第八章邊界條件

1、任何數(shù)值模擬都可以認為僅僅是在物理區(qū)域或系統(tǒng)的一部分中進行的。區(qū)域的斷層產(chǎn)生了人工邊界，在這個斷層中有我們處理的物理量。此外，還有暴露在流體中的自然邊界。邊界條件的數(shù)值處理需要特別注意。在實際的系統(tǒng)中處理不當模擬就會出現(xiàn)偏差。與此同時，穩(wěn)定性和求解方案中的合成速度同樣對數(shù)值模擬有消極的影響。下邊邊界條件的類型是我們在歐拉方程和N-S方程中數(shù)值計算最常見的幾種：·固體壁面·外表面的遠場和流體內(nèi)部流出或流出的表面·對稱面·平整切割和周期性邊界。·平板間的邊界這些邊界條件的處理問題在以后幾節(jié)中會進行詳細的介紹。對于文獻中進一步涉及的邊界條件，比如壁面

2、上的熱輻射或者是自由表面上的（熱輻射），讀者可以在節(jié)中了解。8.1 虛擬單元的概念在我們討論邊界條件時，我們需要提到虛擬單元（也可以被稱作虛擬點）這個概念。在規(guī)則的網(wǎng)格中這種方法非常的流行。然而，在不規(guī)則網(wǎng)格中，虛擬單元仍然有很多的優(yōu)點。虛擬單元是在物理區(qū)域外部附加層上的一些網(wǎng)格點。這個可以由圖中的二維規(guī)則網(wǎng)格中看到。正如我們看到的，整個計算區(qū)域被兩層虛擬單元包圍著（由虛線標出），虛擬單元（點）通常不會像區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格一樣產(chǎn)生（除過多平板的網(wǎng)格）。盡管它仍然有幾何形狀，比如體積或者表面的矢量，但是它僅僅是虛擬的。利用虛擬單元可以簡化計算沿邊界的通量，梯度，散度等等。這是由于在邊界上可以將空間離散

3、的模型進行擴展。正如圖中我們看到的，在物理區(qū)域內(nèi)同樣可以進行離散。因此，我們可以在所有的“物理”網(wǎng)格點中求解控制方程。這種方法可以使離散工作非常簡單。此外，所有規(guī)則的網(wǎng)格點可以存在在一個單獨的區(qū)域內(nèi)，這在矢量計算中非常很有用。虛擬單元不但包含有守恒變量，同時也有幾何量。很明顯的是，虛擬單元層必須完全覆蓋物理區(qū)域外。幾何量通常由邊界的控制體積來求得。在多網(wǎng)格平板中（節(jié)），所有的流體變量和幾何變量可以從相鄰的平板求得。圖中灰色的虛擬單元產(chǎn)生了一個問題，由于不清楚怎么設置它的值（如果沒有相鄰網(wǎng)格板），通過環(huán)繞形的離散模型，我們不需要知道它的值。但是，在計算梯度（粘性通量見節(jié)）或者在多網(wǎng)格中計算轉移量

4、時就很有比必要知道它的值。通常，如圖中用箭頭表示的一樣，相鄰的“規(guī)則的”虛擬單元的平均值是很有用的。82固體壁面非粘性流動在非粘性流動中，流體流過表面，由于沒有摩擦力，速度矢量與壁面相切，與就是說在壁面的法線方向沒有作用力。即：在壁面上，（）n表示壁面上的單位法相矢量。因此，相對應的速度V等于0。即，對流通量的矢量簡化成只有壓力項：（）其中Pw為壁面壓力。規(guī)則的單元中心方案在以單元中心的方案中，在單元的質心可以求出壓力。但是，在等式（）中，邊界表面單元的Pw需要求解出。我們可以很容易的通過內(nèi)部區(qū)域推導出壁面的壓力。考慮到圖，我們可以簡單的設Pw=P2。通過任一個兩兩相連點，我們可以取得較高的精

5、確度。（）或者一個三點相連的推導公式是（）為了解釋網(wǎng)格的延伸，到壁面的距離可以替代常數(shù)系數(shù)。【1】上式的推導公式和沒有涉及到網(wǎng)格和表面的幾何形狀。一個可供選擇的方法Rizzi發(fā)明的被稱作為法向動量的關系。它是基于在非粘性流動中，壁面是流線型的。在式中沿著流線型壁面的法線流動方向的導數(shù)為0。并且動量方程可以替換成如下的公式：（）等式（）包括密度，速度和壁面法線方向的壓力。法向動量在【1】中給出了精確的結果。但是在復雜的幾何表面，法向動量的數(shù)值求解存在著問題。推導中詳細的描述和精確的比較可以在文獻【1】中找到。虛擬單元中守恒變量的值在壁面內(nèi)部能夠被線性的推導出：（）公式（）中的參數(shù)和圖中的相對應。

6、如果虛擬單元在空間上離散后可以被利用，那么對流通量的計算就可以和公式（）一致。規(guī)則的單元頂點的方案通過重疊的控制體積（見），對單元頂點的離散可以直接由方程（）在邊界條件上應用。壁面的對流通量可以通過公式（）來求解。壁面的壓力Pw可以通過計算平均節(jié)點的值來表示，二維公式節(jié)點的值可以通過（）計算，三維公式節(jié)點的值可以通過（）計算。分類公式（二維公式中的（）現(xiàn)在僅僅解釋了兩個單元（在三維中是4個）。在重疊的控制體積內(nèi)，單元頂點的值可以通過許多不同的方法求解。一種方法是通過公式（）將壁面上每個表面的控制體積分離。因此，通過圖，我們可以寫出：（）公式（）中的壓力和可以通過線性的插值表示：（）對應的三維公

7、式可以表示未劃分的網(wǎng)格。另外一種可能的方法是在各自的壁面節(jié)點利用公式（）來進行計算。壁面的壓力Pw可以簡單的設它等于P2。單位法向矢量可以通過節(jié)點2上所有的面的法向矢量的平均值來表示。這種方法要求對速度矢量進行修正。通過時間步進的求解，壁面上的速度矢量被投影到切平面。【3】【4】（）是平均單位法向矢量。通過這種方法，流動將會變成與壁面相切。為了對虛擬點進行賦值，在內(nèi)部流場中，利用與公式（）相關的公式推導守恒變量是非常有效的。不規(guī)則的以單元為中心的方案公式（）中壁面的邊界條件也同樣適用于未構建以單元為中心的方案。如果邊界單元是四面體、六面體或者是棱形（壁面上有三角形的表面），壓力可以通過公式（）

8、來推導。相鄰的單元（圖中的3號）可以通過中表面的數(shù)值來代替。對于三角形或者四面體單元，在文獻【5】【6】中通過一層虛擬單元來表示。壁面上邊界單元的速度矢量可以表示虛擬單元中速度分量。比如：在圖中的虛擬單元1速度可以如下來表示：（）在這里是推導的速度，表示的是壁面的單位法向矢量。我們假設虛擬單元中的壓力和密度與邊界單元的值相等。（即就是）。規(guī)則的雙重中線的方案公式（）中的邊界條件需要更多的注意離散化的雙重中線問題。圖和圖分別表示了二維和三維的情況。公式（）中的對流通量可以在壁面上的每一個控制體積上的表面分開來計算。這種方法與第一種構建單元頂點的方案相同。對于一個四面體單元（就像圖中的1-3-4-

9、5），壓力可以通過公式來代替。對于六面體，棱形或者棱錐形，控制體積的表面是四邊形（就像圖的面1-4-5-6），推導的公式可以如下來表示：（）如果邊界元素是四面體（或者二維中的三角形），壁面的壓力應該通過有限體積法來計算。【7】在壁面的1-2部分，例如，表面的壓力可以通過如下的公式計算：（）對于四面體，例如圖中的壁面1-2-3，壓力可以如下表示：（）8.2.2 粘性流動對于經(jīng)過固體壁面的粘性流體，介于表面和流體的中垂直于表面的為零。因此，我們我們可以稱之為非滑動的邊界條件。在一個固定的壁面，速度分量在表面變?yōu)椋海ǎτ诜腔瑒拥倪吔鐥l件，有兩個基本的結果。第一點，我們不需要解壁面上的動量方程，這個

10、在單元頂點方案中已經(jīng)應用。第二點，對流通量通過非滑動的壁面的公式已經(jīng)在公式（）中給出，并且在公式（）中的項已經(jīng)簡化成，因此，對流通量中的壁面壓力同樣可以通過非粘性流動來求得。但是，虛擬的單元處理的方法不同。以單元為中心的方案公式（）中非滑動邊界條件的處理可以通過利用虛擬單元來簡化。在一個絕熱的壁面（沒有熱通量通過壁面），我們可以?。ㄈ鐖D）（）同樣的對于單元0和3。方法同樣適用于構建的以單元為中心的方案的和非構建的以單元為中心的方案（參考文獻【6】）。如果壁面的溫度已知，速度分量仍然像方程（）中一樣是相反的。利用壁面的溫度可以將周圍的溫度線性的表示。由于壓力的梯度垂直于壁面并且為零，邊界元素的壓

11、力同樣可以用虛擬單元來表示（例如）。虛擬單元中的密度和總能量可以通過推導的值來計算。單元頂點的方案由于動量方程不需要求解，壁面上的對流通量沒有作用。公式（）中的粘性通量僅僅對能量方程中垂直于壁面的溫度梯度有作用。對于一個絕熱的壁面，為零。因此，我們沒有必要求解任何壁面上的對流或者粘性通量。為了防止避免節(jié)點上非零速度分量的產(chǎn)生，動量方程中剩余的項都為零。在已知壁面溫度的情況下，我們可以直接設壁面（例如圖中的節(jié)點）的總能量為（假設為理想氣體） (8.16)在這里，表示給定的壁面溫度。剩余的動量和能量方程都設為零。對于未建立一單元為中心的方案同樣適用。另外一種方法，對于一些應用來說比較簡略，并且根本

12、沒有解決壁面的控制方程。同樣的，密度和能量可以直接簡化為和（）方程（）中假設垂直于壁面沒有壓力梯度（因此）。由于所有的守恒變量都是一定的，剩余的所有的方程都等于零。這個方法同樣適用于未構建的網(wǎng)格。但是，壓力的推導在三角形或四邊形網(wǎng)格中需要一些附加條件。如果壁面是絕緣的，虛擬單元中的值如下所示：（）以上同樣適用于節(jié)點0和4.如果壁面的溫度已知，虛擬單元中的溫度可以從內(nèi)部推導出：（）按照圖所示，速度分量和公式（）中的同樣是相反的。密度和能量可以通過內(nèi)部的溫度值和壓力來算出。8.3 遠場外部流體通過機翼，翅膀，汽車和其它另外的結構數(shù)值模擬通常是在一個有限的區(qū)域內(nèi)傳導。正是如此，人為加上的無限遠的邊界

13、條件就很有必要。無限遠邊界條件的數(shù)值表示通常要滿足兩個基本的要求。第一，與無限的區(qū)域相比較，無限遠處的橫截面應該對流體的求解沒有顯著的影響。第二，任何流出的擾動不能對原來的流場有影響。由于它們具有拋物線的特點，低于或接近于音速的流體通常對遠場邊界條件比較敏感。處理不當?shù)脑捑蜁档头€(wěn)定狀態(tài)流動下的集中。此外，解的精確度也會受到影響。在人為規(guī)定的邊界上求解吸收流出波浪的方法有很多?！?0】【15】。我們在文獻【16】中可以找到以前所學的非反映條件的邊界。在以下兩個部分中，我們將討論由Whitfield 和Janus提出的特征變量的概念，我們將在遠場邊界條件下討論升力體。特征變量的概念通過雅克比對流

14、通量的特征值，在特征變量的條件下，信息通常在計算區(qū)域內(nèi)外進行傳遞。比如，在亞音速的來流條件下有四個流進的特性（在三維情況下）和一個流出的特性。對于亞音速去流時情況正好相反。根據(jù)Kress的一維理論，邊界外邊的特性應該等于內(nèi)部的內(nèi)部的特性。剩余的條件應該決定于區(qū)域內(nèi)部的解。Whitfield 和Janus12的方法是基于垂直于壁面的一維歐拉方程的特性。這種方法可以很好的處理大量已構建的網(wǎng)格和未構建的網(wǎng)格問題。它不但適用于遠場條件，也同樣適用于非粘性固體壁面。在遠場條件下兩個基本的流動情形可以在圖中看到。流體可以自由的進出所限定的區(qū)域。因此，根據(jù)當?shù)氐鸟R赫數(shù)，可以得到四種不同的遠場條件：1.超音速

15、來流2.超音速去流3.亞音速來流4.亞音速去流超音速來流對于超音速來流，所有的特征值都有相同的符號。由于流體進入一個物理區(qū)域，邊界上的守恒變量僅僅取決于自由液面。因此， (8.20)的值主要與已知的馬赫數(shù)和兩個流體的角度有關。（攻角和邊切角）超音速去流在這種情況下，所有的特征值同樣有相同的符號。但是，流體流出物理區(qū)域并且所有的守恒變量決定于區(qū)域內(nèi)的解。這里可以設： (8.21)亞音速來流這里，物理區(qū)域內(nèi)有四個特征變量區(qū)域外有一個。因此，根據(jù)自由液面的值來計算四個特征變量。區(qū)域外的一個特征變量可以通過物理區(qū)域的內(nèi)部四個變量進行推導。邊界條件如下所示： (8.22)這里，代表初始狀態(tài)，初始狀態(tài)通常

16、等于內(nèi)部的點（如圖中的d點）。A點的值取決于自由液面的狀態(tài)。亞音速去流在亞音速去流的情況下，四個流體變量（密度和三個速度分量）可以通過物理區(qū)域內(nèi)部進行推導。剩余的第五個變量（壓力）可以通過外部得出。遠場邊界的初始變量可以通過文獻【12】得到： (8.23)Pa是靜態(tài)壓力。虛擬單元中的物理特性可以從狀態(tài)b和d線性的推導。8.3.2升力體的修正上面在遠場邊界條件下假定是沒有循環(huán)的，這個對于升力體在亞音速和接近聲速的情況下是不正確的。正式由于這樣的原因，遠場邊界將不得不遠離物體。否則，流體的求解將不太準確。如果自由液面的流動包括一個單獨的點的影響（三維中的馬蹄形的頂點），那么到遠場的距離就會大大的縮

17、短（一個數(shù)量級）。這個頂點可以設為升力體的中心。接下來，我們將會在二維和三維中對頂點進行修正。二維中頂點的修正我們在這里講的方法是參考的文獻【18】。自由液面的速度修正分量可以用以下的表達式表示（假設流體可以壓縮）：（）是環(huán)量，是極坐標中遠場的點是攻角，是當?shù)伛R赫數(shù)，特別的，環(huán)量可以有下式求得： (8.25)通過利用庫塔條件，在方程（），表示機翼的弦長，是升力系數(shù)，可以通過表面壓力求得。公式（）中的極坐標可以表示如下： (8.26)這里和是坐標的初始點（落在頂點上，比如在弦的1/4處）。修正的自由液面的壓力表示為： (8.27)其中，修正的自由液面的密度可以通過狀態(tài)方程來表示： (8.28)修

18、正量帶替公式（）或者（）中的。以上的頂點修正公式（）（）只有在亞音速的條件下才能使用。但是，對于自由液面條件下的修正同樣適用于接近音速的情況下。這種情況在圖中可以說明。在圖中，升力系數(shù)到遠場邊界的距離是已知的。遠場的半徑可以設為5%，20%，50%和99%的弦長。正如我們看到的，沒有用頂點修正的仿真和遠場的距離相對獨立。相反的是，在距離為20時，計算的結果比較的精確。這樣導致了網(wǎng)格單元/點的減少。這一點在文獻【19】中利用高階項來進行頂點修正來說明，遠場邊界能夠僅僅允許5%弦長的精度。三維中的頂點修正機翼中關于遠場邊界的影響可以近似的認為是馬蹄形的頂點。修訂的自由液面的速度分量可以從文獻【20

19、】【21】得到： (8.29)其中表示環(huán)量，表示笛卡爾坐標系中的遠場點，l表示一半的跨度。此外，在公式（）中，假設流體在x軸的正方向，機翼沿著z軸放置。公式（）中的A，B和C如下所示： (8.30)簡寫成如下的式子： (8.31)其中是當?shù)氐鸟R赫數(shù)。環(huán)量可以通過式（）來計算。A表示實際的弦線。修正值壓力和密度可以分別從公式（）和（）來求得。公式（）或（）中的量可以被它們的修正值代替。公式（）中修正的速度分量的表達式變成了無限的，其中頂點的線通過流出的邊界。這些點可以表示為：并且。為了避免出現(xiàn)數(shù)值奇點，在文獻【21】中對值進行了限制在公式（）中是對于四分之一的翼展，例如，這種測量在沿著頂點線時降

20、低了距離的修正速度的精度。文獻【21】中的數(shù)值結果表示的是按照公式（）中提供的方法，升力和拉力系數(shù)精度都會降低。通過實驗發(fā)現(xiàn)距離遠場邊界7*l時兩個系數(shù)會得到精確的值。8.4入口和出口的邊界基于N-S方程下有很多的方法處理出口和入口的邊界條件。在這里，我們主要關注在渦輪機械應用中發(fā)展起來的方法。適合于非反映的進口和入口邊界條件在文獻【27】-【30】中有所描述。Giles的文章【31】和Hirsch和Verhoff32提出了歐拉方程形式的非反映邊界條件，這個邊界條件是介于主體和進口或者出口平面的一段小小的距離。在確定的條件下，進口和出口的邊界是周期性的，它與速度、壓力以及溫度的梯度有關。這種類

21、型的流體偶爾可以碰到，比如，在熱交換的仿真中。周期性的進口和出口的邊界條件的問題在文獻【34】-【36】里關于不同頻道的LES（發(fā)射脫離系統(tǒng)）中可以找到。亞音速的進口一個普通的公式包括總壓力，總溫度和兩個流動角。一個特征變量從流體區(qū)域內(nèi)可以推導出來。一個可以通過黎曼不變式解出，其定義如下： (8.32)參數(shù)d表示區(qū)域內(nèi)部的狀態(tài)（如圖）。黎曼不變式用來決定是絕對速度還是邊界上的速度。通過實驗可以發(fā)現(xiàn)，選擇聲音的速度可以得到一個較穩(wěn)定結果，特別是在低馬赫數(shù)下，因此，我們設 (8.33)是與邊界相關的流動角，是聲音的滯止速度，因此： (8.34)并且 (8.35)這里表示的是在內(nèi)部點d的合速度（圖）

22、。公式（）中的單位法向矢量垂直區(qū)域向外。一些靜態(tài)的值比如溫度，壓力，密度或者邊界上的絕對速度如下所示： (8.36)和是已知的總的溫度和壓力，和分別代表特定的氣體常數(shù)和在常壓下的熱系數(shù)。進口的速度分量可以將沿著兩個流體角度進行分解。（在二維中是一個）亞音速的出口在渦輪機械中，靜態(tài)壓力通常用來描述出口。亞音速下的出口邊界可以由公式（）中流出的情況做相同的處理。僅僅是環(huán)境壓力Pa換成了靜態(tài)出口壓力。在虛擬單元中的變量可以通過邊界線性推導以及內(nèi)部的d點。8.5對稱平面如果流體是線性或者平面對稱，第一種情況下肯定是沒有通量穿過邊界。也就是說垂直于對稱邊界的速度為零。此外，下面的梯度消失：·垂

23、直于邊界的標量的梯度·垂直于邊界的切向速度的梯度·沿著邊界的法向速度的梯度（由于）我們可以把上面的條件寫成如下式所示：（）式中，U表示的是標量的變量，表示的切于對稱邊界的矢量。以單元為中心的方案對稱邊界條件的處理可以通過虛擬單元來進行大大的簡化。虛擬單元中的流體變量可以通過反映的單元來表示。這個就意味著虛擬單元中例如密度和壓力的標量和相反的內(nèi)部單元是相同的。例如：（）對應的符號參考圖。速度分量如公式（）中的邊界上表示的一樣。虛擬單元中的法向速度的法向梯度與對稱的單元的法向梯度相等，但是符號相反。單元頂點的方案（雙重控制體）兩種不同的方法可以解決這個問題，一種可能性是通過反射

24、邊界的網(wǎng)格來建立缺失的半個控制體積。通量和梯度通過在內(nèi)部利用反映出的流體變量來計算（同上）。第二種方法是計算半個控制體積的通量（但是不是沿著邊界）。剩余的垂直于對稱平面的分量都用零來表示。同樣對于貼于邊界的控制體積其表面的法向矢量可以進行修正。（如圖中的點）修正包括去點所有表面矢量的分量，其分量垂直于對稱平面。梯度同樣可以由公式（）進行修正。8.6 坐標切割這種情況僅僅是在建成的網(wǎng)格中遇到。坐標切割表示的是人為的，非物理的邊界，它是一條加在網(wǎng)格點上的線（三維中是個平面）它有不同的計算坐標，但是有相同的物理方位，這就意味著這個網(wǎng)格與自己重疊。正如我們將在中看到的，坐標切割在被稱作拓撲網(wǎng)格中出現(xiàn)。

25、流體變量和它們的梯度將通過切割連續(xù)。最好的處理切割邊界條件的方法是利用虛擬單元。這種情況在圖進行了描述。正如我們看到的，這里的虛擬層不是虛擬的，但是它們與切面的反面的網(wǎng)格是一致的，或者在虛擬的點可以直接從反向的單元得到。在以單元為中心的方案中，通過邊界單元表面的通量可以像內(nèi)部流場一樣精確的計算。切面邊界由兩種不同的以單元為中心的方案來解決。一種是在切面產(chǎn)生一個完整的控制體積。（第二部分可以通過圖的虛線來表示）。利用虛擬點，通量可以當作區(qū)域內(nèi)的點進行求解。第二種方法是組合每一個分開的半個控制體積。在圖點2和點5剩余的控制體是加上的。圖中點2和點5中很好的組合起來非常重要。8.7 周期性邊界有一些

26、關于流場對一個或者多個坐標方向是周期性變化的實際應用。在這種情況下，只要僅僅模擬出重復地區(qū)中的一個就可以很好的解決問題。剩余的物理區(qū)域通過修正使其符合周期性的邊界條件。我們可以區(qū)分兩種基本的周期性的邊界。第一個是周期性的移動。這個意味著通過坐標的移動一個周期性的邊界可以轉移到另一個邊界。第二種類型是周期性的邊界，它是由于坐標的旋轉。因此我們可以稱之為旋轉的周期性。在下面，我們將會求解以單元為中心的周期性的邊界條件以及和單元頂點方案的周期性邊界條件。我們同樣需要考慮旋轉的周期性。進一步關于周期性邊界的細節(jié)可以在文獻【37】【38】中找到。以單元為中心的方案利用虛擬單元的概念可以對周期性邊界條件進

27、行簡化。我們可以從表示渦輪機械的圖為例。在垂直方向，渦輪機械的結構是周期性的。陰影中的單元1和2分別放在較低和較高的周期性邊界。由于周期性的原因，第一個虛擬單元層與相反的周期邊界的邊界單元相一致。第二層虛擬單元與第二層的物理單元相一致等等等等。因此，所有在虛擬單元中的標量值（密度，壓力）都對應了相應的物理單元。例如：(8.39)矢量值（速度，梯度）同樣在移動性的周期性變化中具有相同的關系。旋轉周期邊界需要一個矢量變量的修正。這個將在后面進行討論。單元頂點的方案（雙重控制體積）這種情況在圖中進行了描述。一種處理周期性邊界的方法是由圍在陰影控制體積的表面組成的合成通量來解決。剩余的在點1和點2合起

28、來組成完整的凈通量，因此： (8.40)點1和點2的部分控制體積也應該加上。在移動性的周期變化邊界下，反相邊界剩余的控制體沒有變化。例如：于是就有，旋轉性的周期變化邊界在利用公式（）之前需要對動量方程進行變化。旋轉性周期旋轉性周期的情況是基于旋轉的坐標系統(tǒng)。因此，所有的矢量項，例如速度或者標量的梯度都會隨著一同轉換。標量項例如壓力或者密度對于坐標的旋轉是不變的。如果我們假設旋轉坐標和x軸平行，旋轉矩陣變?yōu)椋?(8.41)介于周期性邊界A和B的角順時針是正的。因此，比如，速度矢量從邊界A移動到B可以寫成（圖中的單元和圖中的點） (8.42)很容易看出x軸分量通過旋轉沒有變化。因此。所有的流體量的

29、梯度以相同的方式轉移。正如上面陳述的，在以單元為頂點的方案中，剩余的動量方程在使用公式（）必須要進行修正。式（）中的旋轉矩陣的應用可以變成如下的公式： (8.43)圖（）的上標表示的是三個動量方程。8.8 介于平板網(wǎng)格的界面在討論節(jié)中構建的網(wǎng)格進行空間離散時，很明顯通常它可能在復雜的幾何區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生一個單獨的網(wǎng)格。（如圖）。我們提出兩種可能的方案來解決這個問題。第一種方法是多平板方法，第二種是技術。在下文，我們將主要闡述多平板方法。關于多平板進一步的討論，讀者可以參考文獻【39】-【45】。文獻【46】對多平板方法很好的進行了介紹。更多的關于技術的可以在文獻【47】-【51】，這里我們不做討論。

30、在多平板方法中，物理區(qū)域被分割成確定數(shù)量的虛擬部分。因此，計算區(qū)域同樣分成了相同的平板數(shù)?？傮w上，求解一個特定的平板的物理量需要流場在相鄰的一個或多個平板。因此，我們需要提供一個可以有效的在平板之間進行信息交換的數(shù)據(jù)結構。如果不同的處理器來解決平板的控制方程的話，這個結構也要求其可以交流。第一部分的數(shù)據(jù)結構包括平板邊界的編號。圖表示了一種特殊的編號方法。這種編號的思想總結起來如下所示：boundary 1: =IBEGboundary 2: =IENDboundary 3: j=JBEGboundary 4: j =JENDboundary 5: k =KBEGboundary 6: k =KEND所有的平板用相同的編號方案是非常重要的。計算區(qū)域中的網(wǎng)格點指數(shù)i，j，k定義如下：IBEGiIENDJBEGjJENDKBEGkKEND單元的指數(shù)IJK需要以相同的方法定義為以單元為中心的方案。由于多平板方法經(jīng)常通過虛擬的單元來解決，因此物理單元在開始或者結束時將會有一定的偏移（見圖）每一個平板的邊界被分成一些不重疊的小塊。在相同的邊界條件下，這種分類可以規(guī)范不同的邊界條件。