數(shù)值分析習(xí)題解二三章

1、12. 設(shè)是次Chebyshev多項式，證明（1）；（2）.證明：由Chebyshev多項式的定義，13. 求函數(shù)在區(qū)間上的一次最佳平方逼近多項式。解：方法一（用多項式作基底）令，設(shè)所求多項式為。因為，所以關(guān)于和的法方程為因此所求最佳平方逼近多項式 。方法二（用Legendre正交多項式, , , ,作基底，特別需要注意的是Legendre正交多項式的正交區(qū)間是，當所給區(qū)間，需要先利用變換將轉(zhuǎn)化為）因為，令，則令，則。因為，所以，故在上的一次最佳平方逼近多項式為因此所求最佳平方逼近多項式 。14. 求函數(shù)在區(qū)間上的二次最佳平方逼近多項式。解：方法一（用多項式作基底）令，設(shè)所求多項式為。因為，所

2、以關(guān)于，和的法方程為因此所求最佳平方逼近多項式 。方法二（用Legendre正交多項式作基底）因為，令，則令，則。因為所以，故在上的二次最佳平方逼近多項式為因此所求最佳平方逼近多項式注：若題目沒有明確要求使用哪種基底時，建議選用多項式基底，即方法一。15. 給出數(shù)據(jù)0希望用一次、二次和三次多項式，用最小二乘法擬合這些數(shù)據(jù)，并寫出法方程組。解：由已知數(shù)據(jù)可得：1000000000000000000294830000004785000000000677000008919000000000000000000000000000006所以用一次多項式擬合的法方程為用二次多項式擬合的法方程為用三次多項式擬

3、合的法方程為16. 設(shè)有一發(fā)射源的發(fā)射強度公式為，現(xiàn)測得與得一組數(shù)據(jù)如下：試用最小二乘法根據(jù)上表確定參數(shù)和。解：將兩邊取對數(shù)得令，則。因為123647055006475所以法方程為從而，故發(fā)射強度公式為。第三章1.分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計算下列積分，并比較結(jié)果。（1）； （2）解：（1）令。使用復(fù)合梯形公式時，節(jié)點，故使用復(fù)合拋物線公式時，節(jié)點，故因為，所以比較復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計算得到的近似值可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)合拋物線公式的精度要高一些。（2）令。使用復(fù)合梯形公式時，節(jié)點，故使用復(fù)合拋物線公式時，節(jié)點，故因為，所以復(fù)合拋物線公式的精度要高一些。2. 若用復(fù)合梯形公式求的近似值

4、，問要將積分區(qū)間分成多少份才能保證計算結(jié)果有四位有效數(shù)字？若用復(fù)合Simpson公式呢？解：因為在上單調(diào)遞減，所以因此這表明沒有整數(shù)部分。為了保證計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，計算應(yīng)精確到小數(shù)后第4位，即余項，從而（1）使用復(fù)合梯形公式計算時有4位有效數(shù)字，應(yīng)有又因為，所以，即，故將分成41份時可保證有四位有效數(shù)字。（2）使用復(fù)合Simpson公式計算時有4位有效數(shù)字，應(yīng)有在復(fù)合Simpson公式中，如果將步長取為（這實際上是復(fù)合梯形公式的步長），則，即，此時區(qū)間等分為和。但是，為了在子區(qū)間上利用Simpson公式，需要選取的中點，這時實際上又把每個子區(qū)間分成了兩等分。所以，最終需要把分成和，把分成

5、和，即需要將分成4份。如果將步長直接取為兩個相鄰節(jié)點之間的距離，則由復(fù)合Simpson公式包含個節(jié)點可得：，代入即得，故使用復(fù)合Simpson公式時，需要將分成4份。4. 用代數(shù)精度定義直接驗證拋物線求積公式具有3次代數(shù)精度。解：令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊右邊。綜上所述，拋物線求積公式具有3次代數(shù)精度。5. 寫出的Newton-Cotes公式，并求出其代數(shù)精度，利用此公式計算積分的近似值。解：當時，節(jié)點為。Cotes系數(shù)為，故從而3階Newton-Cotes公式為當時有，而當時有，故3階Newton-Cotes公式具有3次代數(shù)精度。由可得7. 確定下列求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。（1）；解：令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。（2）；解：令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。（3）；解：令，則所以令，則。所以該求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）.解：令時，。令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。9. 試用下列算法計算積分（1） 利用Romberg求積公式（計算到為止）；解：令，則；將區(qū)間分半，令，則所以令，則所以令，則所以因此（2） 利用三點及五點Gauss求積公式計算；解：先作變換，把積分區(qū)