的夾角q 的正切 tanq = 0.75。求點(diǎn) A 的速度大小 vA?！窘狻?圓盤作點(diǎn)的速度、分析轉(zhuǎn)動(dòng)，可應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上B度與剛體的角速度、角度aq之間的求解。aB2求圓盤的角通過(guò)點(diǎn) A 的切t度、角速度速度求圓盤的角Oa tR度Aa6Aa = 30 rad/s A 2R0.2圖13-5例題13-3通過(guò)點(diǎn) B 的度度與徑向的夾角求圓盤的角速w2 = a tanqatanq30w =± =± = ±6.