構(gòu)造直角三角形解題

1、  構(gòu)造直角三角形解題韓玉海在解某些數(shù)學(xué)問題時，若能根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，則可利用直角三角形的性質(zhì)，巧妙地將題目解出。下面舉例說明。1、求線段長例1在四邊形ABCD中，A=60°，B=90°，D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的長。解：延長AD、BC交于F，得RtABF和RtCDF，且F=30°。在RtABF中，由AB=2，F(xiàn)=30°得AF=2AB=4同理可得CF=2，DF=BC=BFCF=，AD=AFDF=4。2、求角的度數(shù)例2如圖，在ABC中，ABC=45°，ACB=60°，D在AC的延

2、長線上，AB=CD。求CBD。解：作AEBC于E，連DE，在RtABE中，BE=AE，在RtAEC中，所以。則AB=而AB=，故CE=CD1=2=ACB=30°又EAC=30°，所以DE=AE=BE所以CBD=3=1=15°3、證線段倍分例3如圖，B=90°，1=2=60°，C=45°，求證：CDBD=AB。證明：把ABD繞AD翻轉(zhuǎn)到AB'D的位置，則B'D=BD，AB'=AB，B'=B=90o，2=3。由123=180°，知C、D、B'三點(diǎn)共線，故AB'C為等腰直角三角形，從

3、而有：CDB'D=AB'，CDBD=AB。4、證不等例4如圖，在ABC中，BC>AC，AD、BE為高，求證：BCAD>ACBE。證明：由題意，在BC上取一點(diǎn)A'，使A'C=AC，作A'D'AC于D'，A'FBE于F，則四邊形EFA'D'為矩形，得A'D'=FE又有RtA'D'CRtADC，于是A'D'=ADBA'=BCA'C=BCACBF=BEFE=BEA'D'=BEAD在RtA'BF中，BA'>BF，

4、即BCAC>BEADBCAD>ACBE.5、解三角問題例5求cot22.5°的值。解：構(gòu)造如圖所示的RtABC，則cot22.5°=6、解代數(shù)問題例6若a>3，求證：。證明：作出如圖所示的RtABC，由BDAD>AB，得7、求最值例7若m、n、p為正實(shí)數(shù)，且，求：的最小值。解：構(gòu)造如圖所示的直角三角形，易知CDAE，即故的最小值為例8求的最小值。解：構(gòu)造如圖所示的RtPAC，RtPBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直線L上，則所求最小值轉(zhuǎn)化為“在直線L上求一點(diǎn)P，使PAPB的值最小”，取A點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)A'，則有

5、：原式=PAPBA'B故的最小值是5。  更多精彩文章盡在揚(yáng)州假日培訓(xùn)網(wǎng)！點(diǎn)擊更多驚喜等著您！構(gòu)造直角三角形解題山東省萊西市牛溪埠鎮(zhèn)欒家寨中學(xué) 秦顯平山東省萊西市教育局教研室 梁翠風(fēng)在解決一些線段或角的數(shù)量關(guān)系問題時，根據(jù)已知圖形的特征，可考慮構(gòu)造直角三角形，以運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系求解1等腰三角形問題例1如圖1，D為等腰ABC的底邊BC的延長線上的任意一點(diǎn)求證 AD2-AC2DB·DC證明 作AEBC于E，ABAC，BEEC根據(jù)勾股定理，有AD2-AC2(AE2+ED2)-(AE2+EC)2ED2-EC2(ED+EC)(ED-EC)DB·CD2面積問題

6、例2 如圖2，已知ABC中，B60°，C75°，ABC的面積為解 作CDAB于D， B60°， A180°-60°-75°45°，解得 a2，故選C，3直角問題例3 如圖3，在四邊形ABCD中，ABBCCDDA2231，且B90°，求DAB的度數(shù)解 連結(jié)AC，設(shè)ADa，則ABBC2a，CD3a B90°，且ABBC，又 AC2+AD28a2+a29a2CD2， CAD為直角三角形且 CAD90°，BAD90°+45°135°例4 如圖4，在四邊形ABCD中，A60&

7、#176;，BD90°解 延長AB和DC相交于E，延長AD和BC相交于F，易知4三角函數(shù)問題例5 如圖5，AD是ABC的中線，BAD，CAD，ADC證明 分別從B、C向AD或AD延長線作垂線，垂足為E、F在RtBED和RtCFD中，BDECDF，BDCD， BEDCFD， AE-AF2ED2BEctg而AEBEctg，AFCFctgBEctg，把它們都代入，化簡即得，5勾股定理的逆定理問題 例6 如圖6，已知P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且2BP2+AP2PC2求證APB135°分析 條件似乎很不夠，可考慮用旋轉(zhuǎn)，把PBC繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得PBA，則PBPB，

8、PBP90°，PPB45°，且2BP2+AP2PB2+BP2+AP2PP2+AP2PC2PA2 APP90°，APB90°+45°135°6直徑問題例7 如圖7，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC是O的直徑，DAB60°，CD2，BC11求AC的長解 AC是O的直徑，ADCB90°延長BC、AD交于E，則DCE為直角三角形B90°，DAB60°，E90°-60°30°，在RtCDE中E30°，EC2CD4，BEBC+EC11+415，例8 如圖8，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)