曾謹(jǐn)言量子力學(xué)第2章

1、第二章第二章 一維勢場中的粒子一維勢場中的粒子),()(2),(i222txxVxmtxtContents2.1 一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)2.2 方勢方勢 2.2.1 無限深方勢阱無限深方勢阱 2.2.2 有限深對稱方勢阱有限深對稱方勢阱 2.2.3 束縛態(tài)與離散譜束縛態(tài)與離散譜 2.2.4 方勢壘的反射與透射方勢壘的反射與透射 2.2.5 方勢阱的反射、透射與共振方勢阱的反射、透射與共振2.3 勢勢2.4一維諧振子一維諧振子 2.1 2.1 一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)) 1 ( ),()(2),(i222t

2、xxVxmtxt)2( )(),(/iEtextx)3( )()()(dd2222xExxVxm)4( )()(xVxV設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的粒子沿的粒子沿x軸運動，勢能是軸運動，勢能是V(x)，則薛定諤方程是，則薛定諤方程是定態(tài)波函數(shù)的形式為定態(tài)波函數(shù)的形式為(2)代代(1)可得可得 粒子能量的本征方程粒子能量的本征方程若不作特別說明，有若不作特別說明，有定理定理1 1 設(shè)設(shè)(x)是方程是方程（3）的解，對應(yīng)的能量本征值為的解，對應(yīng)的能量本征值為E，則，則 *(x)也是方程也是方程(3)的解，對應(yīng)的本征能量也是的解，對應(yīng)的本征能量也是E。證明：證明： 薛定諤方程為薛定諤方程為)()()(dd2

3、222xExxVxm兩邊取復(fù)共軛，并注意到兩邊取復(fù)共軛，并注意到)()(xVxV)()()(dd2222xExxVxm即即)(x也是方程也是方程 (3)的解，對應(yīng)的本征值也是的解，對應(yīng)的本征值也是E推論：推論： 假設(shè)對應(yīng)于能量的某個本征值假設(shè)對應(yīng)于能量的某個本征值E，方程，方程(3)的解無簡并，的解無簡并， 則可取為實解。則可取為實解。得得證明證明：若：若是對應(yīng)能量是對應(yīng)能量E的一個解，則的一個解，則也是對應(yīng)能量也是對應(yīng)能量E的解。因能級的解。因能級無簡并無簡并，則有，則有)(x)(x)()(xCx兩邊再取復(fù)共軛得兩邊再取復(fù)共軛得)()()(2xCxCx則則 12CieC 取取0則則)()(x

4、x定理定理 2 對應(yīng)于能量的某個本征值對應(yīng)于能量的某個本征值E, 總可以找到方程總可以找到方程(3) 的一組實解，凡是屬于的一組實解，凡是屬于E的任何解，均可表示為的任何解，均可表示為 這組實解得線性疊加。這組實解得線性疊加。)()( i)( ),()()(xxxxxx)i(21)( ),i(21)(xx證明：證明：設(shè)設(shè)是方程是方程(3)的對應(yīng)于某一能量的對應(yīng)于某一能量E的一個解。的一個解。 如果如果是實解是實解，則將其歸入實解集合，則將其歸入實解集合。如果如果是復(fù)解是復(fù)解，則，則* *也是方程也是方程(3)(3)的解，對應(yīng)的本征值也是的解，對應(yīng)的本征值也是E。則它們的線性組合則它們的線性組合

5、也是方程也是方程(3)的解，對應(yīng)的本征值也是的解，對應(yīng)的本征值也是E。則則-證畢證畢定理定理 3 設(shè)設(shè)V(x) 具有空間反射不變性，即具有空間反射不變性，即)()(xVxV如如(x)是方程是方程(3)的對應(yīng)于能量本征值的對應(yīng)于能量本征值E的解，的解，則則(-x)也是方程也是方程(3)的對應(yīng)于能量的對應(yīng)于能量E的解。的解。證明證明：當(dāng)當(dāng)x-x時時，222222dd)(ddddxxx由于由于V(x)=V(-x)，則薛定諤方程可化為，則薛定諤方程可化為)()()()(dd2222xExxVxxm-證畢證畢空間反射算符空間反射算符P：)()(rrP)()()(xCxxP)()()()( 22xxCxC

6、PxP在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下：r- -rzzyyxx在球坐標(biāo)下在球坐標(biāo)下：r- -rrr推論：推論： 若勢函數(shù)具有空間反射不變性，如果對應(yīng)于某能量若勢函數(shù)具有空間反射不變性，如果對應(yīng)于某能量E，方程，方程 (3)的解無簡并，則解必有確定的宇稱。的解無簡并，則解必有確定的宇稱。證明：證明：由定理由定理(3)，(x)與與(-x)是同一解，即是同一解，即1 , 1 2CC)()()(xxxP)()()(xxxP或或偶宇稱解偶宇稱解奇宇稱解奇宇稱解注意：注意：對于能級有簡并的情況，能量本征態(tài)并不一定具有確定對于能級有簡并的情況，能量本征態(tài)并不一定具有確定 的宇稱。的宇稱。定理定理4 設(shè)設(shè)(x)是方程

7、是方程(3)的一個解，則對應(yīng)于任何一個能量本征的一個解，則對應(yīng)于任何一個能量本征值值E，總可以找到方程，總可以找到方程(3)的一組解（每個解都有確定的宇稱），的一組解（每個解都有確定的宇稱），而屬于能量本征值而屬于能量本征值E的任何解都可以用它們展開的任何解都可以用它們展開證明：證明：設(shè)設(shè)(x)是方程是方程(3)的一個解，如無確定的宇稱，則的一個解，如無確定的宇稱，則(-x)也是也是 方程方程(3)的一個解，兩者對應(yīng)同一本征值的一個解，兩者對應(yīng)同一本征值 )()()( ),()()(xxxgxxxf)()(21)( ),()(21)(xgxfxxgxfx構(gòu)造構(gòu)造顯然，顯然，f(x), g(x)

8、均為方程均為方程(3)的解，對應(yīng)的能量也為的解，對應(yīng)的能量也為E，且有，且有確定的宇稱。確定的宇稱。則則-證畢證畢定理定理 5 對階梯形方位勢對階梯形方位勢axVaxVxV , ,)(21V2-V1有限，則能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的有限，則能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的證明證明：按方程按方程(3)()(2)(dd222xxVEmxx)()(d2)0()0(lim02xxVExmaaaa)0()0(aa在在V(x)發(fā)生階躍處，在發(fā)生階躍處，在xa的鄰域，對上述方程兩邊作積分的鄰域，對上述方程兩邊作積分aaxdlim0得得所以所以即波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在躍變點是連續(xù)的，波函數(shù)也是連續(xù)的即波函數(shù)的導(dǎo)

9、數(shù)在躍變點是連續(xù)的，波函數(shù)也是連續(xù)的在在V(x)V(x)連續(xù)的區(qū)域，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。連續(xù)的區(qū)域，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。定理定理 6 ，對于一維粒子，設(shè)對于一維粒子，設(shè)1(x)和和2(x)均為方程均為方程(3)的屬于同一的屬于同一 能量能量E的解，則的解，則)13( 1221C證明：證明：按照假設(shè)有按照假設(shè)有 )15( 0)(2)14( 0)(2222121 xVEmxVEm01221 0)(1221C1221)14()15(21即即積分得積分得-證畢證畢束縛態(tài)：束縛態(tài)：粒子局限在有限空間中，在無窮遠處找到粒子的概率粒子局限在有限空間中，在無窮遠處找到粒子的概率 為零。即為零。即0)(

10、 ,xx因此對于同屬于能量因此對于同屬于能量E的任何兩個束縛態(tài)的波函數(shù)的任何兩個束縛態(tài)的波函數(shù)1和和2有有1221(16)定理定理 7 設(shè)粒子在規(guī)則勢場設(shè)粒子在規(guī)則勢場V(x)（(V(x)中無奇點中無奇點)中運動，若存在中運動，若存在 束縛態(tài)，則必定是非簡并的束縛態(tài)，則必定是非簡并的 證明證明： 設(shè)設(shè)1和和2是方程是方程(3)的屬于能量的屬于能量E的兩個束縛態(tài)解，則有的兩個束縛態(tài)解，則有1221在不含波函數(shù)節(jié)點在不含波函數(shù)節(jié)點(波函數(shù)不為零波函數(shù)不為零)的區(qū)域，有的區(qū)域，有2211/即即0)/(ln21)()( 21xCx練習(xí)題練習(xí)題1. 對于定態(tài)薛定諤方程對于定態(tài)薛定諤方程0)()(2)(2

11、22xxVEmdxxd是否存在束縛態(tài)取決于在無窮遠處是否存在束縛態(tài)取決于在無窮遠處(x)(x)是否趨近于零。設(shè)是否趨近于零。設(shè)VVVxVx且,)(lim確定在一下情況下能量為確定在一下情況下能量為E的波函數(shù)的波函數(shù)(x)(x)是否為束縛態(tài)是否為束縛態(tài)EVVEVVE )3( ; )2( ; ) 1 (2. 證明一維問題的束縛態(tài)的能級總是非簡并的。證明一維問題的束縛態(tài)的能級總是非簡并的。3. 證明在一維定態(tài)問題中，當(dāng)勢能證明在一維定態(tài)問題中，當(dāng)勢能V(x)存在有限間斷點時，存在有限間斷點時， 波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)仍然是連續(xù)的。波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)仍然是連續(xù)的。2.2 2.2 方勢方勢2.2.1 無限深方勢

12、阱，無限深方勢阱， 離散譜離散譜勢函數(shù)勢函數(shù)0 aV(x)IIIIIIaxxaxxV, 0 ,0 , 0)(求解求解 SchrSchrdingerdinger方程方程 分四步分四步： （1 1）列出各勢域的一維列出各勢域的一維S S方程方程 （2 2）解方程解方程 （3 3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4 4）確定歸一化系數(shù)確定歸一化系數(shù)在阱內(nèi)在阱內(nèi)(0 xa), 薛定諤方程為薛定諤方程為02dd222mEx)3( /2mEk )sin()(kxAx, 3 , 2 , 1 ,22222nmanEEn令令則方程的解為則方程的解為邊界條件：邊界條件：0)()0(a由由0)0(0

13、由由0)(a0sinka)6(, 3 , 2 , 1 ,nnka得得由(3)，(6)得即一維無限深勢阱中粒子的能量是量子化的，能譜是離散的即一維無限深勢阱中粒子的能量是量子化的，能譜是離散的)0( ),/sin()(axaxnAxn1d)(02anxx波函數(shù)為波函數(shù)為歸一化歸一化則歸一化的波函數(shù)為則歸一化的波函數(shù)為axxaxaxnan, 0 , 00 ,sin2練習(xí)練習(xí)：若勢函數(shù)為：若勢函數(shù)為2/ ,2/ , 0)(axaxxV求粒子的能量和本征函數(shù)。求粒子的能量和本征函數(shù)。討論討論(1) 粒子的最低能量不為零粒子的最低能量不為零22212maE利用不確定性關(guān)系也可求解：利用不確定性關(guān)系也可求

14、解：ax xaxp/02/2/)(2/2222mampmpE則則(2)波函數(shù)的節(jié)點：波函數(shù)的節(jié)點：除端點外，基態(tài)除端點外，基態(tài)( (能量最低的態(tài)，能量最低的態(tài)，n=1)n=1)無節(jié)無節(jié) 點，點， 第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài)(n=2)(n=2)有一個節(jié)點有一個節(jié)點, , 第第n n個激發(fā)態(tài)有個激發(fā)態(tài)有n-1n-1個節(jié)點。個節(jié)點。稱為零點能稱為零點能相鄰能級的寬度與勢阱的寬度有關(guān)，勢阱的寬度越小能級量子化相鄰能級的寬度與勢阱的寬度有關(guān)，勢阱的寬度越小能級量子化越明顯。越明顯。各能級波函數(shù)的節(jié)點數(shù)位各能級波函數(shù)的節(jié)點數(shù)位n-1(3) 波函數(shù)在整個空間中連續(xù)，但其微商在波函數(shù)在整個空間中連續(xù)，但其微商在x=

15、0和和x=a點不連續(xù)點不連續(xù)(4)基態(tài)動量波函數(shù)問題基態(tài)動量波函數(shù)問題 xxeppxi11d21Landau 做法做法 papapap,22cos222221Pauli求解求解 apapp22122121誰對？誰錯？誰對？誰錯？表明阱中的動量譜是兩個在全實軸上反向運動的單色表明阱中的動量譜是兩個在全實軸上反向運動的單色de Brogliede Broglie波波疊加而成的駐波。疊加而成的駐波。 )13( 2,2, 00axVaxxV2.2.2 有限深對稱方勢阱問題有限深對稱方勢阱問題x-a/2a/2V=00V0V0僅討論束縛態(tài)僅討論束縛態(tài)(0EV0)，從經(jīng)典力學(xué)看，粒子將被限制在阱內(nèi)運動從經(jīng)典

16、力學(xué)看，粒子將被限制在阱內(nèi)運動，阱外是經(jīng)典禁區(qū)，阱內(nèi)是經(jīng)典允許區(qū)，但從量子力學(xué)則不然。阱外是經(jīng)典禁區(qū)，阱內(nèi)是經(jīng)典允許區(qū)，但從量子力學(xué)則不然。在經(jīng)典禁區(qū)在經(jīng)典禁區(qū)，能量本征方程為，能量本征方程為)14( 0)(2dd0222EVmx令令)15( /)(20EVm則方程則方程(14)的解具有下列形式：的解具有下列形式：xe在經(jīng)典允許區(qū)在經(jīng)典允許區(qū)，能量本征方程為，能量本征方程為考慮到束縛態(tài)的邊界條件：考慮到束縛態(tài)的邊界條件：0,x波函數(shù)應(yīng)取如下的形式波函數(shù)應(yīng)取如下的形式)16( 2/ ,2/ ,)(axBeaxAexxx)17( 02dd222mEx令令)18( /2mEk 方程方程(17)(17

17、)的解具有如下形式：的解具有如下形式：kxkxekxcos,sin ,or ,i考慮到勢阱具有空間反射不變性，按照定理考慮到勢阱具有空間反射不變性，按照定理4 4，束縛態(tài)能量必有，束縛態(tài)能量必有確定的宇稱，因此只能取確定的宇稱，因此只能取sinsinkxkx, cos, coskx kx 的形式。的形式。(a) 偶宇稱態(tài)偶宇稱態(tài))19( , 2/ ,cos)(axkxx由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界上的連續(xù)性，可得到由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界上的連續(xù)性，可得到2/2/)(ln)cos(lnaxxaxekx由此得到由此得到)20( )2/tan(kak令令)21( 2/ , 2/aka則式則式(20)可化為

18、可化為)22( tan由由(15), (18), (21)得到得到)23( 2/22022amV/23/2O12= =tan(22),(23) 組成的超越方程組可用圖解法求解組成的超越方程組可用圖解法求解.(b) 奇宇稱態(tài)奇宇稱態(tài))24( , 2/ ,sin)(axkxx與偶宇稱的情況類似，利用波函數(shù)的邊界條件可得到與偶宇稱的情況類似，利用波函數(shù)的邊界條件可得到)25( )2/cot(kak或?qū)懗苫驅(qū)懗?26( cot解解(22)(22)，(26)(26)組成的方程組，可確定能量本征值。組成的方程組，可確定能量本征值。/23/2O12=-=-cot由上面兩圖可見：由上面兩圖可見： 在對稱方勢阱

19、下，無論在對稱方勢阱下，無論V V0 0a a2 2的值多小，方程的值多小，方程組組(22)(22)與與(23)(23)至少有一個根，即，至少存在一個束縛態(tài)至少有一個根，即，至少存在一個束縛態(tài)( (基態(tài)基態(tài)) )，其宇稱為偶；當(dāng)其宇稱為偶；當(dāng)V V0 0a a2 2增大時，將出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)、第二激增大時，將出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)、發(fā)態(tài)、奇宇稱態(tài)與此不同，只當(dāng)奇宇稱態(tài)與此不同，只當(dāng)/42/222022amV)27( /2m2220aV即即才能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級。才能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級。2.2.3 2.2.3 束縛態(tài)與離散譜束縛態(tài)與離散譜)()(2)(2xxVEmx 束縛態(tài)束縛

20、態(tài)是指粒子被束縛在有限區(qū)域內(nèi)，在無窮遠處粒子出現(xiàn)的是指粒子被束縛在有限區(qū)域內(nèi)，在無窮遠處粒子出現(xiàn)的概率為零，即，概率為零，即，0)( ,xx能量是離散的，下面定性討論束縛態(tài)粒子能量的離散性能量是離散的，下面定性討論束縛態(tài)粒子能量的離散性能量本征方程能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)在經(jīng)典允許區(qū)，V(x) E, 波函數(shù)是波函數(shù)是x的指數(shù)上升或下降函數(shù)。由于的指數(shù)上升或下降函數(shù)。由于與與同號，同號， 總是背離總是背離x軸彎曲，見圖軸彎曲，見圖(b)曲線向下彎曲線向上彎)( , 0)( , 0)()( , 0)( , 0)(xxxxxx 0 x)(x(a)0 x)(x(b)定性討論粒子的能量：定性討論粒子的能

21、量：x-a/2a/2V=00V0V0(1) 基態(tài)：基態(tài)： 在在x-a/2區(qū)域（經(jīng)典禁區(qū)），區(qū)域（經(jīng)典禁區(qū)），由于由于E00，曲線開始下彎，一直延續(xù)到曲線開始下彎，一直延續(xù)到x=a/2, , 在在x a/2/2區(qū)（經(jīng)典禁區(qū)），由于區(qū)（經(jīng)典禁區(qū)），由于E |a a/2/2的區(qū)域，的區(qū)域， ( (x x) )的曲率將減小，的曲率將減小，但在但在| |x x|a a/2/2的區(qū)域，的區(qū)域， (x)(x)曲線的震蕩將加快，因此有可能當(dāng)曲線的震蕩將加快，因此有可能當(dāng)E E 取某個適當(dāng)值時，取某個適當(dāng)值時， (x)(x)在在| |x x|a a/2/2的區(qū)域經(jīng)歷了一次震蕩，的區(qū)域經(jīng)歷了一次震蕩，出現(xiàn)一個節(jié)點

22、，并且能夠在出現(xiàn)一個節(jié)點，并且能夠在x x=-=-a a/2 /2 與波函數(shù)與波函數(shù)e ex x，在，在x x= =a a/2/2與與波函數(shù)波函數(shù)e-e-x x光滑地銜接，此時出現(xiàn)第二個束縛能量本征態(tài)光滑地銜接，此時出現(xiàn)第二個束縛能量本征態(tài)（奇宇稱態(tài)），它有一個節(jié)點，此即第一激發(fā)態(tài)，相應(yīng)的能量（奇宇稱態(tài)），它有一個節(jié)點，此即第一激發(fā)態(tài)，相應(yīng)的能量即第一激發(fā)態(tài)能量。即第一激發(fā)態(tài)能量。如此繼續(xù)下去，如此繼續(xù)下去，可以得出：只有當(dāng)粒子的能量取某些離散值可以得出：只有當(dāng)粒子的能量取某些離散值E1, E2, E3,時，相應(yīng)的波函數(shù)才滿足束縛態(tài)的邊界條件，這些時，相應(yīng)的波函數(shù)才滿足束縛態(tài)的邊界條件，這些能

23、量值就是能量本征值，相應(yīng)的波函數(shù)就是能量本征函數(shù)?；鶓B(tài)能量值就是能量本征值，相應(yīng)的波函數(shù)就是能量本征函數(shù)?；鶓B(tài)波函數(shù)無節(jié)點，激發(fā)態(tài)的節(jié)點數(shù)依次增加一個。能量越高的激發(fā)波函數(shù)無節(jié)點，激發(fā)態(tài)的節(jié)點數(shù)依次增加一個。能量越高的激發(fā)態(tài)，波函數(shù)震蕩越厲害。態(tài)，波函數(shù)震蕩越厲害。x0)(x2.2.4 2.2.4 方勢壘的反射與透射方勢壘的反射與透射勢壘勢壘axxaxVxV, 0 , 00 , 0)(0經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)關(guān)于方勢壘反射與透射的不同。經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)關(guān)于方勢壘反射與透射的不同。設(shè)具有一定能量的粒子沿設(shè)具有一定能量的粒子沿x x軸正方向射向勢壘軸正方向射向勢壘EEE0V0a000aV00-V00

24、a(a) 方勢壘的反射與透射方勢壘的反射與透射 EV0(c) 方勢阱的反射、透射方勢阱的反射、透射 與共振與共振 E 0(a) EV0，在勢壘外的經(jīng)典允許區(qū)在勢壘外的經(jīng)典允許區(qū)(xa)，能量本征方程為能量本征方程為)30( 02dd222mEx假定粒子從左側(cè)入射，則方程假定粒子從左側(cè)入射，則方程(30)(30)的解為的解為)31( ,0, )(iiiaxSexeRexkxkxkx則入射流密度則入射流密度vmkiexeexemjkxkxkxkxi)(2iiiii反射流密度反射流密度vRjr2透射流密度透射流密度vSjt2E0V0a22/SjjRjjitir透射系數(shù)反射系數(shù)(b) EV0，在勢壘內(nèi)

25、部的經(jīng)典禁區(qū)在勢壘內(nèi)部的經(jīng)典禁區(qū)(0 x1,則則121shaea，則透射系數(shù)可近似為，則透射系數(shù)可近似為)47( )(22exp)(16)(160200222222EVmaVEVEekkTa可見：可見：透射系數(shù)靈敏地依賴于粒子的質(zhì)量透射系數(shù)靈敏地依賴于粒子的質(zhì)量m，勢壘寬度，勢壘寬度a，以及，以及 (V0-E)。在一般宏觀條件下，。在一般宏觀條件下，T 很小。很小。穿透系數(shù)與量子能量的關(guān)系穿透系數(shù)與量子能量的關(guān)系OE1TV0例如例如: : (1)宏觀情形宏觀情形則取 1cm, J,10- , g1 7-0aEVm27271016. 11068. 210 eT(2)微觀情形微觀情形則取 1nm,

26、. 0 eV,1 , 0aEVmme36. 0 T(1981年年IBM位于瑞士蘇黎士實驗室的格爾德位于瑞士蘇黎士實驗室的格爾德賓寧和賓寧和海因里希海因里希羅雷爾發(fā)明，羅雷爾發(fā)明，1986年獲得諾貝爾獎年獲得諾貝爾獎)12222222222sin411 4sin)(4akkkkkkkakkkkkT在在E V0的情況下，的情況下，)(20VEmk利用利用akaksini)i (sh透射系數(shù)透射系數(shù)(44)可以改寫成可以改寫成E00aV0 方勢壘的反射與透射方勢壘的反射與透射 E V0從從(38)可見，只要將可見，只要將ik 2.2.5 方勢阱的反射、透射與共振方勢阱的反射、透射與共振)50( /2

27、/)(20mEkVEmk方勢阱的反射與透射與方勢壘類似，只不過要作變換方勢阱的反射與透射與方勢壘類似，只不過要作變換V0-V0 0（V0 0）此時此時E0-V00a方勢阱的反射、透射與共振方勢阱的反射、透射與共振 E 0)51( 1 (4sin1sin411100212）VEVEakakkkkkT可見：可見：當(dāng)當(dāng)V0=0時時， k=k，則則T=1,此時無勢阱，無反射；此時無勢阱，無反射； 當(dāng)當(dāng)V00時時， T00，即粒子有一定的概率被勢阱彈回即粒子有一定的概率被勢阱彈回， 這完全是一種這完全是一種量子效應(yīng)。量子效應(yīng)。則透射系數(shù)為則透射系數(shù)為)52( , 2 , 1,nnak)53( , 2 ,

28、 1,2nna對于給定勢阱，透射系數(shù)隨入射粒子能量對于給定勢阱，透射系數(shù)隨入射粒子能量E E的變化關(guān)系見下圖的變化關(guān)系見下圖E0T(E)由由(51) 可見：可見： 如如EV0，則一般，則一般T值很小，除非入射粒子的能量值很小，除非入射粒子的能量E合適，使得合適，使得sinka=0, 此時此時T=1，無反射，這種現(xiàn)象稱為共振，無反射，這種現(xiàn)象稱為共振透射。透射。透射條件是透射條件是或或)54( , 2 , 1,222220nmanVEEn物理意義：物理意義： 入射粒子進入勢阱后，碰到兩側(cè)阱壁時將發(fā)生反射入射粒子進入勢阱后，碰到兩側(cè)阱壁時將發(fā)生反射與透射。如果粒子的能量合適，使它在阱內(nèi)的波長滿足與

29、透射。如果粒子的能量合適，使它在阱內(nèi)的波長滿足n=2a，則經(jīng)過壁各次反射而透射出去的波的相位相同，因而使波相干則經(jīng)過壁各次反射而透射出去的波的相位相同，因而使波相干疊加，使透射波的波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。疊加，使透射波的波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。與此相反，與此相反，當(dāng)當(dāng), 1 , 0 ,)2/1(nnakan2)2/1(或或反射最強反射最強。由式由式(50)(50)、(52)(52)可求出可求出共振能級共振能級a00aE1E2E3E4-V0-V0E0E0共振能級共振能級共振能級共振能級0無限深方勢阱中束縛態(tài)無限深方勢阱中束縛態(tài)有限深方勢阱中束縛態(tài)有限深方勢阱中束縛態(tài)與共振態(tài)與共振態(tài) ,

30、2 , 1,222220nmanVEn問題：問題： 由圖可見，有限深方勢阱中的共振能級的位置與由圖可見，有限深方勢阱中的共振能級的位置與無限深方勢阱的束縛態(tài)能級位置相同，但有限深方勢阱的無限深方勢阱的束縛態(tài)能級位置相同，但有限深方勢阱的束縛態(tài)能級位置略低于后者的相應(yīng)能級束縛態(tài)能級位置略低于后者的相應(yīng)能級, ,為什么？為什么？2.4 一維諧振子一維諧振子勢函數(shù)勢函數(shù)) 1 ( 2121)(222xmKxxV)2( /mK能量本征方程能量本征方程)3( )()(21dd222222xExxmxm理想諧振子是理想諧振子是無限深勢阱，只存在束縛態(tài)無限深勢阱，只存在束縛態(tài)，即，即)4( 0)(,xx引入

31、無量綱參量引入無量綱參量21/ ,/ ,EmxV(x)xO則方程則方程(3)(3)可化為可化為)6( 0)(dd222)7( 0dd222方程方程(7)(7)的解為的解為)8( ,2/2e)9( )(2/2eu)10( 0) 1(dd2dd22uuu令方程（令方程（6 6）的通解為）的通解為代入代入(6)得：得：上述方程上述方程是是Hermite方程，方程，=0=0是方程的是方程的常點（方程的系數(shù)在該常點（方程的系數(shù)在該點是解析的），點是解析的），可在可在=0=0的鄰域用冪級數(shù)展開求解的鄰域用冪級數(shù)展開求解Appendix Hermite 方程方程) 1 ( 0) 1(2 uuzu令令)2(

32、)(0kkkzczu(2)(2)代入代入(1)(1)并比較同次冪的系數(shù)得并比較同次冪的系數(shù)得) 3( , 2 , 1 , 0 ,)2)(1() 1(22kckkkckk方程方程(1)(1)的兩個線性無關(guān)的解為的兩個線性無關(guān)的解為)4( )()(553312442201zczcczuzczcczu當(dāng)當(dāng)z z 取有限值時，上述兩個多項式均收斂取有限值時，上述兩個多項式均收斂當(dāng)當(dāng)z時，有時，有22)( ,)(21zzzezuezu因因)(2/2ue為了使波函數(shù)有意義，必須要求為了使波函數(shù)有意義，必須要求u1, u2中斷為多項式，此中斷后中斷為多項式，此中斷后 的多項式稱為的多項式稱為Hermite多

33、項式多項式。2222)2(!2!) 1()2)(1()2()(Hnnnnnnznnznnzz其中其中oddisnnevenisnnn , 2/ ) 1( , 2/2mnnznmnezHzH!2dz)()(2其正交性為其正交性為22dzd) 1()(znznneezH或?qū)懗苫驅(qū)懗煞匠蹋ǚ匠蹋?010）是一）是一Hermite方程，方程，其通解為一個無窮級數(shù)。在其通解為一個無窮級數(shù)。在 不滿足束縛態(tài)的邊界條件。為保證其解滿足不滿足束縛態(tài)的邊界條件。為保證其解滿足束縛態(tài)邊界條件，必須要求束縛態(tài)邊界條件，必須要求u u中斷為一個多項式。可以證明中斷為一個多項式?？梢宰C明方程方程(10)(10)有有意義

34、解得條件為有有意義解得條件為)11( , 2 , 1 , 0 ,21nn)12( , 2 , 1 , 0 ,)2/1(nnEEn因此諧振子的能量為因此諧振子的能量為利用利用Hermite多項式的正交性公式多項式的正交性公式)13( !2d)()(2mnnnmneHH此即振子的此即振子的能量本征值能量本征值。2)(,eu)()(2/22xHeAxnxnn)14( !2/2/1nAnn)15( d)()(mnnmxxx可證明諧振子的可證明諧振子的能量本征函數(shù)能量本征函數(shù)為為如最低的三個能級的波函數(shù)為如最低的三個能級的波函數(shù)為)16( ) 12(21)(2)()(2/224/122/4/112/4/

35、10222222xxxexxxexex系數(shù)系數(shù)歸一化歸一化Hermite多項式多項式22dd) 1()(eeHnnn討論討論(1) (1) 波函數(shù)具有確定的宇稱波函數(shù)具有確定的宇稱)() 1()(xxnnn（2）零點能與能級間隔零點能與能級間隔nEE ,210“能量量子化能量量子化”和和“零點能存在零點能存在”是量子振子能譜不同于經(jīng)典是量子振子能譜不同于經(jīng)典振子能譜的兩大特點。而且，振子能譜的兩大特點。而且，“存在零點能存在零點能”的現(xiàn)象即使在的現(xiàn)象即使在PlanckPlanck假設(shè)中也是沒有表現(xiàn)出來的。這兩個特點都是粒子波假設(shè)中也是沒有表現(xiàn)出來的。這兩個特點都是粒子波動性的體現(xiàn)：前者由于粒子

36、動性的體現(xiàn)：前者由于粒子de Brogliede Broglie波的自身干涉；后者來波的自身干涉；后者來源于粒子源于粒子de Brogliede Broglie波所固有的不確定性關(guān)系，說明動能為零波所固有的不確定性關(guān)系，說明動能為零值的值的de Brogliede Broglie波沒有什么意義波沒有什么意義 )() 1( )() 1()()(2/2/2222xxHeAxHeAxnnnxnnnxnn22dd) 1()(eeHnnn因為因為則則(3)諧振子在空間的概率分布諧振子在空間的概率分布基態(tài)基態(tài)2220)(xex20)(xx-1/1/當(dāng)當(dāng)mx1時時2/)(0/1ExVx1/1/ 是諧振子的特

37、征長度。按經(jīng)典力學(xué)觀點，諧振子只允許在是諧振子的特征長度。按經(jīng)典力學(xué)觀點，諧振子只允許在 中運動，而中運動，而 是經(jīng)典禁區(qū)。是經(jīng)典禁區(qū)。/1x/1x但按照量子力學(xué)可計算出在經(jīng)典禁區(qū)粒子出現(xiàn)的概率是但按照量子力學(xué)可計算出在經(jīng)典禁區(qū)粒子出現(xiàn)的概率是%16d/d0122ee-22-44| 10|2 (4) n =1,2, 10時諧振子的概率分布見下圖時諧振子的概率分布見下圖n=2n=1n=0-11 2)(xnx由上圖可見：由上圖可見： 量子力學(xué)中諧振子波函數(shù)量子力學(xué)中諧振子波函數(shù)n n有有 n 個節(jié)點，在個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。節(jié)點處找到粒子的幾率為零。22d1d12d2dxaxxVTT

38、tx經(jīng)2221amE當(dāng)質(zhì)點能量為當(dāng)質(zhì)點能量為E E時，時，它被絕對地限制在由下式?jīng)Q定的區(qū)間它被絕對地限制在由下式?jīng)Q定的區(qū)間-a,a內(nèi)內(nèi)在在xx+dx間隔內(nèi)的粒子出現(xiàn)的幾率間隔內(nèi)的粒子出現(xiàn)的幾率Note: 22222212121xmmVamE22 xaV且且/2T經(jīng)典力學(xué)的諧振子在經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 -a a, , a a 區(qū)間每一點上都能找到粒子，區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。沒有節(jié)點。221xa 經(jīng)求能量本征值和本征函數(shù)。求能量本征值和本征函數(shù)。221() =2Vxxqx 例題例題 1. 1. 荷電荷電 q 的諧振子，受到沿正的諧振子，受到沿正 x x 軸方向外電場軸方向外電場 的作用

39、，的作用，其勢能為：其勢能為：222()2dV xxExdx 解：解：SchrdingerSchrdinger方程：方程：2222222200221( )=211=()222V xxq xqqxxxV 而而2220202 qVqx 其其中中：n進行坐標(biāo)變換：進行坐標(biāo)變換： pxxpxxxddiddi0 則則HamiltonHamilton量變?yōu)椋毫孔優(yōu)椋?2221202022122)(2VxpVxxpH 新坐標(biāo)下新坐標(biāo)下 SchrSchrdinger dinger 方程改寫為：方程改寫為：02221222022212220)(2)(dd0)(2)(ddVEExxExxxVxExx其中, 2 ,

40、 1 , 02)()(22221021 nqnVEEnEnnn )()()(02/)(2/20222xxHeNxHeNxnxxnnxnn 本本 征征 能能 量量本 征 函 數(shù)例題例題2 2 求解三維各向同性諧振子，并討論它的簡并情況求解三維各向同性諧振子，并討論它的簡并情況n解解：（：（1 1）三維諧振子）三維諧振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 222122222212222221222222zdzdHydydHxdxdHzyx 其其中中 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExHnnnznnnynnnx 32123