圓錐曲線中的四心（精編版）

1、圓錐曲線中的“四心”云南省會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué)楊順武摘要： 通過對(duì)三角形四心與圓錐曲線的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力。同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生的說思路、練本領(lǐng)、強(qiáng) 素質(zhì)的作用關(guān)鍵詞：思維流程內(nèi)心 外心 重心 垂心 解題能力正文： 圓錐曲線是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從近幾年的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力， 既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征，又體現(xiàn)傳統(tǒng)內(nèi)容的橫向聯(lián)系和新增內(nèi)容的縱向交匯，而三角形在圓錐曲線中更是如魚得水，面積、弦長、最值 等成為研究的常規(guī)問題。 “四心”走進(jìn)圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。因此， 在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提

2、高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，從而戰(zhàn)勝高考B(2,0) 、 C1, 3三點(diǎn)2（）求橢圓 E 的方程：（）若點(diǎn) D 為橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點(diǎn)， F (1,0), H (1,0) ，當(dāng)DFH 內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求DFH 內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：（）由橢圓經(jīng)過A、B、C 三點(diǎn)設(shè)方程為mx2ny21得 到 m, n 的 方 程解出 m, n（）由DFH 內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為DFH 面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D 為橢圓短軸端點(diǎn)DFH 面積最大值為3S DFH12周長r內(nèi)切圓r內(nèi)切圓33例 1、已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(2,0

3、) 、得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)為0,33解題過程：（）設(shè)橢圓方程為mx 2ny 21 m0, n0將 A(2,0)4m、 B (2,0)1,3、C (1,) 代入橢圓 E的方程，得29解得 m1 , n1 .mn143422橢圓 E 的方程 xy143（） | FH |2 ，設(shè) DFH 邊上的高為S DFH12hh 2當(dāng)點(diǎn) D 在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h 最大為3 ，所以S DFH的最大值為3 設(shè) DFH 的內(nèi)切圓的半徑為R ， 因?yàn)?DFH的周長為定值6 所以，S DFH1 R62所以 R的最大值為33所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0,3)3.點(diǎn)石成金：S 的內(nèi)切圓1的周長r 2的內(nèi)切圓例 2、橢圓長軸端點(diǎn)為A

4、, B， O 為橢圓中心，F(xiàn) 為橢圓的右焦點(diǎn)，且AFFB1 ， OF1 （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為M ，直線 l 交橢圓于 P,Q 兩點(diǎn)，問：是否存在直線 l ，使點(diǎn) F 恰為PQM 的垂心若存在，求出直線l 的方程; 若不存在，請(qǐng)說明理由。思維流程：（）由 AF? FB1 ， OF1(ac)(ac)1 ， c1a2,b1寫出橢圓方程（）由 F 為PQM 的重心PQMF , MPFQk PQ1yxm3x24mx2m 220x 22 y 22消元兩根之和，MP? FQ0得出關(guān)于解出 m解題過程：（）如圖建系，設(shè)橢圓方程為x2y2a2b21(ab0) , 則c1又 AFFB1 即

5、( ac)(ac)1a2c2 a22故橢圓方程為x22y12（）假設(shè)存在直線l 交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn)，且 F 恰為PQM 的垂心，則設(shè) P( x1, y1), Q( x2 , y2) ，M (0,1), F (1,0) ，故k PQ1 ，yxm于是設(shè)直線 l 為yxm，由2x2 y22 得3x24mx2m220 MPFQ0x1 ( x21)y2 ( y11) 又 yixim(i1,2)得 x1( x21)( x2m)( x1m1)0即2x x( xx)(m1)m2m0由韋達(dá)定理得1 2122m224m22(m331)mm0解得 m4 或m1（舍）經(jīng)檢驗(yàn) m34符合條件3點(diǎn)石成金： 垂心的特

6、點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零xy22例 3、在橢圓 C：1中，F(xiàn)1、F 2 分別為橢圓C 的左右兩個(gè)焦點(diǎn)， P43為橢圓 C上的且在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PF1 F2 的重心為 G，內(nèi)心為 I （）求證： IGF1F2 ；（）已知 A 為橢圓 C上的左頂點(diǎn)，直線 l 過右焦點(diǎn)F2 與橢圓 C 交于 M , N兩點(diǎn)，若 AM , AN的斜率k1 , k2滿足 k1k21 ，求直線 l 的方程2思維流程：（）由已知得F1 (1,0)， F2(1,0)設(shè) P(x0 , y0 )x0重心 G(,y0 )331S PF 1F21F1 F2y 0y02S PF1F 2( PF12PF

7、 2F1F 2)r內(nèi)切圓S PF1 F23r內(nèi)切圓y0ry 0內(nèi)3I 的縱坐標(biāo)為y 03IG F1F2IGF1 F212（）由 kk1 ，可知 l 的斜率一定存在且不為0，設(shè)為 kl 的方程為y2k( x1)yk (x1)x2y2消去 y得 (314 k2 )x 28k 2 x4k 212043x1x 28k 2234k 2利用1x1 x24k1234k 2k 1k 22得 k 的方程解出 k解題過程：（）設(shè)P(x0 ,y0 ) ，重心G( x, y) ，由已知可知F1 (1,0 ) ， F2 (1,0)則 xx0(1)12031 ， yy00003G( x0 ,3y0 )3由S PF1F21

8、 F Fyy 2又 S PF1F21 ( PF12PF2F1 F2)r內(nèi)切圓S PF1F 23r內(nèi)切圓y0內(nèi)心 I 的縱坐標(biāo)為 y03IG F1 F2即 IGF1 F2 （）若直線 l 斜率不存在，顯然k1k20 不合題意；則直線 l 的斜率存在設(shè)直線 l 為 yk ( x1) ，直線 l 和橢交于M ( x1 , y1) ，N (x2 , y2 ) 。將 yk( x1) 代入3 x 24 y212中得到 :(34k 2 ) x28k 2 x4k 2120依題意：9 k290得k1或k1由韋達(dá)定理可知：x1x234 k 28k 24k 212又 k AMk ANx1 x13y1y24 k 2x

9、11k(x21 )x12x22x12x2211k23()x12x22而1x121x22x1 x2x1x22( x14x2 )44k 28k 2124(316k24k 2 )4(34k 2 )2k 213k 2從而 k AM求得 kk AN2 符合 kk (21.2k 211132)3kk2故所求直線 MN的方程為： y2( x1).點(diǎn)石成金： 重心的特點(diǎn)為坐標(biāo)x1x2 3x3 , y1y2 3y32例 4、已知雙曲線 C 以橢圓 x2y1 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的左右頂點(diǎn)為43焦點(diǎn)（）求雙曲線C的方程；（） 若 F1 , F 2 為雙曲線 C的左右焦點(diǎn)， P 為雙曲線 C上任意一點(diǎn)， M 為PF

10、1 F2的外心，且F1PF 260, 求點(diǎn) M 的坐標(biāo)思維流程：（）由已知易得雙曲線中a1,c2,b3寫出雙曲線的方程（）M 是PF1 F2 的外心M 在 y 軸上，且F1 MF 22F1 PF2F1MF 2120 0 ,MF1F 2300在 RtMF1O 中，F(xiàn)1O2,MF1 O300MO233M (0,23 )3解題過程：（）由已知可知，雙曲線的a1,b3, c2 ，則雙曲線的方程為x 2y123（）因?yàn)?M 為外心，所以MF1MF2 ，則點(diǎn) M 在線段 F1 F2 的垂直平分線上即在y 軸上又同弧上的圓心角是圓周角的2 倍，F(xiàn)1MF 22F1 PF2則F1 MF20120,0MF1 F2

11、30在 RtMF1O 中，F(xiàn)1O2,MF1O300則 MO233即M (0,23 ) 3點(diǎn)石成金： 外心的特點(diǎn)為到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等或說是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2能力提升： 1、橢圓： xa 2y1( a2b 2b0) 求橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡方程解：如圖（ 1），設(shè)點(diǎn) Px0 , y0，內(nèi)心 I 為 (x , y) ，焦點(diǎn)F1 (c ,0) 、 F 2 (c,0) ， PF1r1 ， PF2r 2 ，則 r1r22ex0 過內(nèi)心 I 作 ID、IE、IF 垂直 F1F2、F1P、PF2 于點(diǎn) D、E、F 點(diǎn) I是F1F2 P 的內(nèi)心，點(diǎn)D、E、F是內(nèi)切圓的切點(diǎn)，圖（ 1） 由切線長定理，

12、得方程組：PE PF F1 DF1 E F2 F F 2 Dr1r2，2c結(jié)合 r1r22ex0 ，解得：F1 Dcex0 而 F1 Dcx ，xex0，既 x0x e又 F1 F2P 面積 Sc y0 ， S1 ( F F1022PF1PFF ) y(ac) y ， c y0(ac)y ，既y= ac cy x2y2x 2y 2將代入001(ab0 ) ，得1a 2b2c2b2 c2(ac) 22可知，橢圓 xa 22y1(a b2b0) 焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡是一個(gè)橢圓，它的離心率是2e1e22、橢圓： xa 2y1(a2b 2b0) 求橢圓的焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡方程；解：如圖（ 2），設(shè)點(diǎn)

13、 P(x0 , y0 ) ，垂心 H 為( x, y) ，焦 點(diǎn)F1 (c ,0) 、 F 2 (c,0)， 則F1H( xc, y)，PF2(cx0 ,y0 ) F1 H PF2 ， ( xc, y)(cx0 ,y0 )=0圖（ 2）2又 xx0 ，c2xyy00 . x2y2而001(ab0) ，a2b 222y02b0a 2(a 2x2 )b( a2 a2x2 ). 將式代入式，整理得：ya(cx ) 2222bax由方程可以看出， 橢圓焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡不是兩條拋物線，它與哪些初等函數(shù)圖象有關(guān)請(qǐng)大家思考3、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)F0,1，且與定直線y1 相切（）求動(dòng)圓圓心P 的軌跡 W 的方

14、程；（）設(shè)過點(diǎn) F 的直線 l 與軌跡 W 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，若在直線y1 存在點(diǎn) C ，使ABC為正三角形，求直線l 方程.（）當(dāng)直線 l 得斜率大于零時(shí)，求ABC 外心的坐標(biāo)2解：（）設(shè)動(dòng)圓圓心為P( x, y) ，根據(jù)題意，得x2( y1) 2y1化簡得 x4 y故動(dòng)圓圓心 P 的軌跡 W 的方程為 x24 y .（）設(shè)直線 l 的方程為 ykx1 ，A(x1,y1 ), B( x2 , y2 )，弦 AB 中點(diǎn)為M (x0 ,y0 )（）當(dāng) ky10 時(shí)，由2x4 y得 A(2,1), B(2,1)此時(shí) AB4 ，有圖形的對(duì)稱性可知，y1 上的點(diǎn) C 只可能是(0,1)而 AC

15、(02) 2(11)222故 ABAC ，不合題意 .（）當(dāng) ky0 時(shí)，由kx1得 x 24 kx40x 24 y2x1x24k , x1 x24, y1y2k( x1x2 )24k 22則 x0x1x222 k, y0y1y222k 21即 M (2k,2k1)若在直線 y1 上存在點(diǎn) C ，使ABC 為正三角形則設(shè)直線MC : y1 ( x k2 k)( 2k 21) ，與 y1 聯(lián)立，解得 x4k2 k3 ，即 C(4k2k 3 ,1)由 CM3 AB ， 得2(2k2k 3 ) 2(2k 22) 23 ( y12y22)即(2 k322 k)22(2 k2)322(4 k4)4化簡得k 2 (k 21)22(k 21) 2即k 22, k2故直線 l 的方程為 y2x1（）由 ( ）知， k2 ，直線 l 的方程為 y2 x1，點(diǎn) C(82 ,