柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及推廣畢業(yè)論文

1、摘要本文主要介紹著名不等式柯西不等式的幾種證明方法及其在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.同時(shí)對(duì)其在其他領(lǐng)域的推廣進(jìn)行了簡(jiǎn)要論述，并且對(duì)其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些問(wèn)題進(jìn)行討論，對(duì)柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的取證并得到了證明，從而肯定了其在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.關(guān)鍵詞柯西（Cauchy）不等式；應(yīng)用函數(shù)最值；三角函數(shù)證明；不等式教學(xué)1引言中學(xué)教材和教輔讀物中有不少地方都有一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)的雛形和影子.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的教學(xué)一直是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用不等式同時(shí)，都會(huì)覺(jué)得解題中困難重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解.柯西不等式在

2、證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問(wèn)題具有重要的應(yīng)用.基于此，本文擬以柯西不等式為出發(fā)點(diǎn)，從其證明方法到推廣及應(yīng)用技巧等方面進(jìn)行總結(jié)和歸納，并簡(jiǎn)談其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.2柯西不等式的證明本文所說(shuō)的柯西不等式是指 (1)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.2.1 構(gòu)造二次函數(shù)證明首先 當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立.令當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知,構(gòu)造二次函數(shù)展開(kāi)得故的判別式,移項(xiàng)得,得證.2.2 向量法證明令則對(duì)向量有得當(dāng)且僅當(dāng)，即平行式等號(hào)成立.2.3 數(shù)學(xué)歸納法證明a) 當(dāng)n=1時(shí) 有，不等式成立.b) 當(dāng)n=2時(shí) 因?yàn)?，故有?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.c) 假設(shè)n=k時(shí)等式不成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

3、.d) 那么當(dāng)n=k+1時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.于是n=k+1時(shí)不等式成立.由a),b)c),d)可得對(duì)于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立.2.4 利用恒等式證明先用數(shù)學(xué)歸納法證明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對(duì)于兩組實(shí)數(shù)有柯西拉格朗日恒等式由實(shí)數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立.以上給出了柯西不等式的四種證法.利用四種不同的方法全面論證柯西不等式，能加深我們對(duì)柯西不等式的認(rèn)識(shí)和理解，為其在數(shù)學(xué)解題方面的研究提供了更完備的參考理論.3 柯西不等式的推廣命題1 若級(jí)數(shù)與收斂，則有不等式.證明 由 ，收斂 ，可得 因?yàn)槭諗浚?，從而有不等式成立.命題2 若級(jí)數(shù)與收斂，且對(duì)有，則對(duì)定義在上的任意連續(xù)函數(shù)有不等

4、式.證明 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)與、在 上可積，將區(qū)間等分，取n每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為，由積分的定義得令則與收斂，由柯西不等式得從而有不等式命題3 赫爾德不等式設(shè)滿足，則等號(hào)成立的充分必要條件是.證明 在證明時(shí)，對(duì)任何正數(shù)A和B，有.對(duì)凸函數(shù)有令代入上述不等式并對(duì)于k=1,2,n,把這n個(gè)不等式相加得即成立.等號(hào)成立的充分必要條件是 .我們知道，柯西不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支里都有著極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域有著不同的表現(xiàn)形式，對(duì)它的應(yīng)用可謂靈活多樣.柯西不等式在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中有著不 菲的價(jià)值，它的應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性.4 柯西不等式的應(yīng)用4.1 在不

5、等式的證明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接運(yùn)用到其他不等式的證明中，運(yùn)用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并按照柯西不等式的形式進(jìn)行探索.例1 設(shè)定義在R上的函數(shù)，若且，求證：.分析 要證明即證故只需證因?yàn)?2）又因且，故所以 即 所以 .例2 為互不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)于任意正整數(shù)n,有不等式.證明 由柯西不等式得又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù) ，故其中最小的數(shù)不小于1，次小的數(shù)不小于2，最大的不小于1，這樣就有，所以有所以有.例3 設(shè)，證明證明 由柯西不等式，對(duì)任意的n個(gè)實(shí)數(shù)，有于是=4.2 利用柯西不等式求最值例4 已知實(shí)數(shù)滿足,試求的最值.解 由柯西不等式得 (3)即，由條

6、件可得：解得當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.代入(3)式得時(shí)，；時(shí)，4.3 求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛的應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值.事實(shí)上，由可得如將上式左邊看做一個(gè)函數(shù)，而右邊值確定時(shí)，則可知的最大值與最小值分別是與且取最大值與最小值的充分必要條件是. 反過(guò)來(lái)，如果把柯西不等式右邊的一個(gè)因式或兩個(gè)的積當(dāng)作函數(shù)，而其他的因式已知時(shí)，則可求出此函數(shù)的最小值.例5 求函數(shù)的最大值.解 首先求得函數(shù)的定義域?yàn)椋寒?dāng)且僅當(dāng)即.例6 求函數(shù)的極值，其中是常數(shù).解 由柯西不等式故有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有極小值，極大值.例7 已知為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值.解 由柯西不等式知當(dāng)且僅當(dāng)，即代入得.則即當(dāng)時(shí)

7、分別為所求的最大值與最小值.4.4 求參數(shù)范圍例8 已知對(duì)于滿足等式的任意數(shù)，對(duì)恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 因?yàn)橐箤?duì)恒有，即.4.5 三角形及三角函數(shù)問(wèn)題例9 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑,證明：.證明 由柯西不等式得 記s為 的面積，則即有故不等式成立.例10 求證三角形三邊上正方形面積之和不小于該三角形面積的倍，即,其中為三角形三邊長(zhǎng)，S為三角形的面積.證明 由海輪-秦九韶面積公式：其中可得由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立.于是 變形得即故有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.例11 在三角形ABC中，證明 .證明 由柯西不等式即 (4)因?yàn)楣?（5）又因?yàn)橐蚨?（6）將（5）代入（4

8、）得 （7）將（6）代入（3）得 即.4.6 利用柯西不等式解方程例12 在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程.解 由柯西不等式，得 所以 （8）又 （9）將（8）式與聯(lián)立，則有.4.7 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書(shū)中，在線性回歸中有樣本相關(guān)系數(shù)并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大；越接近于0.則相關(guān)程度就越小.現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù).記，則，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，k為常數(shù)。點(diǎn)均在 直線上，當(dāng)時(shí)，即,而k為常數(shù)，k為常數(shù).點(diǎn)均在直線附近，所以越接近1，相關(guān)程度越大；當(dāng)時(shí)不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使點(diǎn)都在直線越接近于0，則相關(guān)程度越小.5 中學(xué)數(shù)學(xué)中柯西不等式

9、的應(yīng)用技巧在上文柯西不等式的應(yīng)用中可以看出,柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的不等式,而且它對(duì)初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用,利用它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問(wèn)題.下面我們以柯西不等式證明不等式為例，談?wù)劥祟?lèi)問(wèn)題的解題技巧.5.1 巧拆常數(shù)例13 設(shè)為整數(shù)且各不相等，求證：.分析 因?yàn)榫鶠檎詾樽C結(jié)論正確，只需要證而 又再進(jìn)行簡(jiǎn)單地變換就可以證明要證明的結(jié)論.5.2 重新安排某些項(xiàng)的次序例14 為非負(fù)數(shù)， 求證：分析 不等號(hào)左邊為兩個(gè)二項(xiàng)式的和，為非負(fù)數(shù)，,每個(gè)兩項(xiàng)式可以使用柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論.當(dāng)把兩個(gè)小括號(hào)的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了.5.3 改變結(jié)構(gòu)例

10、14 若a>b>c，求證：.分析 初見(jiàn)并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可能使用柯西不等式了結(jié)論改為.5.4 添項(xiàng)例15 求證：.分析 左端變形所以只需要證此式大于等于即可.參考文獻(xiàn)1王學(xué)功. 著名不等式.M.中國(guó)物資出版社.2南山. 柯西不等式與排序不等式.M.湖南教育出版社.3李長(zhǎng)明 周煥山. 初等數(shù)學(xué)研究M.高等教育出版社.4戴振強(qiáng).柯西不等式的應(yīng)用.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào).2006年03期.5羅增儒 .柯西不等式的證明與應(yīng)用(上)J.中學(xué)數(shù)學(xué).2008（11）.(上)J.青蘋(píng)果.2007（03）.7尹建堂.柯西不等式得應(yīng)用J.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).2009（01）.8王勇，周雪麗.柯

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13、nequality. J.JIPAM, J. Inequal. Pure Appl. Math.,2006,7(2).The application and popularization of Cauchy inequalityAbstract：This paper mainly introduces several famous inequalities - Cauchy the inequality proof method and its application in elementary mathematics problem solving. At the same time, the promotion in other fields are briefly discussed, and some problems in the middle school mathematics teaching are discussed, the application of Cauchy inequality in high school mathematics problem solving in the extensive forensic