對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

1、摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1前言11.對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)2對(duì)稱矩陣的定義2對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單證明32.對(duì)稱矩陣的對(duì)角化4對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的相關(guān)理論證明4對(duì)稱矩陣對(duì)角化的具體方法及應(yīng)用舉例53.對(duì)稱矩陣的正定性7正定矩陣的定義7對(duì)稱矩陣正定性的判別84.應(yīng)用舉例11總結(jié)12參考文獻(xiàn)12對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用摘要：本文主要描述對(duì)稱矩陣的定義，研究對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用.包括對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，對(duì)稱矩陣的正定性以及對(duì)稱矩陣在二次型，線性變換和歐式空間問(wèn)題中的應(yīng)用等.關(guān)鍵詞：對(duì)稱矩陣；對(duì)角化；正定性；應(yīng)用The Properties and Applicat

2、ions of Symmetry MatrixAbstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices andapplications in

3、quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application前言矩陣是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，如線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過(guò)程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過(guò)程，二次型的正定性與它的矩陣的正定性相對(duì)應(yīng)，甚至有些性質(zhì)完全不同的表面上完全沒(méi)有聯(lián)系的問(wèn)題，歸結(jié)成矩陣問(wèn)題后卻是相同的.這就使矩陣成為代數(shù)特別

4、是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象.作為矩陣的一種特殊類型，對(duì)稱矩陣有很多特殊性質(zhì)，是研究二次型，線性空間和線性變換問(wèn)題的有利工具，對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，正定性的判別等是高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn).本文就此淺談一下對(duì)稱矩陣的各種性質(zhì)和應(yīng)用.1.對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)在學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱矩陣中的特殊類型如：對(duì)角陣，實(shí)對(duì)稱矩陣以及反對(duì)稱矩陣經(jīng)常出現(xiàn)，以下首先介紹一些基本概念.對(duì)稱矩陣的定義定義1 設(shè)矩陣，記為矩陣的轉(zhuǎn)置.若矩陣滿足條件，則稱為對(duì)稱矩陣.由定義知：1.對(duì)稱矩陣一定是方陣.2.位于主對(duì)角線對(duì)稱位置上的元素必對(duì)應(yīng)相等.即，對(duì)任意、.定義2形式為的矩陣，其中是數(shù)，通常稱為對(duì)角矩陣.定義3若對(duì)稱矩陣的每一個(gè)元素

5、都是實(shí)數(shù)，則稱為實(shí)對(duì)稱矩陣.定義4 若矩陣滿足，則稱為反對(duì)稱矩陣.由定義知：1.反對(duì)稱矩陣一定是方陣.2.反對(duì)稱矩陣的元素滿足，當(dāng)時(shí)，對(duì)角線上的元素都為零.反對(duì)稱矩陣一定形如.下面就對(duì)稱矩陣的一些基本性質(zhì)展開討論.1.2 對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單證明性質(zhì)1同階對(duì)稱矩陣的和、差、數(shù)乘還是對(duì)稱矩陣.證設(shè)、是階對(duì)稱矩陣，即,.則：，.性質(zhì)2設(shè)為階方陣，則，是對(duì)稱矩陣.證因?yàn)?，則是對(duì)稱矩陣.因?yàn)椋瑒t是對(duì)稱矩陣，同理可證也是對(duì)稱矩陣.性質(zhì)3設(shè)為階對(duì)稱矩陣（反對(duì)稱矩陣），若可逆，則是對(duì)稱矩陣（反對(duì)陳矩陣）.證（1）因?yàn)榭赡妫允菍?duì)稱矩陣.（2）因?yàn)榭赡?，則是對(duì)稱矩陣.性質(zhì)4 任一矩陣都可表為一對(duì)稱矩陣與

6、一反對(duì)稱矩陣之和.證設(shè)為矩陣，由性質(zhì)2易證是對(duì)稱矩陣，則是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)5 設(shè)為對(duì)稱矩陣，與是同階矩陣，則是對(duì)稱矩陣.證因?yàn)?所以是對(duì)稱矩陣.性質(zhì)6 設(shè)、都是階對(duì)稱矩陣，證明：也對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)、可交換.證必要性：若為對(duì)稱矩陣，則，又，因此，、可交換.充分性：若，則，為對(duì)稱矩陣.2.對(duì)稱矩陣的對(duì)角化任意一個(gè)階矩陣可對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么對(duì)稱矩陣的對(duì)角化需要什么條件，怎樣進(jìn)行對(duì)角化，對(duì)稱矩陣的正定性又如何判別呢？下面的討論將給出答案.2.1 對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的相關(guān)理論證明定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證設(shè)是階實(shí)對(duì)稱陣，是的特征值，是屬于的特征向量，于是有.令，其中是的共

7、軛復(fù)數(shù)，則，考察等式，其左邊為，右邊為.故=，又因是非零量，故，即是一個(gè)實(shí)數(shù).注意，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組為實(shí)系數(shù)方程組，由知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.此定理的逆命題不成立.例如，均為實(shí)數(shù)，而不是對(duì)稱的.定理2 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩，定義線性變換,.(1)，則對(duì)任意向量，有或.證只證明后一等式即可. .定理3 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交.證設(shè)是的兩個(gè)不同的特征值，分別是屬于的特征向量：,.定義線性變換如定理2中的（1），于是，.由，有.因?yàn)?，所?即正交.定理4對(duì)任意一個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在一個(gè)級(jí)正交矩陣，使成為對(duì)角形且對(duì)角線

8、上的元素為的特征值.證設(shè)的互不相等的特征值為，它們的重?cái)?shù)依次為.則對(duì)應(yīng)特征值，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量，把它們正交化并單位化，即得個(gè)單位正交的特征向量，由知，這樣的特征向量共可得個(gè).由定理3知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃?，則，其對(duì)角矩陣中的對(duì)角元素含個(gè)，,個(gè)，恰是的個(gè)特征值.2.2 對(duì)稱矩陣對(duì)角化的具體方法及應(yīng)用舉例定理4說(shuō)明，對(duì)任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣總有正交矩陣存在，使它化為對(duì)角形.定理4的證明過(guò)程也給出了將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化找出正交陣的方法，具體步驟如下：1.求出實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值.2.對(duì)每個(gè)，由求出的特征向量.3.用施密特正交法，

9、將特征向量正交化，單位化，得到一組正交的單位向量組.4.以這組向量為列，作一個(gè)正交矩陣，它就是所要求的正交陣.根據(jù)上述討論，下面舉例說(shuō)明.例1求一正交矩陣，將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣.解由于，的特征值為，.對(duì)，由得基礎(chǔ)解系，對(duì)，由得基礎(chǔ)解系，與恰好正交，所以，兩兩正交.再將，單位化，令，得，于是得正交陣，則.例2設(shè)，求.解（1）先將對(duì)角化求出正交陣.，.由，分別得基礎(chǔ)解系，.則，則.（2）利用求.3.對(duì)稱矩陣的正定性二次型的矩陣都是對(duì)稱矩陣，二次型和它的系數(shù)矩陣是相互唯一決定的，因此二次型正定與它的對(duì)稱矩陣正定等價(jià).以下將具體討論對(duì)稱矩陣正定性的含義以及判別正定性的條件和方法.正定矩陣的定義定義1

10、實(shí)二次型稱為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有.定義2實(shí)對(duì)稱矩陣稱為正定的，如果二次型正定.由定義可知：1. 二次型是正定的，因?yàn)橹挥性跁r(shí)，才為零.一般地，不難驗(yàn)證，實(shí)二次型是正定的當(dāng)且僅當(dāng).非退化的線性替換保持正定性不變.2. 任意階實(shí)對(duì)稱矩陣正定就是指，對(duì)于任意維非零列向量，都有.3. 復(fù)正定矩陣的正定性與實(shí)對(duì)稱矩陣類似，只要放到復(fù)數(shù)域上考慮即可.4. 正定矩陣是對(duì)稱矩陣，具有對(duì)稱矩陣的所有性質(zhì)，此外，同階正定矩陣的和仍是正定矩陣.事實(shí)上，設(shè)、都是階正定矩陣，則對(duì)于任意非零列向量，有，那么，所以仍是正定矩陣.定理1 元實(shí)二次型是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.證設(shè)二次型經(jīng)過(guò)

11、非退化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形（1）.上面的討論表明，正定當(dāng)且僅當(dāng)（1）是正定的，而我們知道，二次型（1）是正定的當(dāng)且僅當(dāng)，即正慣性指數(shù)為.由定理1可以得到下列推論：1. 實(shí)對(duì)角陣正定的充要條件是.2. 實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充要條件是的秩與正慣性指數(shù)都等于.3. 實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充要條件是的特征值全為正.事實(shí)上，由第二部分對(duì)稱矩陣對(duì)角化的討論可知，可對(duì)角化為，是的特征值，正定即二次型正定，而的標(biāo)準(zhǔn)形為，非退化的線性替換保持正定性不變，所以有，的特征值全為正.定理2實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同.證由定理1可知，正定二次型的規(guī)范形為，而規(guī)范型的矩陣是單位矩陣，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的當(dāng)且僅

12、當(dāng)它與單位矩陣合同.由此得：與單位矩陣合同，所以有可逆矩陣使，兩邊取行列式，就有.2. 正定矩陣的逆仍是對(duì)稱矩陣，又與單位矩陣合同，則存在可逆矩陣使，兩邊取逆，令，則，所以也與單位矩陣合同.有時(shí)我們可以通過(guò)矩陣的行列式來(lái)判別對(duì)稱矩陣或相應(yīng)的二次型是否正定，為此，引入：定義3 子式稱為矩陣的順序主子式.定理3 實(shí)二次型或矩陣是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證必要性：設(shè)二次型是正定的.對(duì)于每個(gè)，令.我們來(lái)證是一個(gè)元的正定二次型.對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，有.因此是正定的.由上面的推論，的矩陣的行列式，.這就證明了矩陣的順序主子式全大于零.充分性：對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，由條件顯然有

13、是正定的.假設(shè)充分性的論斷對(duì)于元二次型已經(jīng)成立，現(xiàn)在來(lái)證元的情形.令，于是矩陣可以分塊寫成.既然的順序主子式全大于零，當(dāng)然的順序主子式也全大于零.由歸納法假定，是正定矩陣，換句話說(shuō)，有可逆的級(jí)矩陣使，這里代表，于是.再令，有.令，就有.兩邊取行列式，.由條件，因此.顯然.這就是說(shuō)，矩陣與單位矩陣合同，因之，是正定矩陣，或者說(shuō)，二次型是正定的.根據(jù)歸納法原理，充分性得證.應(yīng)用定理3完成下題.例3 若二次型正定，則的取值范圍是什么？解 設(shè)對(duì)應(yīng)的矩陣為，則，它的三個(gè)順序主子式為，.所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為正定二次型.4.應(yīng)用舉例例4 設(shè)均為實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在正交矩陣使的充要條件是的特征多項(xiàng)式的根全部相

14、同.證 必要性：由條件可知相似，相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，得證.充分性：設(shè)的特征多項(xiàng)式的根全部相同，記它們?yōu)?，則存正交陣使，那么，所以，取為正交陣，則有.例5 歐式空間中的線性變換稱為反對(duì)稱變換，若.證明：反對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是反對(duì)稱矩陣.證充分性：設(shè)是線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣，且反對(duì)稱，即，任給，記，則有，那么，所以為反對(duì)稱變換.必要性：設(shè)是反對(duì)稱變換，且，其中矩陣，為的標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么，.因此，所以.即知為反對(duì)稱矩陣.例6 設(shè)階正定陣，階實(shí)對(duì)稱陣.證明：的特征值為實(shí)數(shù).證設(shè)，其中，由于正定，則存在且正定，則，那么.因此，則.又也正定，且，則，則，即為實(shí)數(shù).總結(jié)本文從基礎(chǔ)理論和實(shí)際應(yīng)用方面討論了對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，給出對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的理論證明以及對(duì)角化的方法，并闡述了對(duì)稱矩陣正定性的判別等.其中對(duì)稱矩陣的對(duì)角化和正定陣的綜合應(yīng)用是重難點(diǎn)，對(duì)此我們要仔細(xì)琢磨和思考，努力掌握好對(duì)稱矩陣的相關(guān)問(wèn)題.參考文獻(xiàn)：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)M. 北京: 高等教育出版社,2003.2 戴立輝.線性代數(shù)M. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社,2007.3M. 北京: 高等教育出版社,2007.4 居余馬,林翠琴.線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程M. 北京: 清華大學(xué)出版社,2004.5 丘維聲,