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文檔簡介
1、一、導數的概念和幾何意義 1. 函數的平均變化率:函數在區(qū)間上的平均變化率為:。 2. 導數的定義:設函數在區(qū)間上有定義,若無限趨近于0時,比值無限趨近于一個常數A,則稱函數在處可導,并稱該常數A為函數在處的導數,記作。函數在處的導數的實質是在該點的瞬時變化率。 3. 求函數導數的基本步驟:(1)求函數的增量;(2)求平均變化率:;(3)取極限,當無限趨近與0時,無限趨近與一個常數A,則. 4. 導數的幾何意義: 函數在處的導數就是曲線在點處的切線的斜率。由此,可以利用導數求曲線的切線方程,具體求法分兩步: (1)求出在x0處的導數,即為曲線在點處的切線的斜率; (2)在已知切點坐標和切線斜率
2、的條件下,求得切線方程為。 當點不在上時,求經過點P的的切線方程,可設切點坐標,由切點坐標得到切線方程,再將P點的坐標代入確定切點。特別地,如果曲線在點處的切線平行與y軸,這時導數不存在,根據切線定義,可得切線方程為。 5. 導數的物理意義:質點做直線運動的位移S是時間t的函數,則表示瞬時速度,表示瞬時加速度。二、導數的運算1. 常見函數的導數:(1)(k, b為常數);(2)(C為常數);(3);(4);(5);(6);(7);(8)(為常數);(9);(10);(11);(12);(13);(14)。 2. 函數的和、差、積、商的導數: (1);(2)(C為常數); (3); (4)。 3
3、. 簡單復合函數的導數: 若,則,即。三、導數的應用 1. 求函數的單調性: 利用導數求函數單調性的基本方法:設函數在區(qū)間內可導, (1)如果恒,則函數在區(qū)間上為增函數; (2)如果恒,則函數在區(qū)間上為減函數; (3)如果恒,則函數在區(qū)間上為常數函數。利用導數求函數單調性的基本步驟:求函數的定義域;求導數;解不等式,解集在定義域內的不間斷區(qū)間為增區(qū)間;解不等式,解集在定義域內的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來, 也可以利用導數由函數的單調性解決相關問題(如確定參數的取值范圍):設函數在區(qū)間內可導,(1)如果函數在區(qū)間上為增函數,則(其中使的值不構成區(qū)間);(2) 如果函數在區(qū)間上為減函數,則(其中使
4、的值不構成區(qū)間);(3) 如果函數在區(qū)間上為常數函數,則恒成立。 2. 求函數的極值: 設函數在及其附近有定義,如果對附近的所有的點都有(或),則稱是函數的極小值(或極大值)??蓪Ш瘮档臉O值,可通過研究函數的單調性求得,基本步驟是:(1)確定函數的定義域;(2)求導數;(3)求方程的全部實根,順次將定義域分成若干個小區(qū)間,并列表:x變化時,和值的變化情況:x正負0正負0正負單調性單調性單調性 (4)檢查的符號并由表格判斷極值。 3. 求函數的最大值與最小值: 如果函數在定義域I內存在,使得對任意的,總有,則稱為函數在定義域上的最大值。函數在定義域內的極值不一定唯一,但在定義域內的最值是唯一的。求函數在區(qū)間上的最大值和最小值的步驟: (1)求在區(qū)間上的極值; (2)將第一步中求得的極值與比較,得到在區(qū)間上的最大值與最小值。 4. 解決不等式的有關問題:(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。的值域是時,不等式恒成立的充要條件是,即;不等式恒成立的充要條件是,即。的值域是時,不等式恒成立的充要條件是;不等式恒成立的充要條件是。 (2)證明不等式可轉化為證明,或利用函數的單調性,轉化為證明。 5. 導數在實際生活中的應用: 實際生
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