高考真題——理科數(shù)學(xué)北京卷

1、數(shù) 學(xué)（理）（北京卷）一選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1已知集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）（A）（B）（C）（D）4“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于。若第一個(gè)單音的頻率為，則第八個(gè)單音的頻

2、率為（ ）（A）（B）（C）（D）5某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）46設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（ ）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（ ）（A）1 （B）2 （C） 3 （D）48設(shè)集合，則（ ）（A）對任意實(shí)數(shù)， （B）對任意實(shí)數(shù)，（C）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， （D）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，二填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9設(shè)是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式為_。10在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則_。11設(shè)函數(shù)，若

3、對任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為_。12若滿足，則的最小值是_。13能說明“若對任意的都成立，則在上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_。14已知橢圓：，雙曲線：。若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為_；雙曲線的離心率為_。三解答題（共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15（本小題13分）在中，。求；求邊上的高。16（本小題13分）如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點(diǎn)，。求證：平面；求二面角的余弦值；證明：直線與平面相交。電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率17（

4、本小題13分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到右表。好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立。從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第類電影得到人們喜歡，“”表示第類電影沒有得到人們喜歡（）。寫出方差的大小關(guān)系。18（本小題13分）設(shè)函數(shù)。若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；若在處取得極小值，求的取值范圍。19（本小題14分）已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線

5、與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于。求直線的斜率的取值范圍；設(shè)為原點(diǎn)，求證：為定值。20（本小題14分）設(shè)為正整數(shù)，集合。對于集合中的任意元素和，記。當(dāng)時(shí)，若，求和的值；當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，是偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個(gè)不同的元素，。寫出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由。 2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）解答一選擇題ADBDC CCD二填空題9；10；11；123；13（答案不唯一）；1415解：由題，結(jié)合正弦定理可得。因，故，從而；由題，故邊上的高為

6、。16解：在三棱柱中，因平面，故四邊形為矩形。又分別為的中點(diǎn)，故。因，故，所以平面；由知，。又平面，故平面。因平面，故。如圖建立空間直角坐稱系，由題得，。故，。設(shè)為平面的法向量，則，即，取得。又是平面的法向量，故。由圖可知二面角為鈍角，故其余弦值為；因，故。因，且，故平面的法向量與不垂直，從而與平面不平行且不在平面內(nèi)，所以與平面相交。17解：由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是，故所求概率為；設(shè)事件為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，事件為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，故所求概率為。由題意知：的估計(jì)為，的估計(jì)為。故所求概率估計(jì)為；。18解：由題，故。由題知，故。此時(shí)，所以；由知。若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在處取得極小值；若，則當(dāng)時(shí)，故，因此不是的極小值點(diǎn)。綜上可知，。19解：由題，故，因此：。由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，由得。依題意，解得或。又與軸相交，故直線不過點(diǎn)，從而。所以直線的斜率的取值范圍是；設(shè)，由知，故，。由題易知：，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。由，得，。所以，故為定值。20解：由題，；設(shè)，則。由題知，且為奇數(shù)，故中1的個(gè)數(shù)為1或3，所以。將上述集合中的元素分成如下四組：；。經(jīng)驗(yàn)證，對于每組中兩個(gè)元素，均有。所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合的元素，因此集合中元素的個(gè)數(shù)不超過4。又集合