機械系統(tǒng)動力學第四章 固有頻率的實用計算方法ppt課件

1、第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法單自在度無阻尼自在振動系統(tǒng)運動0mxkx只需列出單自在度無阻尼自在振動系統(tǒng)的運動微分只需列出單自在度無阻尼自在振動系統(tǒng)的運動微分方程，就可以得到振動系統(tǒng)的固有頻率方程，就可以得到振動系統(tǒng)的固有頻率nkm第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法例4-1-1：建立圖4-1-1(a)所示的均質桿繞O點作微幅轉動振動系統(tǒng)的運動微分方程。解：單自在度系統(tǒng)，取均質桿為研討對象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動量矩定理 0()oJMF

2、22oJkacl 第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法即解：單自在度系統(tǒng)，取均質桿為研討對象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動量矩定理 0( )oJMF22oJkacl 220oJkacl振動系統(tǒng)固有頻率： 22233313nokakakaJmlml第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)二能量法二能量法原理：原理：對于單自在度無阻尼自在振動系統(tǒng)，其呼應為簡諧振對于單自在度無阻尼自在振動系統(tǒng)，其呼應為簡諧振動，系統(tǒng)動，系統(tǒng) 或或 。在靜平衡。在靜平衡位置，勢能為位置，勢能為0，

3、動能到達最大，即：，動能到達最大，即： 。在最大位移處，動能為在最大位移處，動能為0，勢能到達最大，勢能到達最大，即：即： 。所以有：。所以有：例：對圖例：對圖4-1-1所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能TUconst()0dTUdtmax0,UTTmax,0UUTmaxmaxUT2012TJ系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能21()2Uk a第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)二能量法二能量法令例：對圖例：對圖4-1-1所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能2012TJ系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能21()2Uk a0=sinnt

4、那么有：0222220000111=JJ (-cos) =Jcos222nnnnTtt 0222220111=()(sin) =sin222nnUk ak atkat最大動能022max01=J2nT 022max1=2Uka最大勢能：由maxmax=UT022220011J=22nka 得：系統(tǒng)的固有頻率20=nkaJ第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-1求特征值法求特征值法令對于多自在度振動系統(tǒng)，其無阻尼自在振動運動微分方帶入方程4-2-1并消去 項得欲使方程有非0解，令方程的系數(shù)行列式等于0可得到特征方程的n個特征根 ，即振動系

5、統(tǒng)的固有頻率0MXKX 4-2-1 sin()Xutsin()t2() 0KMu特征方程，又稱振幅方程2=0KM(1,2,., )niin第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-1求特征值法求特征值法例4-2-1：2個自在度振動系統(tǒng)，其運動微分方程為： 令其特征方程的系數(shù)行列式等于0得即：1122020020 xxmkkxxmkk 222=02kmkkkm222(2)(2)=0km kmk可得固有頻率2122=0.2192=2.2808kmkm第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-

6、2計算固有頻率的近似法計算固有頻率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法瑞利法從單自在度振動系統(tǒng)固有頻率計算的能量方法出發(fā)，對于多自在度振動系統(tǒng)，在作無阻尼自在振動時， 呼應為同步振動。系統(tǒng)的動能可表示為：系統(tǒng)的勢能設maxmaxTU12TTX MX12TUX KX sininiXut帶入得最大動能2max 2TniiiTuM umax1 2TiiUuK u最大勢能第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-2計算固有頻率的近似法計算固有頻率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法帶入公式 得：利用4-2-7準確計算多自在度

7、振動系統(tǒng)的固有頻率，前提條件是需求知系統(tǒng)的振型，這是無法做到的。但振動系統(tǒng)的一階振型的近似值普通可以預測，大都數(shù)情況下與其靜載荷作用下產(chǎn)生的靜變形非常接近。例如例4-2-1所給出的振動問題，假設取maxmaxTU代入式4-2-7進展試算：2 TiiniTiiuK uuM u4-2-7111u 第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法假設取假設取與準確解相比，一階固有頻率的相對計算誤差211111211 11 =0.33301 31 1021TnTkkkkuK ukkmuM ummm 112u 代入式4-2-7進展試算21111121122

8、 2=0.22201 912022TnTkkkkuK ukkmuM ummm 211u22222221111 5=1.66701 311021TnTkkkkuK ukkmuM ummm1.35%-26.92%二階固有頻率的相對計算誤差瑞利法的計算精度決議瑞利法的計算精度決議于對振型的假設。計算于對振型的假設。計算一階固有頻率精度較高一階固有頻率精度較高但數(shù)值偏大但數(shù)值偏大第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法二、鄧克利法Dunkenley法對于二個自在度系統(tǒng)：展開整理對于多自在度振動系統(tǒng)，假設用柔度法建立的運動微分方程可表示為：XMX 4-2-8同樣地令同樣地令 sinnXu

9、t 2()0IM u20IM特征方程特征方程22111122222112221-0-1-mmmm1112221211 2212 21421() 0mmmm (a) 第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法二、鄧克利法Dunkenley法普通有 ，即 因此有設 為方程的兩個根，那么有比較ab兩式，可得422222121211111()0 b11122221211mm222122211111122222112111mm第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法二、鄧克利法Dunkenley法用Dunkenley法求解上例普通地，對于具有n個自在度的振動系統(tǒng)即Dunke

10、nley法計算自在度的振動系一致階固有頻率的計算公式。111222222211121111+ + +=nnnniiiinmmmm1121 111 2kkKkkk11122211125=2mmmmmkkk 210.2kmDunkenley法計算結果偏小法計算結果偏小第第4章章 固有頻率的適用計算方法固有頻率的適用計算方法4-3 傳送矩陣法傳送矩陣法Transfer Matrix Method傳送矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其根傳送矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其根本思緒：將系統(tǒng)離散成假設干單元，每一個本思緒：將系統(tǒng)離散成假設干單元，每一個單元與臨近單元界面上用位移協(xié)調條件和力單元與臨近單元界面

11、上用位移協(xié)調條件和力的平衡條件予以聯(lián)絡；每一單元可以用牛頓的平衡條件予以聯(lián)絡；每一單元可以用牛頓第二定律建立運動方程，從而建立單元兩端第二定律建立運動方程，從而建立單元兩端之間的傳送矩陣。求解從系統(tǒng)的邊境開場，之間的傳送矩陣。求解從系統(tǒng)的邊境開場，在邊境上有的外力及位移關系是知的，求出在邊境上有的外力及位移關系是知的，求出另一側的力和位移；依次進展下去最后可得另一側的力和位移；依次進展下去最后可得到問題的解。傳送矩陣法既可求振動系統(tǒng)的到問題的解。傳送矩陣法既可求振動系統(tǒng)的固有頻率，也可以求振動系統(tǒng)的強迫振動呼固有頻率，也可以求振動系統(tǒng)的強迫振動呼應問題。應問題。第第4章章 固有頻率的適用計算方

12、法固有頻率的適用計算方法4-3 傳送矩陣法傳送矩陣法Transfer Matrix Method4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動圖4-3-1 軸的縱向振動離散化模型第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法的求解步驟傳送矩陣法的求解步驟1.系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的離散化利用集中質量法將具有分布質量的延續(xù)系統(tǒng)離散為具有利用集中質量法將具有分布質量的延續(xù)系統(tǒng)離散為具有n個自在個自在度的鏈式系統(tǒng)，如圖度的鏈式系統(tǒng)，如圖4-3-1(b),并進展編號并進展編號2.建立點場矩陣建立點場矩陣取第取第i

13、個質量彈簧元件研討個質量彈簧元件研討兩端形狀向量關系兩端形狀向量關系111()LRiiLRLRiiiiiFFFFk xx寫成矩陣方式寫成矩陣方式1111=01iiLRiiiLRxxkFF第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動場傳送矩陣場傳送矩陣研討質量元件研討質量元件在沒有外鼓勵力作用時，根據(jù)牛頓第二定律，可得以下關系在沒有外鼓勵力作用時，根據(jù)牛頓第二定律，可得以下關系式式假設振動系統(tǒng)作簡諧振動，那么有(1)11=11ii ikFRLiiRRLiiiixxm xFF2RRiixx 2=-RLiiRLLiiiixxFF

14、mx第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動即質量質量 兩側形狀向量之間的關系方程兩側形狀向量之間的關系方程210=1iiRLiiRLixxmFFim點傳送矩陣點傳送矩陣(1)210=1i iiPm3.求系統(tǒng)的傳送矩陣求系統(tǒng)的傳送矩陣第第i個質量彈簧單元的形狀向量傳送關系個質量彈簧單元的形狀向量傳送關系1111222211111010=11101iiiiRLRRiiiiiiRLRRiiiiixxxxkkmmFFFFmmk第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法

15、分析軸的縱向振動令令 ,稱振動系統(tǒng)的形狀向量稱振動系統(tǒng)的形狀向量寫成簡約的方式寫成簡約的方式對于圖對于圖4-3-1(b)所示的振動系統(tǒng)，最右端形狀所示的振動系統(tǒng)，最右端形狀 與最左端形狀與最左端形狀 之之間的關系間的關系xZF22111iiiiikCmmk第i個質量彈簧單元的傳送矩陣1RRiiiZC Z1121100=RRRRRnnnnnnnnZC ZC CZC CC ZCZ4-3-7第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動稱系統(tǒng)的總的傳送矩陣而形狀向量 依賴于邊境條件。4.求系統(tǒng)的固有頻率11nnCC CC11122

16、122( )( )( )( )ccCcc0RRnZZ，求系統(tǒng)的固有頻率時，從最左邊的形狀 向量 出發(fā)，利用式4-3-7計算最右邊的形狀向量 得到一個關于 的方程式，其中滿足所需處理問題邊境條件的 就是系統(tǒng)的固有頻率。0RZRnZ ，第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動對于圖5-3-1所示的懸臂梁的縱向振動問題，其邊境條件為 ， ，代入3-3-7式有從而得 ， 。滿足 的 即 為系統(tǒng)的固有頻率。00Rx 0RnF1112212200( )( )( )( )0RnRccxccF120( )RRnxcF220( )0Rc

17、F22( )0c0第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動例4-3-1用傳送矩陣法求圖4-3-2所示的單自在度系統(tǒng)的固有頻率解：1：編號：如下圖 2：計算點、場矩陣點矩陣21210=1Pm場矩陣1011=11kF 3、計算傳送矩陣：221121100ZP ZP F Z第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動4、求系統(tǒng)的固有頻率、求系統(tǒng)的固有頻率(無阻尼自在振動無阻尼自在振動)根據(jù)邊境條件根據(jù)邊境條件 代入：代入：0022222001111011

18、011xxxkkFmFFmmk 020,0 xF00200(1)nFxkmFk固有頻率2nkm第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動例例4-3-2用傳送矩陣法求圖用傳送矩陣法求圖4-3-3所示的所示的2個自在度系統(tǒng)的固有頻率個自在度系統(tǒng)的固有頻率解：解：1：編號：如下圖：編號：如下圖 2：計算點、場矩陣及傳送矩陣：計算點、場矩陣及傳送矩陣圖4-3-30022222001111011011xxxkkFmFFmmk4222224221111012120121xxxkkFmFFmmk 0422222224202202220

19、22111111=222121111(2)=25(3)12()xxxkkkFFFmmmmmmkkkmmxkkkFmmmmkkk 第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動傳送矩陣法分析軸的縱向振動3.求系統(tǒng)的固有頻率求系統(tǒng)的固有頻率(無阻尼自在振動無阻尼自在振動)由邊境條件由邊境條件 代入上式得代入上式得: 由上式的第2式得：22422202211(2)0025(3)12()mmxkkkFmmmmkkk 2042220(2)5012() FmxkkmmFkk即：即：222512() =0mmkk可解出兩個根，即系統(tǒng)的固有頻率：21,20.219251742.2808kkmkmm第第4章固有頻率的適用計算方法章固有頻率的適用計算方法4-3-2傳送矩陣法分析圓軸的改動振動傳送矩陣法分析圓軸的改動振動一一 傳送矩陣的計算傳送矩陣的計算圖4-3-4b)為系統(tǒng)