考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類—級數(shù)(共18頁)

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2、，冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域，冪級數(shù)逐項求導(dǎo)定理與逐項積分定理，傅里葉級數(shù)。從總體上講，本章主要可以分為常數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)兩部分。其中考查的重點在冪級數(shù)上，但冪級數(shù)的基礎(chǔ)是常數(shù)項級數(shù)。對于常數(shù)項級數(shù)，考生需要重點把握它的收斂性的定義以及各種常見的判別法?？荚囋诩墧?shù)中的大題一般出在冪級數(shù)上，這一部分的內(nèi)容可以概括為三個問題:冪級數(shù)的收斂域的計算，冪級數(shù)求和，冪級數(shù)展開。其中，計算冪級數(shù)的收斂域最關(guān)鍵的是掌握冪級數(shù)的收斂半徑的求法與相關(guān)的性質(zhì)。而冪級數(shù)求和與展開，則主要是結(jié)合常見函數(shù)的冪級數(shù)展開，再運用冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)和逐項積分定理即可。最后，關(guān)于傅里葉級數(shù)，考生主要需要掌握傅里葉系數(shù)的求法，再了解

3、狄利克雷定理的內(nèi)容即可。本章常考的題型有：1.對常數(shù)項收斂性的考查，2.冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域，3.冪級數(shù)展開，4.冪級數(shù)求和，5.常數(shù)項級數(shù)求和，6.傅里葉級數(shù)。?？碱}型一：常數(shù)項級數(shù)的收斂性1.【19963 3分】下述各選項正確的是（ ）若和都收斂，則收斂.若收斂，則與都收斂.若正項級數(shù)發(fā)散，則.若級數(shù)收斂，且，則級數(shù)也收斂.【小結(jié)】：正項級數(shù)的判別法最基本的思想是比較判別法，它有很多種具體的表現(xiàn)形式，其中之一是極限審斂法，其內(nèi)容是設(shè)是正項級數(shù)：如果，則級數(shù)發(fā)散；如果，則級數(shù)收斂。其中我們用得最多的形式是，假設(shè)與為同階無窮小，則當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散。2.【20033 4分】設(shè)，則下列命題正

4、確的是（ ）若條件收斂，則與都收斂.若絕對收斂，則與都收斂.若條件收斂，則與斂散性都不定.若絕對收斂，則與斂散性都不定. 3.【20043 4分】設(shè)有下列命題：（ ）(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是 (1) (2).(2) (3). (3) (4).(1) (4).4.【20053 4分】設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（ ）收斂，發(fā)散 . 收斂，發(fā)散.收斂. 收斂. 5.【20063 4分】若級數(shù)收斂，則級數(shù)（ ）收斂 . 收斂.收斂. 收斂. 6.【2011-3 4分】設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是( )(

5、A) 若收斂，則收斂. (B) 若收斂，則收斂.(C) 若收斂，則收斂. (D) 若收斂，則收斂.7【1995-1 3分】設(shè)，則級數(shù)（ ）和都收斂 和都發(fā)散收斂而發(fā)散 發(fā)散而收斂8【1992-1 3分】級數(shù)（常數(shù)）（ ）發(fā)散 條件收斂 絕對收斂 收斂性與有關(guān)9【1996-1 3分】設(shè)，且收斂，常數(shù)，則級數(shù)（ ）絕對收斂 條件收斂發(fā)散 斂散性與有關(guān)10【1994-1 3分】設(shè)常數(shù)，且收斂，則級數(shù)（ ）發(fā)散 條件收斂 絕對收斂 收斂性與有關(guān)11【2009-1 4分】設(shè)有兩個數(shù)列，若，則（ ）當(dāng)收斂時，收斂.當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散. 當(dāng)收斂時，收斂.當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散.12【2004-1 4分】設(shè)為正項級數(shù)，下

6、列結(jié)論中正確的是（ ）若，則級數(shù)收斂. 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散. 若級數(shù)收斂，則. 若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得.13【2002-1 3分】設(shè)，且，則級數(shù)( ) 發(fā)散 絕對收斂 條件收斂 收斂性根據(jù)所給的條件不能確定14【2000-1 3分】設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為（ ）15【2013-3 4分】設(shè)為正項數(shù)列，下列選項正確的是（ ）（A）若收斂（B）收斂，則（C）收斂，則存在常數(shù),使存在（D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂16.【2015-3 4分】下列級數(shù)中發(fā)散的是（ ）17.【2012-3 4分】已知級數(shù)絕對收斂，條件收斂，則范圍為（ ）（A）（B）（C） （D）18【199

7、8-1 5分】設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？并說明理由.19【1994-1 8分】設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：級數(shù)絕對收斂.20【2004-1 11分】設(shè)有方程，其中為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂.21【1999-1 7分】設(shè).（1）求的值；（2）試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂.22【1997-1 8分】設(shè)，證明：（1）存在；（2）級數(shù)收斂.23【2014-1 10分】設(shè)數(shù)列，滿足，且級數(shù)收斂（1）證明；（2）證明級數(shù)收斂?？碱}型二：冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域24【2008-1 4分】已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為_.

8、25【1997-1 3分】設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_.26【2000-1 6分】求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的斂散性.27【1995-1 3分】冪級數(shù)的收斂半徑_.28【20023 4分】設(shè)冪級數(shù)和的收斂半徑分別為，則冪級數(shù)的收斂半徑為（）29.【2011-1 4分】設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則冪級數(shù)的收斂域為( )30.【2011-1 4分】若級數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級數(shù)的 ( )收斂點，收斂點收斂點，發(fā)散點發(fā)散點，收斂點發(fā)散點，發(fā)散點31【20093 4分】冪級數(shù)的收斂半徑為【小結(jié)】：1. 冪級數(shù)的收斂半徑的性質(zhì)：當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散；，級數(shù)可

9、能收斂也可能發(fā)散。2. 計算冪級數(shù)收斂半徑的方法：如果冪級數(shù)的系數(shù)滿足或，則該冪級數(shù)的收斂半徑：。3. 確定了收斂半徑，只需再確定端點處的收斂性就可以知道收斂域了。此時，只需將端點處的函數(shù)值代入，再判斷相應(yīng)的常數(shù)項級數(shù)的收斂性即可。4. 對于缺項的級數(shù)的收斂半徑，不能用比值計算，只能用根值計算。也可以利用正項級數(shù)的比值和根值判別法直接對整個函數(shù)項級數(shù)進(jìn)行分析，計算極限或，求出的范圍即可得到收斂區(qū)間。常考題型三：冪級數(shù)展開32【2006-1 12分】將函數(shù)展開成的冪級數(shù).33【1994-1 5分】將函數(shù)展開成的冪級數(shù).34【2001-1 8分】設(shè)試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.35【2003-

10、1 12分】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.36【19953 6分】將函數(shù)展成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.37【20073 10分】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【小結(jié)】：計算函數(shù)冪級數(shù)展開的基礎(chǔ)是如下這6個常見函數(shù)的泰勒級數(shù)：，?？碱}型四：冪級數(shù)求和38【2010-1 10分】求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).39.【2003-3 9分】求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值.40.【2005-3 9分】求冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù).41【2005-1 12分】求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).42【2007-1 10分】設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足：.（1）證明；（2）求的表達(dá)式.43【200

11、13 8分】已知滿足（為正整數(shù)）且，求函數(shù)項級數(shù)之和.44【20063 10分】求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).45.【20121 10分】求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)46.【20131 10分】設(shè)數(shù)列滿足條件：是冪級數(shù)的和函數(shù)，（1） 證明：,（2） 求的表達(dá)式.47.【20143 10分】求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。【小結(jié)】：1.冪級數(shù)求和的一般思路是利用逐項求導(dǎo)或是逐項積分定理將需要求和的級數(shù)化簡，利用常見函數(shù)的泰勒級數(shù)求出化簡之后級數(shù)的和函數(shù)，最后再將求導(dǎo)或求積分的過程逆過來就可以得到所求級數(shù)的和函數(shù)了。2.冪級數(shù)求和時用得最多的是幾何級數(shù)，該公式可以擴展到所有通項為等比數(shù)列的級數(shù)，其和可以統(tǒng)一記

12、為。例如，對級數(shù)利用該公式就可以得到。48【1993-1 7分】求級數(shù)的和.49【1996-1 7分】求級數(shù)的和.50【2009-1 9分】設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值.51【19993 3分】_.52.【2000-3 6分】設(shè)求?？碱}型五：傅里葉級數(shù)*（數(shù)一）53【1993-1 3分】設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為，則其中系數(shù)的值為_.54【2003-1 4分】設(shè)，則_.55【1995-1 6分】將函數(shù)展開成周期為的余弦級數(shù).56【1992-1 3分】設(shè)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點處收斂于_.57【1999-1 3分】設(shè)，其中，則等于（ ）58【2008-1 9分】將函數(shù)展開成余弦

13、級數(shù)，并求級數(shù)的和.59.【2013-1 4分】設(shè)，令，則（ ）（A） （B） （C） （D）【小結(jié)】：1.計算傅里葉系數(shù)是傅里葉級數(shù)對考生最基本也是最重要的要求，考生記住公式即可：如果，則有，。2.當(dāng)為奇函數(shù)時，的傅里葉級數(shù)為，其中。當(dāng)為偶函數(shù)時，的傅里葉級數(shù)為，其中。即便本身并不既有奇偶性，我們也可以先對該函數(shù)進(jìn)行奇延拓（）或偶延拓（）后再將其展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。系數(shù)的計算公式仍為或。關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性，考生需要記住如下的狄利克雷定理如果在上滿足如下的狄利克雷條件：）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；）只有有限個極值點。則的傅里葉級數(shù)在上收斂，且?？碱}型六：綜合應(yīng)用60【20023

14、9分】（1）驗證函數(shù)滿足微分方程；（2）利用（1）的結(jié)果求冪級數(shù)61【20043 9分】設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為. 求：(I) 所滿足的一階微分方程；(II) 的表達(dá)式.62.【1997-3 7分】從點作軸的垂線,交拋物線于點；再從作這條拋物線的切線與軸交于,然后又從作軸的垂線,交拋物線于點,依次重復(fù)上述過程得到一系列的點.(1) 求；(2) 求級數(shù)的和.其中為自然數(shù),而表示點與之間的距離.63.【1998-3 6分】設(shè)有兩條拋物線和,記它們交點的橫坐標(biāo)的絕對值為(1) 求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；(2) 求級數(shù)的和.64.【2008-3 10分】設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計算. 某基

15、金會希望通過存款萬元實現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，第年取出(10+9)萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問至少應(yīng)為多少萬元？參考答案1.【19963 3分】【答案】2.【20033 4分】【答案】3.【20043 4分】【答案】4.【20053 4分】【答案】5.【20063 4分】【答案】6.【2011-3 4分】【答案】7【1995-1 3分】【答案】8【1992-1 3分】【答案】9【1996-1 3分】【答案】10【1994-1 3分】【答案】11【2009-1 4分】【答案】12【2004-1 4分】【答案】13【2002-1 3分】【答案】14【2000-1 3分】【答

16、案】15【2013-3 4分】【答案】16.【2015-3 4分】【答案】17.【2012-3 4分】【答案】：18【1998-1 5分】【答案】根據(jù)比較審斂法可知級數(shù)收斂19【1994-1 8分】【答案】略20【2004-1 11分】【答案】略21【1999-1 7分】【答案】 （1）22【1997-1 8分】【答案】略23【2014-1 10分】【答案】略24【2008-1 4分】【答案】25【1997 -1 3分】【答案】26【2000-1 6分】【答案】收斂區(qū)間為；級數(shù)在點處發(fā)散;在點處收斂.27【1995-1 3分】【答案】28【20023 4分】【答案】29.【2011-1 4分】

17、【答案】30.【2011-1 4分】【答案】31【20093 4分】【答案】32【2006-1 12分】【答案】.33【1994-1 5分】【答案】.34【2001-1 8分】【答案】，35【2003-1 12分】【答案】，.36【19953 6分】【答案】.37【20073 10分】【答案】，收斂區(qū)間為 .38【2010-1 10分】【答案】和函數(shù)為，收斂域為39.【2003-3 9分】【答案】，處取極大值，40.【2005-3 9分】【答案】41【2005-1 12分】【答案】收斂區(qū)間為，42【2007-1 10分】【答案】 （2）43【20013 8分】【答案】44【20053 9分】【答案】45.【20121 10分】【答案】：.和函數(shù)：46.【20131 10分】【答案】：（I）略；（II）.47.【20143 10分】【答案】：收斂域為，和函數(shù)為.48【20063 10分】【答案】49【1993-1 7分】【答案】50【1996-1 7分】【答案】51【2009-1 9分】【答案】52.【2000-3 6分】【答案】53【19993 3分】【答案】54【1993-1 3分】【答案】55【20