勾股定理習(xí)題與詳細(xì)答案

1、勾股定理11111111一選擇題（共10小題）1（2016淄博）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（）AB2CD1052（2016漳州）如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）若線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個數(shù)共有（）A5個B4個C3個D2個3（2016青海）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為（）A（）6B（）7C（）6D（）74（2016東營）在ABC

2、中，AB=10，AC=2，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A10B8C6或10D8或105（2016株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形個數(shù)有（）A1B2C3D46（2016黔東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么（a+b）2的值為（）A13B19C25D1697（2016南京）

3、下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，78（2016綿陽）如圖，沿AC方向開山修建一條公路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊尋找點(diǎn)E同時施工，從AC上的一點(diǎn)B取ABD=150°，沿BD的方向前進(jìn)，取BDE=60°，測得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面內(nèi)，那么公路CE段的長度為（）A180mB260mC（26080）mD（26080）m9（2016達(dá)州）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）ABCD10（2016杭

4、州）已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（mn），過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）Am2+2mn+n2=0Bm22mn+n2=0Cm2+2mnn2=0Dm22mnn2=0二填空題（共10小題）11（2016資陽）如圖，在等腰直角ABC中，ACB=90°，COAB于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且AD=CE，連結(jié)DE交CO于點(diǎn)P，給出以下結(jié)論：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，則四邊形CEOD的面積為；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正確結(jié)論的序號是12（2016棗莊）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交

5、通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，MAD=45°，MBC=30°，則警示牌的高CD為米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）13（2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，AC=3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為14（2016江西三模）如圖，RtABC中，ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，ADBC，且AB=5，BC=12，則AD的長為15（2016南崗區(qū)模擬）在ABC中，ABC=30°，AB=8，AC=2，邊AB的垂直平分線與直線BC相交于點(diǎn)F，則線段CF的長為16

6、（2016道外區(qū)一模）如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且PC=3，PA=5，PB=7，則PAB的面積為17（2016余干縣二模）如圖，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點(diǎn)，AOC=120°，則當(dāng)PAB為直角三角形時，AP的長為18（2016通州區(qū)一模）在我國古算書周髀算經(jīng)中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90°，AB=3，AC=4，則

7、D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為19（2016富順縣校級模擬）如圖，在一根長90cm的燈管上，纏滿了彩色絲帶，已知可近似地將燈管看作圓柱體，且底面周長為4cm，彩色絲帶均勻地纏繞了30圈，則彩色絲帶的總長度為20（2016南陵縣一模）如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過米三解答題（共10小題）21（2016春周口期末）在四邊形ABCD中，AB=AD=8，A=60°，D=150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度22（2016徐州模擬）一、閱讀理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB

8、=c；（1）若C為直角，則a2+b2=c2；（2）若C為銳角，則a2+b2與c2的關(guān)系為：a2+b2c2；（3）若C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的關(guān)系二、探究問題：在ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍23（2016安徽模擬）定義：若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是x、y和z，滿足x2+y2=z2，則稱這個三角形為勾股三角形（1）根據(jù)上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；（2）已知一勾股三角形三個內(nèi)角從小到大依次為x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如圖，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求證：ABC是勾股

9、三角形24（2016陜西校級模擬）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得APO=60°，BPO=45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）25（2016丹東模擬）校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn)如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)A，在公路1上確定點(diǎn)B、C，使得AC

10、l，BAC=60°，再在AC上確定點(diǎn)D，使得BDC=75°，測得AD=40米已知本路段對校車限速是50千米/時，測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒（1）求CD的長（結(jié)果保留根號）（2）問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.73）26（2016長春模擬）探索：如圖，以ABC的邊AB、AC為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，連結(jié)BE、CD，試確定BE與CD有怎樣數(shù)量關(guān)系，并說明理由應(yīng)用：如圖，要測量池塘兩岸B、E兩地之間的距離，已知測得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，

11、求BE的長27（2016東明縣一模）如圖，已知ABC中，BAC=90°，AB=ACD為線段AC上任一點(diǎn)，連接BD，過C點(diǎn)作CEAB且AD=CE，試說明BD和AE之間的關(guān)系，并證明28（2016安徽模擬）如圖，在RtABC中，C=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，DAB=15°且AD=10cm，求BC的長29（2016春豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積30（2016春柳江縣期末）如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量A=90&

12、#176;，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？勾股定理11111111參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1（2016淄博）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（）AB2CD105【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】延長BG交CH于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明ABGCDHBCE，可得GE=BEBG=2、HE=CHCE=2、HEG=90°，由勾股定理可得GH的長【解答】解：如圖，延長BG交CH于點(diǎn)E，在ABG和CDH中，ABGCDH（SSS），AG2+

13、BG2=AB2，1=5，2=6，AGB=CHD=90°，1+2=90°，5+6=90°，又2+3=90°，4+5=90°，1=3=5，2=4=6，在ABG和BCE中，ABGBCE（ASA），BE=AG=8，CE=BG=6，BEC=AGB=90°，GE=BEBG=86=2，同理可得HE=2，在RTGHE中，GH=2，故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用，通過證三角形全等得出GHE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵2（2016漳州）如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC

14、上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）若線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個數(shù)共有（）A5個B4個C3個D2個【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】分類討論【分析】首先過A作AEBC，當(dāng)D與E重合時，AD最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EC，進(jìn)而可得BE的長，利用勾股定理計算出AE長，然后可得AD的取值范圍，進(jìn)而可得答案【解答】解：過A作AEBC，AB=AC，EC=BE=BC=4，AE=3，D是線段BC上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）3AD5，AD=3或4，線段AD長為正整數(shù)，點(diǎn)D的個數(shù)共有3個，故選：C【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是正確利用勾股定理計算出AD的最小

15、值，然后求出AD的取值范圍3（2016青海）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為（）A（）6B（）7C（）6D（）7【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2=S1，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“Sn=（）n3”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論【解答】解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示正方形ABCD的邊長為2，CDE為等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1=22=4，S

16、2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，Sn=（）n3當(dāng)n=9時，S9=（）93=（）6，故選：A【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“Sn=（）n3”本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵4（2016東營）在ABC中，AB=10，AC=2，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A10B8C6或10D8或10【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD與CD的長，即可求出BC的長【解答】解：

17、根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=8，CD=2，此時BC=BD+CD=8+2=10；如圖2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=8，CD=2，此時BC=BDCD=82=6，則BC的長為6或10故選C【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵5（2016株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形個數(shù)有（）A1B2C3D4【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專

18、題】計算題；推理填空題【分析】根據(jù)直角三角形a、b、c為邊，應(yīng)用勾股定理，可得a2+b2=c2（1）第一個圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表示出3個三角形的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（2）第二個圖形中，首先根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個半圓的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（3）第三個圖形中，首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法，表示出3個等腰直角三角形的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（4）第四個圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法，表示出3個正方形的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2，可得S1+S2=S3【解答】解：（1）S

19、1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3綜上，可得面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形有4個故選：D【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方（2）此題還考查了等腰直角三角形、等邊三角形、圓

20、以及正方形的面積的求法，要熟練掌握6（2016黔東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么（a+b）2的值為（）A13B19C25D169【考點(diǎn)】勾股定理的證明菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】數(shù)學(xué)建模思想；構(gòu)造法；等腰三角形與直角三角形【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出值【解答】解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4×ab=1

21、31=12，即2ab=12，則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故選C【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的證明，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵7（2016南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，7【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形，依此求解即可【解答】解：A、因?yàn)?2+4242，所以三條線段能組銳角三角形，不符合題意；B、

22、因?yàn)?2+42=52，所以三條線段能組成直角三角形，不符合題意；C、因?yàn)?+46，且32+4262，所以三條線段能組成鈍角三角形，符合題意；D、因?yàn)?+4=7，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意故選：C【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形掌握組成鈍角三角形的條件是解題的關(guān)鍵8（2016綿陽）如圖，沿AC方向開山修建一條公路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊尋找點(diǎn)E同時施工，從AC上的一點(diǎn)B取ABD=150°，沿BD的方向前進(jìn)，取BDE=60°，測得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD

23、和DE在同一平面內(nèi)，那么公路CE段的長度為（）A180mB260mC（26080）mD（26080）m【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出E的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求BE，再根據(jù)線段的和差故選即可得出結(jié)論【解答】解：在BDE中，ABD是BDE的外角，ABD=150°，D=60°，E=150°60°=90°，BD=520m，sin60°=，DE=520sin60°=260（m），公路CE段的長度為26080（m）答：公路CE段的長度為（26080）m故選：C【點(diǎn)評】本題考查的是解直角

24、三角形的應(yīng)用，熟知三角形外角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵9（2016達(dá)州）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）ABCD【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】從點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，找出所有的可能，以及能構(gòu)成直角三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率【解答】解：從點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)能組成三角形的一共有4種可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為故選D【點(diǎn)評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理運(yùn)用，用到的知識

25、點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，屬于中考?？碱}型10（2016杭州）已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（mn），過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）Am2+2mn+n2=0Bm22mn+n2=0Cm2+2mnn2=0Dm22mnn2=0【考點(diǎn)】等腰直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2=（nm）2，整理即可求解【解答】解：如圖，m2+m2=（nm）2，2m2=n22mn+m2，m2+2mnn2=0故選：C【點(diǎn)評】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角

26、形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得到等量關(guān)系二填空題（共10小題）11（2016資陽）如圖，在等腰直角ABC中，ACB=90°，COAB于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且AD=CE，連結(jié)DE交CO于點(diǎn)P，給出以下結(jié)論：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，則四邊形CEOD的面積為；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正確結(jié)論的序號是【考點(diǎn)】勾股定理；四點(diǎn)共圓菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】正確由ADOCEO，推出DO=OE，AOD=COE，由此即可判斷正確由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，即可證明正確由SABC=×1×1=，S四邊形DCEO=SDOC+SCEO=S

27、CDO+SADO=SAOC=SABC即可解決問題正確由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由OPEOEC，得到=，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可證明【解答】解：正確如圖，ACB=90°，AC=BC，COABAO=OB=OC，A=B=ACO=BCO=45°，在ADO和CEO中，ADOCEO，DO=OE，AOD=COE，AOC=DOE=90°，DOE是等腰直角三角形故正確正確DCE+DOE=180°，D、C、E、O四點(diǎn)共圓，C

28、DE=COE，故正確正確AC=BC=1，SABC=×1×1=，S四邊形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC=，故正確正確D、C、E、O四點(diǎn)共圓，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，OEP=DCO=OCE=45°，POE=COE，OPEOEC，=，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，CD=BE，CE=AD，AD2+BE2=2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故正確【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、四點(diǎn)共圓、全等三角形的判定和

29、性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會利用四點(diǎn)共圓解決問題，題目比較難，用到的知識點(diǎn)比較多12（2016棗莊）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，MAD=45°，MBC=30°，則警示牌的高CD為2.9米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入數(shù)可得答案【解答】解：由題意可得：AM=4米，MAD=45

30、76;，DM=4m，AM=4米，AB=8米，MB=12米，MBC=30°，BC=2MC，MC2+MB2=（2MC）2，MC2+122=（2MC）2，MC=4，則DC=442.9（米），故答案為：2.9【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方13（2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，AC=3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為或【考點(diǎn)】等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖1根據(jù)已知條件得到PB=BC=1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)已知條件得到PC=BC=1，根據(jù)勾股定理即可得

31、到結(jié)論【解答】解：如圖1，ACB=90°，AC=BC=3，PB=BC=1，CP=2，AP=，如圖2，ACB=90°，AC=BC=3，PC=BC=1，AP=，綜上所述：AP的長為或，故答案為：或【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵14（2016江西三模）如圖，RtABC中，ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，ADBC，且AB=5，BC=12，則AD的長為【考點(diǎn)】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC，然后在直角ABE中利用勾股定理即可列方程求得EC

32、的長，然后證明AODCOE，即可求得【解答】解：連接AEDE是線段AC的垂直平分線，AE=EC設(shè)EC=x，則AE=EC=x，BE=BCEC=12x，在直角ABE中，AE2=AB2+BE2，x2=52+（12x）2，解得：x=即EC=ADBC，D=OEC，在AOD和COE中，AODCOE，AD=EC=故答案是：【點(diǎn)評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確列方程求得EC的長是關(guān)鍵15（2016南崗區(qū)模擬）在ABC中，ABC=30°，AB=8，AC=2，邊AB的垂直平分線與直線BC相交于點(diǎn)F，則線段CF的長為或【考點(diǎn)】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

33、【分析】在ABC中，已知兩邊和其中一邊的對角，符合題意的三角形有兩個，畫出ABC與ABC作ADBC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CD=CD由EF為AB的垂直平分線求出AE和BE長，根據(jù)勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF，即可求出答案【解答】解：如圖，作ADBC于D，AC=AC=2，ADBC于D，CD=CD，EF為AB垂直平分線，AE=BE=AB=4，EFAB，ABC=30°，EF=BE×tan30°=，BF=2EF=，在RtABD中，ADB=90°，ABD=30°，AD=AB=4，由勾股定理得：CD=2，BD=4，即F在C

34、和D之間，BC=BDCD=42=2，CF=BFBC=2=，CF=BCBF=4+2=，故答案為：或【點(diǎn)評】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵16（2016道外區(qū)一模）如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且PC=3，PA=5，PB=7，則PAB的面積為14【考點(diǎn)】勾股定理；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】過P作PDAC于D，PEBC于E，根據(jù)四邊形CDPE是矩形，得到CD=PE=y，CE=PD=x，設(shè)PD=x，PE=y，AC=BC=a，列方程組即可得到

35、結(jié)論【解答】解：過P作PDAC于D，PEBC于E，則四邊形CDPE是矩形，設(shè)PD=x，PE=y，AC=BC=a，CD=PE=y，CE=PD=x，a2ayax=28，SAPB=SABCSAPCSBCP=a2axay=14故答案為：14【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17（2016余干縣二模）如圖，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點(diǎn)，AOC=120°，則當(dāng)PAB為直角三角形時，AP的長為2或2【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】分類討論【分析】利用分類討論，當(dāng)APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1

36、，易得PBA=30°，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；情況二：利用銳角三角函數(shù)得AP的長；如圖2，當(dāng)BAP=90°時，如圖3，利用銳角三角函數(shù)得AP的長【解答】解：當(dāng)APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，AO=BO，PO=BO，AOC=120°，AOP=60°，AOP為等邊三角形，OAP=60°，PBA=30°，AP=AB=2；情況二：如圖2，AO=BO，APB=90°，PO=BO，AOC=120°，BOP=60°，BOP為等邊三角形，OBP=60°，AP=

37、ABsin60°=4×=2；當(dāng)BAP=90°時，如圖3，AOC=120°，AOP=60°，AP=OAtanAOP=2×=2故答案為：2或2【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，利用分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵18（2016通州區(qū)一模）在我國古算書周髀算經(jīng)中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90°，AB

38、=3，AC=4，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為110【考點(diǎn)】勾股定理的證明菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解【解答】解：如圖，延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，則四邊形OALP是矩形CBF=90°，ABC+OBF=90°，又直角ABC中，ABC+ACB=90°，OBF=ACB，在OBF和ACB中，OBFACB（AAS），AC=OB，同理：ACBPGC，PC=AB，OA

39、=AP，矩形AOLP是正方形，邊長AO=AB+AC=3+4=7，KL=3+7=10，LM=4+7=11，矩形KLMJ的面積為10×11=110【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵19（2016富順縣校級模擬）如圖，在一根長90cm的燈管上，纏滿了彩色絲帶，已知可近似地將燈管看作圓柱體，且底面周長為4cm，彩色絲帶均勻地纏繞了30圈，則彩色絲帶的總長度為150cm【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)題意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色絲帶的長即可【解答】解：如下圖，彩色絲帶的總長度為=150cm，故答案為：150cm【點(diǎn)評】本題考查了勾

40、股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，難度不大20（2016南陵縣一模）如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過4米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖，先設(shè)平板手推車的長度不能超過x米，則得出x為最大值時，平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形連接PO，與BC交于點(diǎn)G，利用CBP為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度不能超過多少米【解答】解：設(shè)平板手推車的長度不能超過x米則x為最大值，且此時平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形連接PO，與BC交于點(diǎn)N直角走廊的寬為2m，PO=4m，GP=POOG=

41、42=2（m）又CBP為等腰直角三角形，AD=BC=2CG=2GP=4（m）故答案為：4【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形知識，解答的關(guān)鍵是由題意得出要想順利通過直角走廊，此時平板手推車所形成的三角形為等腰直角三角形三解答題（共10小題）21（2016春周口期末）在四邊形ABCD中，AB=AD=8，A=60°，D=150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度【考點(diǎn)】勾股定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖，連接BD，構(gòu)建等邊ABD、直角CDB利用等邊三角形的性質(zhì)求得BD=8；然后利用勾股定理來求線段BC、CD的長度【解答】解：如圖，連接B

42、D，由AB=AD，A=60°則ABD是等邊三角形即BD=8，1=60°又1+2=150°，則2=90°設(shè)BC=x，CD=16x，由勾股定理得：x2=82+（16x）2，解得x=10，16x=6所以BC=10，CD=6【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)根據(jù)已知條件推知CDB是解題關(guān)鍵22（2016徐州模擬）一、閱讀理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C為直角，則a2+b2=c2；（2）若C為銳角，則a2+b2與c2的關(guān)系為：a2+b2c2；（3）若C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的關(guān)系二、探究問題：在ABC中，BC=a=

43、3，CA=b=4，AB=c，若ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】一、（1）由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作ADBC于D，則BD=BCCD=aCD，由勾股定理得出AB2BD2=AD2，AC2CD2=AD2，得出AB2BD2=AC2CD2，整理得出a2+b2=c2+2aCD，即可得出結(jié)論；（3）作ADBC于D，則BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2CD2，得出AB2BD2=AC2CD2，整理即可得出結(jié)論；二、分兩種情況：當(dāng)C為鈍角時，由以上（3）得：ca+b，即可得出結(jié)果；當(dāng)B為鈍角時，得：bac，即可得出結(jié)果

44、【解答】一、解：（1）C為直角，BC=a，CA=b，AB=c，a2+b2=c2；（2）作ADBC于D，如圖1所示：則BD=BCCD=aCD，在ABD中，AB2BD2=AD2，在ACD中，AC2CD2=AD2，AB2BD2=AC2CD2，c2（aCD）2=b2CD2，整理得：a2+b2=c2+2aCD，a0，CD0，a2+b2c2；（3）作ADBC于D，如圖2所示：則BD=BC+CD=a+CD，在ABD中，AD2=AB2=BD2，在ACD中，AD2=AC2CD2，AB2BD2=AC2CD2，c2（a+CD）2=b2CD2，整理得：a2+b2=c22aCD，a0，CD0，a2+b2c2；二、解：當(dāng)

45、C為鈍角時，由以上（3）得：ca+b，即5c7；當(dāng)B為鈍角時，得：bac，即1c；綜上所述：第三邊c的取值范圍為5c7或1c【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的綜合運(yùn)用、完全平方公式；熟練掌握勾股定理，通過作輔助線運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵23（2016安徽模擬）定義：若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是x、y和z，滿足x2+y2=z2，則稱這個三角形為勾股三角形（1）根據(jù)上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；（2）已知一勾股三角形三個內(nèi)角從小到大依次為x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如圖，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求證：ABC是勾股三角形【考點(diǎn)】勾股定理菁

46、優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】新定義【分析】（1）直接根據(jù)“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；（2）利用已知得出等量量關(guān)系組成方程組，進(jìn)而求出x+y的值；（3）過B作BHAC于H，設(shè)AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，進(jìn)而得出A=45°，C=60°，B=75°，即可得出結(jié)論【解答】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命題；理由如下：對于任意的三角形，設(shè)其三個角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x2+y2=z2，則稱這個三角形為勾股三角形，無法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；（2）解：由題意可得：，解得：x+

47、y=102；（3）證明：過B作BHAC于H，如圖所示：設(shè)AH=xRtABH中，BH=，RtCBH中，（）2+（1+x）2=4，解得：x=，AH=BH=，HC=1，A=ABH=45°，tanHBC=，HBC=30°，BCH=60°，B=75°，452+602=752ABC是勾股三角形【點(diǎn)評】此題主要考查了新定義、多元方程組解法、勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，利用勾股定理得出AH，HC的長是解題關(guān)鍵24（2016陜西校級模擬）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為10

48、0米的P處這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得APO=60°，BPO=45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】首先利用兩個直角三角形求得AB的長，然后除以時間即可得到速度【解答】解：由題意知：PO=100米，APO=60°，BPO=45°，在直角三角形BPO中，BPO=45°，BO=PO=100m在直角三角形APO中，APO=60°，AO=POtan60°=100AB=AOBO=（10

49、0100）73米，從A處行駛到B處所用的時間為3秒，速度為73÷324.3米/秒=87.6千米/時80千米/時，此車超過每小時80千米的限制速度【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵25（2016丹東模擬）校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn)如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)A，在公路1上確定點(diǎn)B、C，使得ACl，BAC=60°，再在AC上確定點(diǎn)D，使得BDC=75°，測得AD=40米已知本路段對校車限速是50千米/時，測得某校車從B

50、到C勻速行駛用時10秒（1）求CD的長（結(jié)果保留根號）（2）問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.73）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）作DEAB交BC于E，則CDE=A，設(shè)CD=x米，求出CED=30°，得出DE=2CD=2x，CE=x，證明BE=DE=2x，由BC=AC得出方程，解方程即可；（2）由（1）得：x=20，得出BC的長，求出校車從B到C勻速行駛的速度，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）作DEAB交BC于E，如圖所示：則CDE=A=60°，設(shè)CD=x米，ACl，ACB=90°，CED=30°，DE

51、=2CD=2x，CE=x，BDC=75°，BDE=15°，CED=BDE+DBE，DBE=15°=BDE，BE=DE=2x，又A=60°，BC=AC，x+2x=（x+40），解得：x=20，即CD=20米；（2）這輛車在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x=20，BC=CE+BE=×20+2×20=60+40（米），校車從B到C勻速行駛用時10秒，速度為（60+40）÷10=6+4（米/秒）46.67千米/小時50千米/小時，這輛車在本路段不超速【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)的運(yùn)用；熟練掌握勾股定

52、理的運(yùn)用，通過作輔助線求出CD是解決問題的關(guān)鍵26（2016長春模擬）探索：如圖，以ABC的邊AB、AC為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，連結(jié)BE、CD，試確定BE與CD有怎樣數(shù)量關(guān)系，并說明理由應(yīng)用：如圖，要測量池塘兩岸B、E兩地之間的距離，已知測得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法得出CADEAB（SAS），進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出DC的長，進(jìn)而得出答案【解答】解：探索：BE=CD，理由：BAD=CAE=90°，CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)A作ADAB，且AD=AB，連接BD，由探索，得CADEAB，BE=DC，AD=AB=100m，DAB=90°，ABD=45°，BD=100m，ABC=45°，DBC=90°，在RtDBC中，BC=100m，BD=100m，CD=100（m），則BE=100m，答：BE的長為100m【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性