量子楔形的隧道譜之理論分析

1、量子楔形的隧道譜之理論分析 陳興威 李瑞東(金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院，浙江金華，321017)摘要：本文利用簡單勢壘模型，通過直接求解薛定諤方程，導(dǎo)出了電子的隧穿系數(shù)公式，形象地描述了量子楔形與掃描隧道顯微鏡之間的隧道譜特性。考慮有限溫度下費米面的模糊以及能級分裂后，可平緩能級附近電流的突變，使理論曲線更加接近于實驗。但是，在偏壓為負(fù)的情況下，隧穿電流還有待進(jìn)一步的修正。關(guān)鍵詞：量子楔形; 透射系數(shù); 隧道譜; 波函數(shù)中圖分類號：O04 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ATheoretical Analysis of the Tunnel Spectroscopy on a Quantum WedgeCHEN

2、 Xing-wei and LI Rui-dong(Information Engineering Institute, Jinhua College of Profession and Technology, Jinhua, Zhejiang, 321017)Abstract: Using simple potential barrier model, we obtain the penetration coefficient formula by solving the Schrödinger equation directly, which describes the char

3、acteristics of the tunnel spectrum between the quantum wedge and Scanning Tunneling Microscope well. Considering Fermi distribution will deflective in limited temperature and atom energy level will split, the tunnel current nearby energy level will more smooth, which makes for the theoretical curves

4、 agree with the experiment curves much more, but the tunnel current need to be corrected farther under the negative tip bias condition.Keywords: quantum wedge, penetration coefficient, tunnel spectroscopy, wave function1. 引言表面結(jié)構(gòu)的研究一直是表面物理的最基本問題之一。自從掃描隧道顯微鏡13（Scanning Tunneling Microscope/STM）問世以來，在實

5、空間測定精細(xì)表面結(jié)構(gòu)成為可能。最近，I.B.Altfeder, K.A.Matveev和D.M.Chen等人通過實驗展示了一種測定埋層結(jié)構(gòu)的非損傷性方法4。他們用分子束外延法5制作了一個鉛薄膜量子楔形(通常我們把原子層數(shù)階梯變化厚度僅為納米量級的金屬楔形稱為量子楔形)。如果對邊界條件加以一定的限制，局域在量子楔形中的電子波函數(shù)應(yīng)包含有真空界面和埋層界面的信息。因此，通過分析楔形中量子化的電子必定可以了解到埋層界面的一些信息。這樣，對于非暴露形界面進(jìn)行非損傷性測量成為可能。而量子化的電子其性質(zhì)在一定程度上決定著STM與量子楔形表面之間的隧穿電流，在STM偏壓變化的過程中，測定隧穿電流或探針位置的

6、相應(yīng)改變，這些測量可以得到關(guān)于表面電子態(tài)結(jié)構(gòu)和隧穿過程的信息。所以對量子楔形中隧穿電流性質(zhì)的研究顯得很有必要。在文獻(xiàn)4中，Altfeder等人在實驗上測得了量子楔形與掃描隧道顯微鏡之間一系列的隧道譜曲線，如圖1所示。圖1 不同量子化臺階數(shù)目處的I-V曲線圖 Fig.1 The I-V curves with different quantum steps2. 隧道譜理論分析下面，我們從量子力學(xué)基本原理出發(fā)，利用簡單勢壘模型，通過直接求解薛定諤方程，來導(dǎo)出電子的隧穿系數(shù)公式。(1)當(dāng)針尖偏壓V為正時，電子隧穿勢壘模型如圖2(a)所示：圖2 (a) 電子隧穿勢壘（） 圖2 (b) 電子隧穿勢壘（）

7、Fig.2(a) A tunneling potential barrier(V>0) Fig.2(b) A tunneling potential barrier(V<0) 針尖與量子楔形表面之間的勢壘可以用下式表示 式中為鎢針尖功函數(shù)，為鉛功函數(shù)，為針尖離鉛表面的高度。為了方便，我們忽略了與之間的微小差別，令 =，則 粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 式中，為費米能級起第個量子態(tài)的能量，它由局域在楔形內(nèi)的量子化電子能量決定，對于在費米面附近的電子，每個態(tài)之間的能量寬度，其中是普朗克常數(shù)，是費米速度，H為楔形高度。在這里，我們把費米能級作為能量參考零點。為簡便起見，令 在區(qū)域

8、內(nèi)，方程(1)的解是 在區(qū)域內(nèi)，方程(2)的解是 式中是方程的兩個解，其中，, 在區(qū)域內(nèi)，方程(3)的解是 利用波函數(shù)及其微商在和連續(xù)的條件來確定波函數(shù)中的其他系數(shù)，可以得出和1的關(guān)系是 式中，(7)式給出透射波與入射波振幅之間的關(guān)系，由此可以求出透射波的幾率流密度與入射波幾率流密度之比，即透射系數(shù)，以表示，有 求和在位于0 之間進(jìn)行。(2) 當(dāng)針尖偏壓為負(fù)時，電子隧穿勢壘模型如圖2(b)所示：粒子的波函數(shù)同樣滿足定態(tài)薛定諤方程(1)-(3)，而此時，。同樣，利用波函數(shù)及其微商在和處連續(xù)的條件，可得到透射系數(shù)： (9)式中：由式(8)、(9)可以計算出STM與量子楔形之間的隧穿電流。選取，及由

9、不同臺階處費米面附近的電子態(tài)之間的能量寬度，我們可畫出理論計算所得到的一系列隧道譜，如圖3所示。3. 結(jié)論與討論從圖3與圖1的比較可以看出，上面計算所得的理論曲線大致上與實驗相符。在偏壓為正情況下，在能級Ei附近區(qū)域內(nèi)，電流沒有形成突變，這與實驗符合得很好，但在偏壓為負(fù)的情況下，電流在處有一突變，這有待理論的進(jìn)一步修正。上面的隧穿電流計算是建立在溫度為絕對零度的條件之下的。實際上，STM的一般工作溫度為幾開或幾十開，考慮到隧道結(jié)的金屬電極的費米面模糊（電子分布模糊）情況，對隧穿電流會有一定的影響，另外，由于受原子能級分裂的影響，在能級附近區(qū)域內(nèi)，隧穿電流將會有一小的變化，但這些影響相對都比較小

10、，我們在這里不再作更細(xì)致的研究。 圖3 不同臺階處的隧道譜 Fig.3 The tunnel spectrum with different quantum steps參考文獻(xiàn)：1G. Binnig and H. Rohrer. Scanning Tunneling Microscopy-from Birth to Adolescence J. Reviews of Modern Physics, 1987, 59: 6152 J. Golovchenko. The Tunneling Microscope: A New Look at the Atomic World J. Science, 1986, 232: 483 白春禮.掃描隧道顯微鏡及其應(yīng)用M.上海:上?？茖W(xué)