分形概念及其在構(gòu)造地質(zhì)研究中的應(yīng)用

1、分形理論作為研究不規(guī)則形體的自相似性及其 復(fù)雜程度的理論 , 為構(gòu)造地質(zhì)學(xué)的研究提供了一種 新方法 , 拓寬了構(gòu)造地質(zhì)的研究領(lǐng)域 , 分維值作為評 價(jià)斷裂復(fù)雜程度的指標(biāo)具有更為明顯的優(yōu)越性。近 年來 , 隨著分形幾何學(xué)等非線性理論的發(fā)展及其在 地質(zhì)學(xué)中的廣泛應(yīng)用 , 為斷裂構(gòu)造空間分布和幾何 結(jié)構(gòu)特征的定量表征提供了新的手段 , 同時(shí)也為斷 裂構(gòu)造及其與油氣空間分布關(guān)系研究提供了新的思 路。1分形的概念及分形維數(shù)的計(jì)算方法1.1分形的定義分形理論產(chǎn)生于 20世紀(jì) 70年代 , 是非線性科 學(xué)的一個分支。 最初 , 分形理論是研究自然界和非線 性系統(tǒng)中的不光滑和不規(guī)則的幾何形體 , 后來人們 發(fā)

2、現(xiàn)在人類的社會經(jīng)濟(jì)活動中存在大量的現(xiàn)象也可 以用分形理論來解釋。 至于什么是分形 , 目前對分形 還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義 , 只能給出描述性的定義 , 粗 略地說 , 分形是對沒有特征長度 (所考慮幾何對象所 含有的各種長度的代表者 但具有一定意義下的自 相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱3, 4。原則地說 :分形是一些簡單空間上的一些 " 復(fù) 雜 " 的點(diǎn)的集合 , 這種集合具有某些特殊性質(zhì) , 首先 它是所在空間的緊子集 , 并且具有下面列出的典型 的幾何性質(zhì)的部分或全部。 分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié) , 或者說它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu) ; 分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述 , 它既不

3、是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡 , 也不是某些簡單方 程的解集 ; 分形集具有某種自相似的形式 , 可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似 ; 一般 , 按本章節(jié)的方式定期義的分形集的“ 分 形維數(shù)” , 嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù) ; 在大多數(shù)令人感興趣的情形下 , 分形集由非常簡單的方法定義 , 可以變換的迭代產(chǎn)生。分形集是一類不能用經(jīng)典幾何方法描述的 “ 不 規(guī)則” 集 , 它們基本上滿足 , 但在自相似程度 上可以有很大的差別。 而分形幾何正是研究所謂“ 簡 單” 空間上這樣一類“ 復(fù)雜” 子集的一門新興的數(shù)學(xué) 分支 3。1.2分形維數(shù)實(shí)際上 , 分?jǐn)?shù)維并不是近些年才有的新概念。 早 在 1919

4、年 , 德國數(shù)學(xué)家 Hausdorff 就提出了維數(shù)應(yīng) 該可以取分?jǐn)?shù)的思想 , 并創(chuàng)立了以他名字命名的測 度和維數(shù)。 分形維數(shù)是定量刻畫分形特征的參數(shù) , 在 一般情況下是一個分?jǐn)?shù) (包括整數(shù) , 它表征了分形 體的復(fù)雜程度 , 分形維數(shù)越大 , 其客體就越復(fù)雜 , 反 之亦然。至今數(shù)學(xué)家們已經(jīng)展出了十多種不同的維 數(shù) , 如 Hausdorff 維數(shù)、 相似維數(shù)、 盒維數(shù)、 容量維數(shù)、 信息維數(shù)、 關(guān)聯(lián)維數(shù)、 填充維數(shù)、 Lyapunov 維數(shù)等等5, 6。在斷裂構(gòu)造研究中應(yīng)用較為廣泛的主要是具有自相似性的分形 , 即線性分形。 分維 (也叫分形維 是 用來定量描述這種自相似性的參數(shù) , 有

5、許多種不同 的定義 , 但在斷裂構(gòu)造的研究中 , 主要采用下述三種 定義 , 即容量維、 信息維、 相似維 5。1.2.1容量維數(shù)設(shè) (x , d 為 一 距 離 空 間 , 4(x 為 非 空 緊 子 集 , 對每一 ->0, 設(shè) N (A , 表示覆蓋 A 所需要的半 分形概念及其在構(gòu)造地質(zhì)研究中的應(yīng)用張飛燕 , 陳曉山(中國礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院 , 江蘇 徐州 221008摘 要 :分形理論是現(xiàn)代非線性科學(xué)中的一個重要的分支 , 是科學(xué)研究中一種重要的數(shù)學(xué)工具和手段。 分維值可以定 量描述斷裂分布的復(fù)雜性 , 它是斷層數(shù)量、 規(guī)模、 發(fā)育程度、 組合方式的綜合體現(xiàn) , 分維值

6、越高 , 則構(gòu)造越復(fù)雜 , 對煤 礦生產(chǎn)的影響越大。 簡述了分形基本概念和常用分形維數(shù)的幾種計(jì)算方法 , 通過實(shí)例重點(diǎn)介紹了分形理論在油氣構(gòu) 造和礦井地質(zhì)構(gòu)造研究領(lǐng)域中的應(yīng)用狀況。 關(guān)鍵詞 :分形理論 ; 分形維數(shù) ; 構(gòu)造地質(zhì) ; 應(yīng)用狀況 中圖分類號 :O29文獻(xiàn)標(biāo)識碼 :A作者簡介 :張飛燕 (1983 , 女 , 山東省臨沂市人 , 中國礦業(yè)大學(xué)研究生 , 助教 , 從事構(gòu)造地質(zhì)方面的研究。收稿日期 :2007-12-12責(zé)任編輯 :唐錦秀文章編號 :1674-1803(2008 03-0016-04中 國 煤 炭 地 質(zhì)COAL GEOLOGY OF CHINAVol.20No.3M

7、ar. 2008第 20卷 3期 2008年 3月3期徑為 的最少的閉球個數(shù) , 如果下式存在 :D c (A =lim 0lnN (A , ln (#則稱 Dc 為 A 的容量維數(shù)。容量維數(shù)又稱為柯爾莫哥諾夫容量維 , 它首先 由 著 名 數(shù) 學(xué) 家 柯 爾 莫 哥 諾 夫 定 義 的 。 此 定 義 與Hausdorff 維數(shù)很相似。所不同的是 :假定所考慮的圖形是 d 維空間 R d 的有界集合。 容量維數(shù)是用半徑為 的同樣大小的 d 維球覆蓋 A 在 HaMsdorff 維數(shù) 中 , 覆蓋 A 的球不是同樣大小的 , 一般考慮大小比 還小的任意球。 所以容量維數(shù)是 Hausdorff

8、維數(shù)的特 殊情況一般 , Dc>DH 。1.2.2信息維數(shù)下面的定義是反映點(diǎn)集在分布上的信息。令 P i( 表示落在第 I 個半徑為 的球內(nèi)的概率。 總信息量可由下式求得 :I (=N (g i=1$P i ( ln 1i 其中 , N (g i $P i ( =1, N ( 為總的球數(shù) , 這個量也被稱為熵。 I (是 的函數(shù)。 令 A 為某一集合 , 定義 D l (A =lim 0I (ln (&=lim 0N (g i=1$P i(lnP i( ln ( ( *+ , -為 A 的信息維數(shù)。假如落入每一個球的粒子概 率相同 , 即 P i (=1, 則 I ( =lnN

9、( , 信息維數(shù) 即容量維數(shù) , 一般 D c D l 。 信息維數(shù)可以看作容量維 數(shù)的一個推廣。1.2.3相似維數(shù)像 Koch 曲線、 Sierpinski 墊片和 Cantor 集這些集合 , 其任意局部的形狀與整體是相似的 , 即只要將 每一個局部放大一定倍數(shù)就可得到與整體一致的圖 形 , 這種集稱為自相似集。若一個集 E 由 m 個與它相似的部分組成 , 且每 個部分與整體的相似比為 r , 則 E 的相似維數(shù)定義 為 :D s (E =lnm/ln (1/r =-lnm/lnr 。2分形理論在構(gòu)造地質(zhì)研究中的應(yīng)用地質(zhì)現(xiàn)象本身是不規(guī)則現(xiàn)象 , 構(gòu)造格架等具有 相似性 , 所以分形理論在

10、構(gòu)造地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用將顯 示出廣闊的前景。2.1分形理論在油氣構(gòu)造地質(zhì)中的應(yīng)用近些年來 , 石油科技工作者積極地運(yùn)用分形理論的概念和方法分形研究實(shí)際問題 , 取得了許多有 學(xué)術(shù)價(jià)值和顯著經(jīng)濟(jì)效益的成果。實(shí)際研究結(jié)果表 明 , 油氣藏體積頻度滿足冪律規(guī)律 , 具有相似性的 特點(diǎn)為分形分布。平田 (1987年 通過計(jì)算證明 , 巖石破裂時(shí) , 空 間上具有自相似性 , 并隨破裂程度增加 , 其維數(shù)降 低。 張奇 (1992年 對川中地區(qū)百余個地面及潛伏構(gòu) 造分維與 20個含油氣構(gòu)造分布的分維進(jìn)行對比 , 認(rèn) 為全部構(gòu)造的分維 D=1.27。 20個含油氣構(gòu)造分布的 分維 D=1.21。兩者均具有很寬

11、的無標(biāo)度區(qū)間 , 相關(guān) 系數(shù)檢驗(yàn)均在 0.97以上 , 這一現(xiàn)象說明構(gòu)造分布與 油氣分別具有相似性的分形結(jié)構(gòu) 7。分形方法已引入研究油氣田的空間分布 , 運(yùn)用 分形理論對四川盆地油氣田的空間分布特征進(jìn)行了 研究 , 結(jié)果表明油氣田的空間分布具有自相似性 , 可 用分形幾何學(xué)描述油氣田的分布規(guī)律。應(yīng)用盒維數(shù) 方法計(jì)算了油氣田空間分布的分維值 , 對不同區(qū)塊 的分維特征進(jìn)行了比較。 探討了分維值的物理意義。 實(shí)際資料計(jì)算結(jié)果顯示 , 盒子數(shù)目與尺度有很好的 相關(guān)性 , 其相關(guān)值均達(dá) 0.99以上 8。探討斷層的分維值與含油面積和產(chǎn)能的關(guān)系。 將分形幾何學(xué)的原理和方法 , 應(yīng)用于東營凹陷 T 2、

12、T 6和 T R 3個不同構(gòu)造層的斷層體系的二維平面分布特 征研究。發(fā)現(xiàn)研究的標(biāo)度范圍內(nèi)不僅具有統(tǒng)計(jì)自相 似性 , 并且同一構(gòu)造層不同子區(qū)域具有不同的分維 值 D 。將之與油田分布特征對比 , 可發(fā)現(xiàn)分維值越 高 , 油田規(guī)模越大 9。應(yīng)用分形理論定量研究柴達(dá)木盆地北緣斷裂構(gòu) 造的空間展布特征及其對油氣分布的控制作用 , 認(rèn) 為斷裂體系分?jǐn)?shù)維值越大的地區(qū) , 有利于油氣藏的 分布 , 其單位面積內(nèi)的油氣地質(zhì)儲量越高。 這些研究 結(jié)果為該區(qū)油氣勘探提供了新的依據(jù) 10。2.2分形理論在礦井地質(zhì)構(gòu)造中的應(yīng)用礦井構(gòu)造量化預(yù)測是借助數(shù)學(xué)理論和計(jì)算機(jī)技 術(shù) , 從分析井田各種直接或間接地反映構(gòu)造復(fù)雜程

13、度的指標(biāo)及其相互關(guān)系入手 , 以等性單元為基本單 位 , 以綜合評判為主要手段 , 對礦井不同地段構(gòu)造相 對復(fù)雜程度進(jìn)行分級的預(yù)測方法 11。礦井中分維應(yīng) 用的具體方法是 :首先把已有的斷裂資料投繪到透 明紙上 , 然后把研究區(qū)劃分為若干正方形塊段 , 在每 個塊段內(nèi) , 以邊長為 r0的正方形網(wǎng)格進(jìn)行覆蓋 , 記 錄每個網(wǎng)格中的斷裂長度 Ii 及斷裂總長度 L , 則 Pi (r =Ii /L , 不斷縮小網(wǎng)格 , 使 r=r0/2、 r0/4、 r0/8, 得到 每一級別的 Pi (r 和 H (r , 把它們投放到 lgPi (r -lgr 坐標(biāo)系中 , 所得擬合直線的斜率的絕對值即為該

14、塊張飛燕 , 等 :分形概念及其在構(gòu)造地質(zhì)研究中的應(yīng)用17第 20卷 中 國 煤 炭 地 質(zhì)段的信息維 Di (圖 1、 2 。相似維的求測方法較為簡單 , 統(tǒng)計(jì)過程中只需記錄每個級別中有斷層跡線穿過的網(wǎng)格的數(shù)目 N(r , 在 lgN (r -lgr 坐標(biāo)系中可得到一條擬合直線 ,其斜率的絕對值即為該塊段的相似維 D S (圖 2 。其實(shí)從前人所做的工作來看 , D i 與 D S 的差別很小 , 而且兩者呈良好的線性相關(guān)關(guān)系。利用此方法進(jìn)行斷裂構(gòu)造分形定量化研究 , 可以做出整個研究區(qū)的分維等值線圖。在分維等值線圖中可以對構(gòu)造簡單區(qū)與構(gòu)造復(fù)雜區(qū)進(jìn)一評價(jià)。王國華 (2006 等在研究唐山煤礦

15、斷層構(gòu)造中 , 就做出了鐵三鐵四區(qū) 5煤斷裂分維等值線圖 , 進(jìn)行了分形定量化研究 (圖 3 。用如下的經(jīng)驗(yàn)公式表示 :式中 :N 為斷層條數(shù) ; H 為斷層落差 ; D 為分維值 ; K 為常數(shù)。因此 , 通過對井田內(nèi)已經(jīng)揭露的斷層資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì) , 作出散點(diǎn)圖 , 并利用回歸分析的方法求解出上面公式中的待定系數(shù) , 就可以得出斷層條數(shù)的預(yù)測 公式。 由于預(yù)測公式是根據(jù)小斷層資料得出的 , 有一 定的適用范圍 , 不能任意外推到大中型斷層或節(jié)理。 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料分析 , 對于落差小于 10m 的斷裂進(jìn)行 預(yù)測可靠性較高 12。通過此種方法的預(yù)測結(jié)果也在 實(shí)際的生產(chǎn)中得到了驗(yàn)證。其實(shí)在 1997年

16、夏玉成等就在 霍州礦區(qū)斷層構(gòu) 造的分形特征一文中將斷裂信息維引入礦井?dāng)嗔?構(gòu)造研究 , 發(fā)現(xiàn)斷裂信息維可以表征礦井?dāng)嗔褬?gòu)造 的相對復(fù)雜程度 13, 于是 , 將斷裂信息維作為評價(jià)礦 井?dāng)嗔褬?gòu)造復(fù)雜程度的新指標(biāo) 14。劉玉林 (2004 論 述了應(yīng)用分形理論評價(jià)斷裂構(gòu)造復(fù)雜程度的優(yōu)越 性 , 并對霍林河煤田的斷裂構(gòu)造的復(fù)雜程度進(jìn)行了 評價(jià)。分維值作為評價(jià)斷裂復(fù)雜程度的指標(biāo)能夠很 好地解釋一些地質(zhì)現(xiàn)象的變化 , 并通過地質(zhì)理論的 分析 , 反映與其相關(guān)的地質(zhì)因素變化。 具有其它指標(biāo) 無法比擬的優(yōu)點(diǎn) , 是一種包含了斷裂長度、 密度、 方 向性和組合方式等信息的綜合性指標(biāo) , 與斷裂長度 的關(guān)系最為

17、密切 15。煤與瓦斯突出的分布具有分區(qū)分帶性的特點(diǎn) , 地質(zhì)構(gòu)造是控制突出分布的主導(dǎo)性因素 16。由于地 質(zhì)構(gòu)造形態(tài)不規(guī)則 , 分布復(fù)雜 , 用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)手段難 以對其進(jìn)行準(zhǔn)確量化的描述 . 目前 , 對地質(zhì)構(gòu)造與突 出關(guān)系的研究仍處于定性分析階段 . 由 Mandelbrot 創(chuàng)立并發(fā)展的分形幾何學(xué)理論 , 為定量描述不規(guī)則 事物及其變化規(guī)律提供了有力的工具 . 近年來的研 究已經(jīng)證實(shí) , 斷層的分布服從分形規(guī)律 , 可以應(yīng)用分 形理論研究井田內(nèi)的斷層構(gòu)造對突出危險(xiǎn)性的影 響 . 為了較為全面準(zhǔn)確地量化表達(dá)地質(zhì)構(gòu)造與瓦斯 突出的關(guān)系 , 必須在不同尺度上考察各類地質(zhì)構(gòu)造圖 1分維值求測方法示

18、意圖Figure 1A schematic diagram of fractal dimension calculation圖 2相似維解算示意圖Figure 2A schematic diagram of similarity dimension solving圖 3鐵三鐵四區(qū) 5煤斷裂分維等值線圖 (據(jù)王國華 , 2006Figure 3Fractal dimension isogram of No.5coal seam fractures in T3and T4region (from Wang Guohua , 2006183期對突出危險(xiǎn)性的影響 , 形成較為可靠的突出預(yù)測指 標(biāo) 17

19、, 18。 何俊等 (2002 采用分形幾何手段 , 對全國范 圍內(nèi)若干煤田中的地質(zhì)構(gòu)造分布特征和礦區(qū)突出危 險(xiǎn)性的關(guān)系進(jìn)行了分析 , 并對突出預(yù)測的構(gòu)造分維 指標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化。指出各類突出礦區(qū)煤田中斷層和 褶曲構(gòu)造的分布服從分形規(guī)律 , 煤田地質(zhì)構(gòu)造分布 對突出危險(xiǎn)性的影響可以用分維來描述 . 斷層分維 和褶曲分維與突出危險(xiǎn)性之間存在正相關(guān)關(guān)系 , 二 者綜合所構(gòu)成的構(gòu)造分維和指標(biāo)是一項(xiàng)較為良好的 突出區(qū)域預(yù)測指標(biāo) 19。分形理論用于礦床勘探的一個重要特點(diǎn) , 是隨 著工程控制程度提高 , 分維值逐步增大 , 增大的速率 與礦體形態(tài)復(fù)雜程度有關(guān)。 因此 , 可用分維值來刻畫 礦體形態(tài)復(fù)雜程度。

20、利用對其復(fù)雜程度的刻畫來定 量預(yù)測礦產(chǎn)儲量計(jì)算的精度 , 估計(jì)地質(zhì)勘探的工作 程 度 等 。 孟 憲 國 等 應(yīng) 用 關(guān) 聯(lián) 維 數(shù) 對 云 南 西 部 1: 50000水系沉積物地球化學(xué)測量數(shù)據(jù)空間分布進(jìn)行 研究 , 對找礦做出了預(yù)測 20。另外 , 分形理論還廣泛用于巖爆與地震的預(yù)測 , 地質(zhì)制圖、 地形地貌的研究、 航片解釋、 巖石孔隙度 研究、 巖體結(jié)晶程度、 成礦流體的運(yùn)移等地質(zhì)領(lǐng)域。 隨著分形理論在實(shí)踐應(yīng)用中不斷修正、 完善 , 必將為 構(gòu)造地質(zhì)學(xué)提供新的研究線索和途徑 , 使得一些復(fù) 雜抽象的地質(zhì)現(xiàn)象變得簡單易解 , 并使得地質(zhì)向定 量地質(zhì)學(xué)發(fā)展邁向一個嶄新的領(lǐng)域。參考文獻(xiàn) :1

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