人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十三章13.3.2 等邊三角形 第2課時 含30°角的直角三角形的性質(zhì)

1、第十三章第十三章 軸對稱軸對稱13.3.2 等邊三角形等邊三角形第2課時 含30角的直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索含30角的直角三角形的性質(zhì)（重點）2會運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計算（難點）問題1 如圖，將兩個相同的含含30角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB問題2 將一張等邊三角形紙片沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD 如圖，ADC是ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD, BAD=230=60，從而ABD是一

2、個等邊三角形.再由ACBD,可得BC=CD= AB.12你還能用其他方法證明嗎？含30角的直角三角形的性質(zhì)1【證法1】在ABC 中，C =90，A =30, B =60延長BC 到D，使BD =AB，連結(jié)AD，則ABD 是等邊三角形又ACBD, 已知：如圖，在RtABC 中，C =90，A =30. 求證：BC = AB21ABCD 證明方法：倍長法BC = AB12BC = BD12EABC 【證法2】 在BA上截取BE=BC，連結(jié)EC. B= 60 ，BE=BC， BCE是等邊三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30， AE=EC， A

3、E=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.BC = AB12證明方法：截半法含30角的直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：在RtABC 中，C =90，A =30，ABCBC = AB12判斷下列說法是否正確：（1）直角三角形中30角所對的直角邊等于另一直角邊的一半. （2）三角形中30角所對的邊等于最長邊的一半. （3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。（4）直角三角形的斜邊是30角所對直角邊的2倍 如圖，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜邊AB上的高，AD3cm，則AB的長度是()A3cm B6cm C9cm

4、D12cm注意：運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形 D解析：在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，ADC90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm.在RtABC中，AB2AC12cm.AB的長度是12cm.故選D.例1 如圖，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，則PD等于()A3 B2 C.1.5 D1解析：如圖，過點P作PEOB于E.PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3，PE1.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故選C.EC例2方法總結(jié)：含30角的直角三角形與角平分線、垂直平

5、分線的綜合運(yùn)用時，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30角的直角三角形 如圖，在ABC中，C90，AD是BAC的平分線，過點D作DEAB.DE恰好是ADB的平分線CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由解：1.2CDDB理由如下：DEAB，AEDBED90.DE是ADB的平分線，ADEBDE.又DEDE，AEDBED(ASA)，例3在RtACD中，CAD30，ADBD，DAEB.BADCAD BAC，12BADCADB.BADCADB90，BBADCAD30.CD AD BD，即CD DB.121212方法總結(jié)：含30角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系

6、的結(jié)論時，要聯(lián)想此性質(zhì)想一想：圖中BC、DE 分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？ 如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D 是斜梁AB 的中點，立柱BC、DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 要多長？ABCDE例4ABCDE解：DEAC,BC AC, A=30 ，BC= AB, DE= AD，1212BC= AB= 7.4=3.7(m).1212又AD= AB,12DE= AD= 3.7=1.85 (m).1212即立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m. 已知:等腰三角形的底角為15 ,腰長為20.求腰上的高. ACBD15 15 20解

7、:過C作CDBA,交BA的延長線于點D.B=ACB=15 (已知),DAC= B+ ACB= 15+15=30，)1212CD= AC= 20=10.例5方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30角的直角三角形來解決本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30角，利用含30角的直角三角形的性質(zhì)解決問題.1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30角，這棵樹在折斷前的高度為( )A6米 B9米 C12米 D15米2.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知A150，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少

8、需要( )A300a元 B150a元C450a元 D225a元BB4.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,則BC = .55.如圖，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm，則AB=_.ACB83.如圖，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4，則BD = . A B C D 1第3題圖第5題圖6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長解：連結(jié)AE.DE是AB的垂直平分線，BE=AE，EAB=B=15，AEC=EAB+B=30C=90，AC= AE= BE=2.512127.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120 ，D是BC的中點，DEAB于E點，求證：BE=3EA.證明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中點，ADBC，ADC=90，BAD=DAC=60，AB=2A