數(shù)值計(jì)算方法學(xué)習(xí)報(bào)告

1、數(shù)值微分及應(yīng)用研究第一章 數(shù)值微分的描述1、 數(shù)值微分描述數(shù)值微分(numerical differentiation)是根據(jù)函數(shù)在一些離散點(diǎn)的函數(shù)值，推算它在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一個(gè)能夠近似代替該函數(shù)的較簡單的可微函數(shù)（如多項(xiàng)式或樣條函數(shù)等）的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)作為能求導(dǎo)數(shù)的近似值。例如一些常用的數(shù)值微分公式(如兩點(diǎn)公式、三點(diǎn)公式等)就是在等距步長情形下用插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為近似值的。此外，還可以采用待定系數(shù)法建立各階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值微分公式，并且用外推技術(shù)來提高所求近似值的精確度。當(dāng)函數(shù)可微性不太好時(shí)，利用樣條插值進(jìn)行數(shù)值微分要比多項(xiàng)式插值更適宜。如果離散點(diǎn)上的數(shù)

2、據(jù)有不容忽視的隨機(jī)誤差，應(yīng)該用曲線擬合代替函數(shù)插值，然后用擬合曲線的導(dǎo)數(shù)作為所求導(dǎo)數(shù)的近似值，這種做法可以起到減少隨機(jī)誤差的作用。數(shù)值微分公式還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。2、 數(shù)值微分的相關(guān)概念根據(jù)函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值來估計(jì)函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)的近似值的方法，稱為數(shù)值微分。多項(xiàng)式插值是最常見的一種函數(shù)插值。在一般插值問題中，若選取為n次多項(xiàng)式類，由插值條件可以唯一確定一個(gè)n次插值多項(xiàng)式滿足上述條件。從幾何上看可以理解為：已知平面上n+1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線通過這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見的表達(dá)形式，一個(gè)是拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一個(gè)是牛頓插值多項(xiàng)式。 三次樣條函數(shù)

3、定義：函數(shù)且在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，則稱是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值并成立則稱為三次樣條插值函數(shù)。3、 數(shù)值微分的相關(guān)理論主要有微分中值定理，下面介紹以下幾種微分中值定理。3.1羅爾定理我們先講羅爾定理，然后根據(jù)它推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。圖3-1先將介紹費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對任意的，有那么。羅爾定理 如果函數(shù)滿足（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。3.2拉格朗日中值定理（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，

4、使等式。3.3柯西中值定理如果函數(shù)及滿足（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） 對任一。那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立。4、 數(shù)值微分及應(yīng)用研究國內(nèi)外研究進(jìn)展數(shù)值微分問題相對其他問題而言是一個(gè)古老的問題，從上個(gè)世紀(jì)中期至今國內(nèi)外有眾多的學(xué)者進(jìn)行這一課題的研究，得到的科研結(jié)果也很豐富。如果理論研究中不考慮數(shù)據(jù)的誤差，用一般的有限差分法就能求得近似的導(dǎo)數(shù)，并且已經(jīng)有很多人對有限差分法的收斂性進(jìn)行了研究。但如果數(shù)據(jù)帶有誤差，用有限差分法就有可能造成數(shù)值解的誤差很大。通常都用劃分的間距不能太小的辦法來解決，及測量點(diǎn)不能太多，在此條件下計(jì)算結(jié)果還可以接受，否則有可能測量點(diǎn)去的越多結(jié)果越差

5、。然而這一要求不符合人們的思維習(xí)慣，人們習(xí)慣性地認(rèn)為，數(shù)據(jù)越多越能幫助得到更精確的結(jié)果。5、 數(shù)值微分及應(yīng)用研究國內(nèi)外研究現(xiàn)狀針對上面談到的問題，使許多學(xué)者開始從其他角度來考慮數(shù)值微分問題，這種方法就是用Tikhonov正則化方法，此法對求解不適定問題以及反問題是理論上最完備而實(shí)踐上行之有效的。求解數(shù)值微分的問題本質(zhì)上是不適定的，因此必須用正則化法，其中正則化參數(shù)的選取是該方法的一個(gè)核心問題。嚴(yán)格來講穩(wěn)定的近似求導(dǎo)方法都是基于正則化思想，所不同的是正則化解算子的構(gòu)造和正則化參數(shù)的選取。6、 數(shù)值微分方法有多少？ 比較常用的數(shù)值微分方法有四種：差商型數(shù)值微分、插值型數(shù)值微分、三樣條型數(shù)值微分、數(shù)

6、值微分的外推算法。第二章 算法的研究一、數(shù)值微分方法有多少（方法種類）？1. 數(shù)值微分方法有多少？比較常用的數(shù)值微分方法有四種：差商型數(shù)值微分、插值型數(shù)值微分、三樣條型數(shù)值微分、數(shù)值微分的外推算法。下面我們一一介紹各種方法。1.1差商型數(shù)值微分公式當(dāng)函數(shù)是以離散點(diǎn)列給出時(shí)，當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜時(shí)，常用數(shù)值微分近似計(jì)算的導(dǎo)數(shù)。在微積分中，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某點(diǎn)上的瞬時(shí)變化率，它是平均變化率的極限；在幾何上可解釋為曲線的斜率；在物理上可解釋為物體變化的速率。（1）向前差商公式（2）向后差商公式（3）中心差商公式1.2插值型數(shù)值微分（1）兩點(diǎn)數(shù)值微分公式（）過節(jié)點(diǎn)的插值型數(shù)值微分兩點(diǎn)公式為 其截?cái)嗾`差

7、為，其中。 （2）三點(diǎn)數(shù)值微分公式過節(jié)點(diǎn)的插值型計(jì)算導(dǎo)數(shù)的三點(diǎn)公式為 其截?cái)嗾`差為 二階數(shù)值微分公式 注：此公式是三點(diǎn)公式。（3） 三樣條型數(shù)值微分 三次樣條函數(shù)作為的近似，不但函數(shù)值很接近，導(dǎo)數(shù)值也很接近，并有因此利用三次樣條函數(shù)直接得到這里為一階均差，其誤差為（4） 數(shù)值微分的外推算法利用中點(diǎn)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)值時(shí)對在點(diǎn)做泰勒級數(shù)展開其中與無關(guān)，利用理查森外推對逐次分半，若記，則有根據(jù)理查森外推方法，誤差為由此看出當(dāng)m較大時(shí)，計(jì)算是很精確的?？紤]到舍入誤差，一般m不能取太大。2. 經(jīng)典的數(shù)值微分方法中點(diǎn)方法。二、數(shù)值微分方法哪個(gè)好？（方法比較）？1. 數(shù)值微分方法的優(yōu)缺點(diǎn)分析1）：中點(diǎn)方法的優(yōu)點(diǎn)

8、是公式的精度較高，而缺點(diǎn)是從舍入誤差的角度來看很小時(shí)，接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。2）：插值型數(shù)值微分法的優(yōu)點(diǎn)是可以建立高階的數(shù)值微分公式，缺點(diǎn)是即使與的近似度非常好，導(dǎo)數(shù)與在某些點(diǎn)上的差別仍舊可能很大，因而，在應(yīng)用數(shù)值微分公式時(shí)，要重視對誤差的分析。3）：三樣條型數(shù)值微分法的優(yōu)點(diǎn)是可以求非節(jié)點(diǎn)處的12階導(dǎo)數(shù)，精度高，缺點(diǎn)是要求預(yù)知邊界條件，要解三對角方程組，比較復(fù)雜。4）數(shù)值微分的外推算法的優(yōu)點(diǎn)是加速的效果很明顯，缺點(diǎn)是倘若在外推的過程中的某一步出現(xiàn)截?cái)嗾`差的首項(xiàng)系數(shù)為零，則繼續(xù)使用上述辦法進(jìn)行外推會得到出錯誤的結(jié)果，而且由于，故而外推次數(shù)不宜過多，否則會引起計(jì)算的不穩(wěn)定性。2.

9、 最好的方法是還是中點(diǎn)方法。第三章 算法的應(yīng)用一、 數(shù)值微分方法怎么用？（程序設(shè)計(jì)）？1. 一般程序設(shè)計(jì)mathematic2. 舉例驗(yàn)證計(jì)算在點(diǎn)的前10階導(dǎo)數(shù)的值，把結(jié)果以表格的形式列出。fx_ := Expx3; dtable = Tablen, Dfx, x, n /. x -> 0.5, n, 1, 10; TableFormdtable, TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row 運(yùn)行結(jié)果：n123450.84994.036814.925762.8233371.552n6789102116.5613929.5

10、101710766171二、數(shù)值微分方法用哪好？ 1. 數(shù)值微分三點(diǎn)公式方法在給排水專業(yè)的應(yīng)用拉格朗日法研究流體的運(yùn)動中，通過照相機(jī)拍攝同一標(biāo)記物在不同時(shí)刻的位置，由不同時(shí)刻的位置研究質(zhì)點(diǎn)速度的問題。 2. 數(shù)值微分方法在你了解的其他領(lǐng)域的應(yīng)用電路震蕩、化學(xué)反應(yīng)及生物群體的變化等。第四章 算法展望數(shù)值微分就是用離散的方法近似地求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，關(guān)于數(shù)值微分已經(jīng)有許多求解方法，但這些方法都有各自的局限性，并且關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)的近似逼近的方法的研究相對較少。近幾年數(shù)學(xué)家有提出了兩種求解高階數(shù)值微分的新方法，并給出了高階導(dǎo)數(shù)近似逼近的誤差估計(jì)。方法一是利用Tikhonov正則化方法，通過構(gòu)造一個(gè)五

11、次樣條函數(shù)研究了不等距分布下的高階數(shù)值微分問題。由于在討論中的采樣取值是隨機(jī)的，使得該方法具有較大的實(shí)用性。方法二是在等距分布的條件下，基于三次樣條差值函數(shù)的三彎矩算法，通過利用節(jié)點(diǎn)處彎矩的加權(quán)和近似計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)。該方法簡單易懂，并且具有比用三次樣條差值函數(shù)求二階數(shù)值微分更高階的計(jì)算精度?；跀?shù)值微分計(jì)算方法在各個(gè)領(lǐng)域的重要作用，在眾多學(xué)者的努力下，更為完善的方法必將繼續(xù)出現(xiàn)，更為簡單精確的解決數(shù)值微分的方法的出現(xiàn)及應(yīng)用必將指日可待。第五章 學(xué)習(xí)思考一、數(shù)值微分相關(guān)的問題（我的思考）通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)，可否自己出題，并用多種方法求解？二、 我的課題作業(yè)1、地球衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓

12、周長的計(jì)算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371（km）為地球半徑，則我國第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439(km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384(km）。試求衛(wèi)星軌道的周長。解：從而有01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造衛(wèi)星軌道的周長為48708km2、證明等式 試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。解： 若又此函數(shù)的泰勒展式為當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.1

13、41580故3、求如下數(shù)值微分公式的系數(shù)，使其對次數(shù)盡可能高度的多項(xiàng)式精確成立。，導(dǎo)出該數(shù)值微分公式的余項(xiàng)表達(dá)式。解： 令分別代入（1）中，使數(shù)值微分公式精確成立，得解上述關(guān)于的方程組，得故設(shè)余項(xiàng),代入上式，得從而，導(dǎo)出該數(shù)值微分公式的余項(xiàng)表達(dá)式為。4、設(shè)，計(jì)算的誤差不超過，試證明：當(dāng)時(shí)，可使計(jì)算二階倒數(shù)的中心差商公式的截?cái)嗾`差和舍入誤差的總和達(dá)到最小。證明：因二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式的截?cái)嗾`差估計(jì)為又設(shè)的舍入誤差分別為，令，則二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式 的舍入誤差可估計(jì)為 故截?cái)嗾`差和舍入誤差界的總和為 使達(dá)到最小的步長應(yīng)滿足 從而得最佳步長為 5、用變步長的中點(diǎn)方法求在處的導(dǎo)數(shù)值,設(shè)取起算。解：

14、 這里采用的計(jì)算公式是，計(jì)算結(jié)果見表： k0123910G(h)3.017652.79132.736442.722812.718282.71828表中代表二分的次數(shù)，步長。二分9次得結(jié)果，它的每一數(shù)字都是有效數(shù)字(所求導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確值為)。6、 已知函數(shù)的下列數(shù)值:x2.52.62.72.82.9y12.182513.463714.879716.444618.1741本題沒有明確指出用哪些點(diǎn)處的函數(shù)值來求。因此，隨著步長h不同,導(dǎo)數(shù)值有可能不同。另外, 用兩點(diǎn)函數(shù)值時(shí)，只能求一階導(dǎo)數(shù)值.解取時(shí)，兩點(diǎn)公式有兩種取法當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 三點(diǎn)公式取得 7 用外推算法計(jì)算在的導(dǎo)數(shù)。解：令，當(dāng)h=0.1，0.05

15、,0.025時(shí)，由外推算法表可算得， 的精確值為0.454897994，可見當(dāng)h=0.025時(shí)用中點(diǎn)微分公式只有3位有效數(shù)字，外推一次可以達(dá)到5位有效數(shù)字，外推兩次可以達(dá)到9位有效數(shù)字。 學(xué)習(xí)報(bào)告必須完成的作業(yè)組號習(xí)題所在章習(xí)題所在頁習(xí)題號備注1第1章P19-21No.1No.62第1章P19-21No.7No.123第1章P19-21No.13No.174第2章P48-49No.1No.65第2章P48-49No.7No.126第2章P48-49No.13No.187第2章P50No.1No.38第3章P94No.1No.69第3章P94P95-96No.7No.10No.1No.210第4

16、章P135-136No.1No.7選做6個(gè)11第4章P135-137No.8No.18選做6個(gè)12第4章P137No.1No.2計(jì)算實(shí)習(xí)題13第5章P175-178No.1No.614第5章P175-178No.7No.1215第5章P175-178No.13No.21選做7個(gè)16第5章P178-179No.1No.4選做4個(gè)17第6章P209-210No.1No.618第7章P238-240No.1No.619第7章P238-240No.7No.1220第7章P238-240No.13No.1821第7章P239-240No.1No.322第8章P275-278No.1No.623第8章P275-278No.7No.1124第8章P277-278No.1No.225第9章P316-317No.1No.626第9章P316-318No.7No.15選做6個(gè)27第9章P318-319No.1No.3 各組同學(xué)研究的題目請見下表組號課程學(xué)習(xí)報(bào)告題目依托知識備注1數(shù)值分析與科