橢圓典型題型歸納學生版

1、題型一. 定義及其應(yīng)用例1.已知一個動圓與圓相內(nèi)切，且過點，求這個動圓圓心的軌跡方程；例2.方程所表示的曲線是練習：對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓成立的充要條件是（ ）A. B.C. D. 表示橢圓，則的取值范圍是的一個焦點的直線與橢圓相交于兩點，則兩點與橢圓的另一個焦點構(gòu)成的的周長等于；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點，為圓周上任意一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為；題型二. 橢圓的方程（一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點和的距離之和等于的點的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2

2、.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點、，求橢圓的方程；例且與橢圓有共同焦點的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例中，所對的三邊分別為，且，求滿足且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列時頂點的軌跡；練習：1.三角形ABC中，B（-2,0），C（2，0），AB、AC邊上的中線長之和為30，求三角形ABC的重心的軌跡方程。2.已知動圓C和定圓O：（x-3）2 +y2 = 64相內(nèi)切，且A（3，0）在動圓C上，求動圓圓心的軌跡方程。（五）相關(guān)

3、點代入法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點A(2，-3)，為橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例垂直于軸，且與橢圓交于兩點，點是直線上滿足的點，求點的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點三角形問題例1.已知橢圓上一點的縱坐標為，橢圓的上下兩個焦點分別為、，求、及；題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點，的縱坐標為，、分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為例2.橢圓的四個頂點為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率為；例橢圓的離心率為，則；例為橢圓

4、上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為題型五.求范圍例1.方程表示準線平行于軸的橢圓，求實數(shù)的取值范圍；題型六.橢圓的第二定義的應(yīng)用例1.方程所表示的曲線是例2.求經(jīng)過點，以軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程；例3.橢圓上有一點，它到左準線的距離等于，那么到右焦點的距離為例4已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點，使它到左準線的距離為它到兩焦點距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。例5已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點求的最小值及對應(yīng)的點的坐標題型七.求離心率例1. 橢圓的左焦點為，是兩個頂點，如果到直線的距離為，則橢

5、圓的離心率例為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為例3.、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為；題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1. 橢圓上的點到直線的距離最大時，點的坐標例2.方程()表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；題型九.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1.當為何值時，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒有公共點，求的取值范圍。例3.過點作直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。例和橢圓有公共點時，的取值范圍。（二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢

6、圓截得的弦長為，求點的坐標。；例2.橢圓與直線相交于兩點，是的中點，若，為坐標原點，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點，若的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例，過點能否作直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是；例相交于兩點，弦的中點坐標為，求直線的方程；例3.橢圓中心在原點，焦點在軸上，其離心率,過點的直線與橢圓相交于兩點，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當?shù)拿娣e最大時，求橢圓E的方程解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，a2=3b2故橢圓方程；設(shè)，由于點分有向線段的比為2，即由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k2

7、3b2=0由直線l與橢圓E相交于兩點而 由得:，代入得：.（2）因,當且僅當取得最大值此時，又，；將及代入得3b2=5，橢圓方程例4.已知是橢圓上的三點，為橢圓的左焦點，且成等差數(shù)列，則的垂直平分線是否過定點？請證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對稱問題例，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱；例2.已知中心在原點，焦點在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由。F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉(zhuǎn)化為距離差

8、再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點。解：，連接，延長交橢圓于點M1,延長交橢圓于點由三角形三邊關(guān)系知當且僅當與重合時取右等號、與重合時取左等號。因為，所以, ；結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點分別為,為橢圓內(nèi)一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：點在橢圓外，交橢圓于，此點使值最小，求最大值方法同例1。解：，連接并延長交橢圓于點M1，則M在M1處時取最大值；最大值是10+，最小值是。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點分別為，為橢圓外一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為，最小值為;例3求定點到橢圓上的點之間的最短距離。分析：在橢圓上

9、任取一點，由兩點間距離公式表示，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最小值。解：設(shè)為橢圓上任意一點，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時，（2）若,則時（3）若,則結(jié)論3：橢圓上的點到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示MA或MB，通過動點在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。例4求橢圓上的點到直線的距離的最值；解：三角換元令則當時；當時,結(jié)論4：若橢圓上的點到非坐標軸上的定點的距離求最值時,可通過橢圓的參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。例4的解決還可以用下面方法把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態(tài)，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線將代入

10、橢圓方程整理得，由=0解得, 時直線與橢圓切于點，則到直線的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線與的距離，所以；時直線與橢圓切于點Q，則Q到直線l的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線m與l的距離，所以。結(jié)論5：橢圓上的點到定直線l距離的最值問題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。例5.已知定點，點為橢圓的右焦點，點在該橢圓上移動時，求的最小值，并求此時點的坐標；（第二定義的應(yīng)用）例3已知、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內(nèi)一點的坐標為，為橢圓上的一個動點，試分別求：（1）的最小值；（2）的取值范圍綜上可知，的取值范圍為;三角形法：橢圓（b2=5, a25）的左焦點為F，直線x=m于橢圓相交于點A,B,三角形FAB的周長的最大值為12， 則該橢圓的離心率為例1到兩定點，的距離之和