數(shù)值分析習(xí)題解二三章

1、12. 設(shè)是次Chebyshev多項(xiàng)式，證明（1）；（2）.證明：由Chebyshev多項(xiàng)式的定義，13. 求函數(shù)在區(qū)間上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：方法一（用多項(xiàng)式作基底）令，設(shè)所求多項(xiàng)式為。因?yàn)?，所以關(guān)于和的法方程為因此所求最佳平方逼近多項(xiàng)式 。方法二（用Legendre正交多項(xiàng)式, , , ,作基底，特別需要注意的是Legendre正交多項(xiàng)式的正交區(qū)間是，當(dāng)所給區(qū)間，需要先利用變換將轉(zhuǎn)化為）因?yàn)?，令，則令，則。因?yàn)椋?，故在上的一次最佳平方逼近多?xiàng)式為因此所求最佳平方逼近多項(xiàng)式 。14. 求函數(shù)在區(qū)間上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：方法一（用多項(xiàng)式作基底）令，設(shè)所求多項(xiàng)式為。因?yàn)?，?/p>

2、以關(guān)于，和的法方程為因此所求最佳平方逼近多項(xiàng)式 。方法二（用Legendre正交多項(xiàng)式作基底）因?yàn)?，令，則令，則。因?yàn)樗?，故在上的二次最佳平方逼近多?xiàng)式為因此所求最佳平方逼近多項(xiàng)式注：若題目沒有明確要求使用哪種基底時(shí)，建議選用多項(xiàng)式基底，即方法一。15. 給出數(shù)據(jù)0希望用一次、二次和三次多項(xiàng)式，用最小二乘法擬合這些數(shù)據(jù)，并寫出法方程組。解：由已知數(shù)據(jù)可得：1000000000000000000294830000004785000000000677000008919000000000000000000000000000006所以用一次多項(xiàng)式擬合的法方程為用二次多項(xiàng)式擬合的法方程為用三次多項(xiàng)式擬

3、合的法方程為16. 設(shè)有一發(fā)射源的發(fā)射強(qiáng)度公式為，現(xiàn)測(cè)得與得一組數(shù)據(jù)如下：試用最小二乘法根據(jù)上表確定參數(shù)和。解：將兩邊取對(duì)數(shù)得令，則。因?yàn)?23647055006475所以法方程為從而，故發(fā)射強(qiáng)度公式為。第三章1.分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。（1）； （2）解：（1）令。使用復(fù)合梯形公式時(shí)，節(jié)點(diǎn)，故使用復(fù)合拋物線公式時(shí)，節(jié)點(diǎn)，故因?yàn)椋员容^復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計(jì)算得到的近似值可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)合拋物線公式的精度要高一些。（2）令。使用復(fù)合梯形公式時(shí)，節(jié)點(diǎn)，故使用復(fù)合拋物線公式時(shí)，節(jié)點(diǎn)，故因?yàn)椋詮?fù)合拋物線公式的精度要高一些。2. 若用復(fù)合梯形公式求的近似值

4、，問要將積分區(qū)間分成多少份才能保證計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字？若用復(fù)合Simpson公式呢？解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以因此這表明沒有整數(shù)部分。為了保證計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，計(jì)算應(yīng)精確到小數(shù)后第4位，即余項(xiàng)，從而（1）使用復(fù)合梯形公式計(jì)算時(shí)有4位有效數(shù)字，應(yīng)有又因?yàn)?，所以，即，故將分?1份時(shí)可保證有四位有效數(shù)字。（2）使用復(fù)合Simpson公式計(jì)算時(shí)有4位有效數(shù)字，應(yīng)有在復(fù)合Simpson公式中，如果將步長(zhǎng)取為（這實(shí)際上是復(fù)合梯形公式的步長(zhǎng)），則，即，此時(shí)區(qū)間等分為和。但是，為了在子區(qū)間上利用Simpson公式，需要選取的中點(diǎn)，這時(shí)實(shí)際上又把每個(gè)子區(qū)間分成了兩等分。所以，最終需要把分成和，把分成

5、和，即需要將分成4份。如果將步長(zhǎng)直接取為兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離，則由復(fù)合Simpson公式包含個(gè)節(jié)點(diǎn)可得：，代入即得，故使用復(fù)合Simpson公式時(shí)，需要將分成4份。4. 用代數(shù)精度定義直接驗(yàn)證拋物線求積公式具有3次代數(shù)精度。解：令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊=右邊；令，則，故左邊右邊。綜上所述，拋物線求積公式具有3次代數(shù)精度。5. 寫出的Newton-Cotes公式，并求出其代數(shù)精度，利用此公式計(jì)算積分的近似值。解：當(dāng)時(shí)，節(jié)點(diǎn)為。Cotes系數(shù)為，故從而3階Newton-Cotes公式為當(dāng)時(shí)有，而當(dāng)時(shí)有，故3階Newton-Cotes公式具有3次代數(shù)精度。由可得7. 確定下列求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。（1）；解：令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。（2）；解：令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。（3）；解：令，則所以令，則。所以該求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）.解：令時(shí)，。令，則所以令，則；令，則。所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。9. 試用下列算法計(jì)算積分（1） 利用Romberg求積公式（計(jì)算到為止）；解：令，則；將區(qū)間分半，令，則所以令，則所以令，則所以因此（2） 利用三點(diǎn)及五點(diǎn)Gauss求積公式計(jì)算；解：先作變換，把積分區(qū)