直線、平面平行和垂直的判定及其性質(zhì)

1、本章內(nèi)容本章內(nèi)容2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第二章第二章 小結(jié)小結(jié)2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定(第一課時(shí)第一課時(shí))復(fù)習(xí)與提高復(fù)習(xí)與提高2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定(第二課時(shí)第二課時(shí))2.3.2 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定(第一課時(shí)第一課時(shí))2.3.2 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定(第二課時(shí)

2、第二課時(shí))2.3.3 直線與平面直線與平面2.3.4 平面與平面平面與平面垂直的性質(zhì)垂直的性質(zhì)第一課時(shí)第一課時(shí)直線與平 面垂直的判定2.3.1返回目錄返回目錄1. 直線和平面垂直是怎樣定義的直線和平面垂直是怎樣定義的? 2. 用直線和平面垂直的判定定理證明線面用直線和平面垂直的判定定理證明線面垂直需要哪些條件垂直需要哪些條件? 問題問題 1. 在你的感覺中在你的感覺中, 直線和平面垂直是怎樣一直線和平面垂直是怎樣一種情況種情況? 你能說出我們教室里直線與平面垂直的例子你能說出我們教室里直線與平面垂直的例子嗎嗎? 你認(rèn)為怎樣定義直線與平面垂直恰當(dāng)你認(rèn)為怎樣定義直線與平面垂直恰當(dāng)? 如果直線如果直

3、線 l 與平面與平面 a a 內(nèi)的任意一條直線都垂直內(nèi)的任意一條直線都垂直, 我們就說直線我們就說直線 l 與平面與平面 a a 互相垂直互相垂直, 記作記作 la a, 直線直線 l 叫做平面叫做平面 a a 的垂線的垂線, 平面平面 a a 叫做直線叫做直線 l 的垂面的垂面. 線面垂直是線面相交的一種特殊情況線面垂直是線面相交的一種特殊情況, 線面垂直線面垂直, 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 即交點(diǎn)即交點(diǎn), 這個(gè)交點(diǎn)叫做線面垂直這個(gè)交點(diǎn)叫做線面垂直的的垂足垂足. 直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義: 1. 直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 畫直線和水平平面垂直畫直

4、線和水平平面垂直, 要把直線畫成和表示平要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直面的平行四邊形的橫邊垂直. 畫直線和豎直平面垂直畫直線和豎直平面垂直, 要把直線畫成和表示平要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的豎直邊垂直面的平行四邊形的豎直邊垂直.a alla ab bmm b b 問題問題2: 已知平面已知平面 a a 和空間任意一點(diǎn)和空間任意一點(diǎn) P, 過點(diǎn)過點(diǎn) P 能能作作 a a 的幾條垂線的幾條垂線? 為什么為什么?a aP 結(jié)論結(jié)論: 過空間任意一點(diǎn)過空間任意一點(diǎn), 有且只有一條直線和有且只有一條直線和已知平面垂直已知平面垂直.如果有兩條如果有兩條, PAa a, PBa a,只

5、有一條只有一條.垂足分別為垂足分別為 A, B.則則 PA, PB 確定的平面確定的平面與與 a a 相交于一直線相交于一直線 AB.AB于是于是 PAAB, PBAB,則在平面則在平面PAB內(nèi)過一點(diǎn)有兩條直線和已知直線垂直內(nèi)過一點(diǎn)有兩條直線和已知直線垂直,根據(jù)平面幾何知識(shí)根據(jù)平面幾何知識(shí), 這顯然不對這顯然不對. 問題問題 3. (1) 請同學(xué)們用一塊三角板的一條直角邊請同學(xué)們用一塊三角板的一條直角邊放在桌面內(nèi)放在桌面內(nèi), 另外一條直角邊不在桌面內(nèi)另外一條直角邊不在桌面內(nèi), 請問這另請問這另一條直角邊與桌面垂直嗎一條直角邊與桌面垂直嗎? (2) 用一張有一定硬度的紙將一邊對折后又展開用一張有

6、一定硬度的紙將一邊對折后又展開,并將所折的邊放在桌面上并將所折的邊放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能嗎有不垂直的可能嗎? 用定義判斷線面垂直不太方便用定義判斷線面垂直不太方便, 怎樣有較方便的怎樣有較方便的方法判斷線面垂直呢方法判斷線面垂直呢, 我們先看下面的問題我們先看下面的問題.ABCD當(dāng)當(dāng)A、B、C 不共線時(shí)不共線時(shí),折痕折痕DC垂直桌面垂直桌面;當(dāng)當(dāng)A、B、C 共線時(shí)共線時(shí),折痕折痕DC不一定垂直桌面不一定垂直桌面.2. 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直垂直,

7、 那么這條直線垂直于這個(gè)平面那么這條直線垂直于這個(gè)平面.符號(hào)表示符號(hào)表示:laba ala,lb,a a a,b a a,ab, la a.直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理:由線線垂直得線面垂直由線線垂直得線面垂直. 問題問題 4. 一旗桿高一旗桿高 8 m, 在它的頂端系兩條長在它的頂端系兩條長10m 的繩子的繩子, 拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)點(diǎn) ( 與旗桿腳不在同一直線上與旗桿腳不在同一直線上). 如果這兩點(diǎn)與旗桿腳如果這兩點(diǎn)與旗桿腳相距相距 6m, 那么旗桿就與地面垂直那么旗桿就與地面垂直, 為什么為什么?ABCD如圖如

8、圖, AB= =8,AC= =AD= =10,BC= =BD= =6,ABC和和ABD的三邊的三邊滿足勾股定理滿足勾股定理, ABBC,ABBD,而而 BC、BD在地面內(nèi)在地面內(nèi),C、B、D不在同一直線上不在同一直線上,即即 BC, BD相交相交,由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面.a a例例 1. 如圖如圖, 已知已知 ab, aa a. 求證求證: ba a.am證明證明: 在在 a a 內(nèi)任作兩相交直線內(nèi)任作兩相交直線 m、n, aa a,m a a, am, an, ba, bm, bn,又又 m 與與 n 相交相交, ba a. 結(jié)論結(jié)論: 兩平

9、行線中的一條垂直于一個(gè)平面兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面, 那那么另一條也垂直于這個(gè)平面么另一條也垂直于這個(gè)平面.bnn a a, 練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂線段的垂線段, PA 是是平面平面 a a 的斜線段的斜線段, 直線直線 l a. 求證求證: (1) 若若 lPA, 則則 lQA; (2) 若若 lQA, 則則 lPA.a alPQA證明證明: (1)PQa, l a.PQl.若若 lPA, l平面平面PQA.QA 平面平面PQA,lQA. 練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂線段的垂線段, PA 是是平面平面 a

10、 a 的斜線段的斜線段, 直線直線 l a. 求證求證: (1) 若若 lPA, 則則 lQA; (2) 若若 lQA, 則則 lPA.a alPQA證明證明: (2)PQa, l a.PQl.若若 lQA, l平面平面PQA.PA 平面平面PQA,lPA. 練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂線段的垂線段, PA 是是平面平面 a a 的斜線段的斜線段, 直線直線 l a. 求證求證: (1) 若若 lPA, 則則 lQA; (2) 若若 lQA, 則則 lPA.a alPQAQ 為垂線段為垂線段 PQ 的垂足的垂足.A 為斜線段為斜線段 PA 的斜足的斜足.Q

11、A 為斜線為斜線 PA 在平面在平面 a 上的射影上的射影.有三條線有三條線: 平面的斜線平面的斜線, 斜線在平面上的射影斜線在平面上的射影,平面內(nèi)的一條直線平面內(nèi)的一條直線 l.結(jié)論結(jié)論: 如果如果 l 斜線斜線, 則則 l射影射影;如果如果 l射影射影, 則則 l斜線斜線.(三垂線定理三垂線定理) 探究題探究題. 如圖如圖, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 側(cè)側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ) 中中, 底面四邊形底面四邊形ABCD 滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí), A CB D ?ABCDA B C D 分析分析: 由題中定義知由題中定義知,側(cè)棱

12、側(cè)棱 A A平面平面A B C D ,從而從而 A AB D .又要使又要使 A CB D ,則需則需 B D 平面平面A AC.所以需在平面所以需在平面A AC內(nèi)另找一條直線內(nèi)另找一條直線容易考慮的是容易考慮的是AC是否滿足是否滿足?要使要使ACB D , 四邊形四邊形ABCD需滿足需滿足:BA= =BC, 且且DA= =DC.與與B D 垂直且與垂直且與A A相交相交. (改為如下的證明題, 請同學(xué)們給出證明) 如圖如圖, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 側(cè)棱與底面垂側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱直的棱柱稱為直棱柱 ) 中中, 已知已知 A B = =B C , A D

13、= =D C , 求證求證: B D A C.ABCDA B C D 證明證明: 連結(jié)連結(jié)A C ,A B = =B C ,B D A C ,AA 平面平面A B C D AA B D , B D 平面平面AA C C,B D A C.(定義)(判定)(定義)A D = =D C ,AA A C = =A ,A C 平面平面AA C C,練習(xí)練習(xí): (課本課本67頁頁)第第 1、2 題題.練習(xí)練習(xí): (課本課本69頁頁) 1. 如圖如圖, 在三棱錐在三棱錐 V-ABC中中, VA= =VC, AB= =BC, 求證求證: VBAC.ABCV練習(xí)練習(xí): (課本課本67頁頁)證明證明:D取取 AC

14、 邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn) D,連接連接 VD, BD. VA= =VC, VDAC,VB= =BC, BDAC, AC平面平面VDB,而而 VB 平面平面VDB,ACVB. 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接連接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是 AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 則則 O 是是ABC的的 心心.ABCPOa a解解: (1) 如圖如圖

15、, POa a,則則POA= =POB= =POC= =90 ,又又 PA= =PB= =PC,POA POB POC,得得 OA= =OB= =OC, 又又C= =90 ,直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).中點(diǎn)中點(diǎn) 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接連接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是 AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 P

16、APB, PBPC, PCPA, 則則 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (2) 由由(1)得得 OA= =OB= =OC,中點(diǎn)中點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等到三角形三頂點(diǎn)的距離相等外外ABCP的點(diǎn)是三角形的外心的點(diǎn)是三角形的外心. 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接連接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是 AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA,

17、則則 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (3)中點(diǎn)中點(diǎn)外外由由 PAPB, PAPC,得得 PA平面平面PBC,PABC.又由又由 POa a 得得 POBC,于是得于是得 BC平面平面POA, BCAO.同理可得同理可得 ABCO,O 為為ABC的垂心的垂心.垂垂ABCP練習(xí)練習(xí): (課本課本69頁頁) 如圖如圖, 正方形正方形 SG1G2G3中中, E, F 分別是分別是 G1G2, G2G3 的中點(diǎn)的中點(diǎn), D 是是 EF的中點(diǎn)的中點(diǎn), 現(xiàn)在沿現(xiàn)在沿 SE, SF 及及 EF 把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體, 使使 G1, G2, G3 三點(diǎn)重合三點(diǎn)重合,

18、重合后的點(diǎn)記為重合后的點(diǎn)記為 G, 則在四面體則在四面體 S-EFG 中必有中必有( ) (A) SGEFG所在平面所在平面 (B) SDEFG所在平面所在平面 (C) GFSEF所在平面所在平面 (D) GDSEF所在平面所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】1. 線面垂直的定義線面垂直的定義 若直線若直線 l 垂直平面垂直平面 a a 內(nèi)的任意一直線內(nèi)的任意一直線, 則叫則叫 la a.應(yīng)用應(yīng)用:若若 la a, 則則 l 垂直平面垂直平面 a a 內(nèi)的任意一直線內(nèi)的任意一直線.la a,m a a,lm.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】2. 線面垂直的判定定理線面垂直的判定定理

19、 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個(gè)那么這條直線垂直于這個(gè)平面平面.la,lb,ab= =P,la a.a a a,b a a,【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】3. 相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論 過空間任意一點(diǎn)過空間任意一點(diǎn), 有且只有一條直線有且只有一條直線和已知平面垂直和已知平面垂直. 兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面, 那么另一條也垂直于這個(gè)平面那么另一條也垂直于這個(gè)平面. 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的斜如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的斜線線, 則這條直線垂直斜線在平面上的射影則這條直線垂直斜線在平面上的

20、射影; 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的一如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影條斜線在平面上的射影, 則這條直線垂直斜則這條直線垂直斜線線.習(xí)題習(xí)題 2.3B 組組第第 2、4 題題習(xí)題習(xí)題 2.3B 組組 2. 如圖如圖, 棱錐棱錐 V-ABC中中, VO平面平面 ABC, O CD, VA= =VB, AD= =BD, 你們能判定你們能判定 CDAB 以及以及 AC= =BC 嗎嗎?VABCDO答答: 能判定能判定.由由 VA= =VB, AD= =BD 得得, VDAB.又由又由VO平面平面 ABC 得得, VOAB.于是得于是得AB平面平面VOD, O CD, ABOD.

21、 ABCD,而而 AD= =BD, 從而得從而得 AC= =BC. 4. 如圖如圖, AB 是是 O 的直徑的直徑, 點(diǎn)點(diǎn) C 是是 O 上的上的動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn), 過動(dòng)點(diǎn)過動(dòng)點(diǎn) C 的直線的直線 VC 垂直于垂直于 O 所在平面所在平面, D, E 分別是分別是 VA, VC 的中點(diǎn)的中點(diǎn). 試判斷直線試判斷直線 DE 與平面與平面 VBC 的位置關(guān)系的位置關(guān)系, 并說明理由并說明理由.VABCDEO解解: DE平面平面VBC.由直徑所對的圓周角是直角得由直徑所對的圓周角是直角得ACBC.又由又由 VC 垂直于垂直于 O 所在平面得所在平面得ACVC.而而 D, E 分別是分別是 VA, VC 的中

22、點(diǎn)得的中點(diǎn)得DE/AC, DE平面平面VBC. AC平面平面VBC.第二課時(shí)第二課時(shí)直線與平 面垂直的判定2.3.1返回目錄返回目錄1. 什么是斜線在平面上的射影什么是斜線在平面上的射影? 2. 直線和平面所成的角是由哪些元素構(gòu)成直線和平面所成的角是由哪些元素構(gòu)成? 其范圍是多少其范圍是多少? 3. 求直線和平面所成角的大小時(shí)求直線和平面所成角的大小時(shí), 應(yīng)掌握應(yīng)掌握哪些要點(diǎn)哪些要點(diǎn)? 問題問題5. 如圖如圖, 直線直線 l 與平面與平面 a a 斜交于一點(diǎn)斜交于一點(diǎn) A, 過過點(diǎn)點(diǎn) A 在平面在平面 a a 內(nèi)作直線內(nèi)作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直這些直線與直線線 l 的夾

23、角中的夾角中, 你認(rèn)為哪個(gè)角最小你認(rèn)為哪個(gè)角最小? 怎樣確定這個(gè)最怎樣確定這個(gè)最小的角小的角?la al4Al3l1l2P過過 l 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) P 作平面作平面 a a 的的O垂線垂線 PO, 垂足為垂足為 O, 連結(jié)連結(jié) AO,則則PAO 就是那個(gè)最小的角就是那個(gè)最小的角.【直線和平面所成的角直線和平面所成的角】 問題問題5. 如圖如圖, 直線直線 l 與平面與平面 a a 斜交于一點(diǎn)斜交于一點(diǎn) A, 過過點(diǎn)點(diǎn) A 在平面在平面 a a 內(nèi)作直線內(nèi)作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直這些直線與直線線 l 的夾角中的夾角中, 你認(rèn)為哪個(gè)角最小你認(rèn)為哪個(gè)角最小? 怎樣確定這個(gè)最

24、怎樣確定這個(gè)最小的角小的角?la al4Al3l1l2PO 一條直線一條直線 PA 和一個(gè)平和一個(gè)平面面 a a 相交相交, 但不垂直但不垂直, 這條這條直線叫做這個(gè)平面的直線叫做這個(gè)平面的斜線斜線, 其交點(diǎn)其交點(diǎn) A 叫做叫做斜足斜足. 過斜線過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線 PO, 過垂足過垂足 O 和和斜足斜足 A 的直線的直線 AO 叫斜線在平面上的叫斜線在平面上的射影射影. 平面的平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角, 叫做這叫做這條條直線和直線和這個(gè)這個(gè)平面所成的角平面所成的角.【直線和平面所成的角直線和平面所

25、成的角】a aOPQPOa a = = O,PQa a, Q 為垂足為垂足,則則 OQ 是是 PO 在平面在平面 a aPOQ 是斜線是斜線 PQ 與與平面平面 a a 所成的角所成的角.上的射影上的射影. 特例特例1: 如果直線垂直平面如果直線垂直平面, 直線和平面所成的直線和平面所成的角為直角角為直角; 特例特例2: 如果直線和平面平行或在平面內(nèi)如果直線和平面平行或在平面內(nèi), 就說直就說直線和平面所成的角是線和平面所成的角是0的角的角. 問題問題6. 已知直線已知直線 l1、l2 和平面和平面 a a 所成的角相等所成的角相等, 能否判斷能否判斷 l1l2? 反之反之, 如果如果 l1l2

26、, l1, l2 與平面與平面a a 所成的角是否相等所成的角是否相等?如圖如圖,a aABCDOABa a, CDa a,AOB = =COD.而而 AO 與與 CO 不平行不平行.a aABCDO1O2如圖如圖,ABCD,AO1a a, CO2a a,則則 AO1CO2,于是得于是得BAO1= =DCO2,則在直角三角形中得則在直角三角形中得ABO1= =CDO2.結(jié)論結(jié)論: 和同一平面所成的角相等的兩條斜線和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定不一定平行平行.兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角一定相等一定相等. 例例2. 如圖如圖, 在正方體在正方體 ABCD-

27、A1B1C1D1中中, 求求直線直線 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D分析分析: 需在平面需在平面A1B1CD上上找到直線找到直線A1B的射影的射影.即需找過即需找過A1B上的點(diǎn)垂直上的點(diǎn)垂直平面平面A1B1CD的直線的直線.O而而 BB1, BC不可能垂直平面不可能垂直平面A1C,易看出對角線易看出對角線 BC1 有可能有可能.因?yàn)橐驗(yàn)锽C1B1C,還容易看出還容易看出BC1A1B1,于是可連結(jié)于是可連結(jié)BC1, 交交B1C于于O,即即A1O就是要找的射影就是要找的射影.BA1O就是所要求的線面角就是所要求的線面角,則可在則可在RtBA1O中求中

28、求. 例例2. 如圖如圖, 在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直線直線 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D解解: 連結(jié)連結(jié) BC1, 交交 B1C 于于 O,則在正方形則在正方形BCC1B1中中, BC1B1C.又又A1B1平面平面BCC1B1,得得 A1B1BC1.O則則 BC1平面平面A1B1CD, O為垂足為垂足.得得 A1O為為A1B在平面在平面A1B1C1D上的射影上的射影.BA1O就是直線就是直線A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角,在在 RtBA1O 中中, A1B= =BC1= =2BO,21sin11

29、= = = BABOOBA得得BA1O= =30 .直線直線 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角是所成的角是30 . 例例2. 如圖如圖, 在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直線直線 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D求線面角的要點(diǎn)求線面角的要點(diǎn):(1) 找斜線在平面上的射影找斜線在平面上的射影,確定線面角確定線面角.(2) 構(gòu)造含線面角的三角形構(gòu)造含線面角的三角形,O通常構(gòu)造直角三角形通常構(gòu)造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小在三角形中求角的大小.練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1D如圖如圖, 在正方體

30、在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求對角線求對角線 A1C 與平面與平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 AA1 與平面與平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (1) A1C是平面是平面B1BCC1的斜線的斜線,A1B1是平面是平面B1BCC1的垂線的垂線,B1C是是A1C在平面在平面B1BCC1上的射影上的射影,則則A1CB1為所求的線面角為所求的線面角.在在RtA1B1C中中,2111BACB= =21tan11111= = = CBBACBA.22= =即即 A1C 與平面與平面 B1BCC1 所成角的正切值為所成角的正切值為.2

31、2練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1DO如圖如圖, 在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求對角線求對角線 A1C 與平面與平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 A1A 與平面與平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (2) 取取 BD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) O,連結(jié)連結(jié) AO, A1O,過點(diǎn)過點(diǎn) A 作作 AEA1O, 垂足為垂足為 E.AB= =AD, A1B= =A1D,EBDAO, BDA1O,則則 BD平面平面A1AO,得得 BDAE.由得由得AE平面平面A1BD.A1E是是A1A在平面在平面A1BD上的射影上的射影,ABC

32、A1B1C1D1DOE練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充)如圖如圖, 在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中,(1) 求對角線求對角線 A1C 與平面與平面 B1BCC1 所成角的正切值所成角的正切值;(2) 求求 A1A 與平面與平面 A1BD 所成角的正切值所成角的正切值.解解: (2) 取取 BD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) O,連結(jié)連結(jié) AO, A1O,過點(diǎn)過點(diǎn) A 作作 AEA1O, 垂足為垂足為 E.AB= =AD, A1B= =A1D,BDAO, BDA1O,則則 BD平面平面A1AO,得得 BDAE.由得由得AE平面平面A1BD.A1E是是A1A在平面在平面A1BD上的射影上的射影,則則 AA1E

33、 為所求的線面角為所求的線面角.在在 RtA1AO 中中,tan11AAAOEAA= = BDAO21= =,2211AA= =.22tan1= = EAA即即 A1A 與平面與平面 A1BD所成角的正切值為所成角的正切值為.22【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】1. 直線和平面所成的角直線和平面所成的角(1) 平面的斜線與平面所成的角平面的斜線與平面所成的角斜線與射影的夾角斜線與射影的夾角(銳角銳角).(2) 平面的垂線與平面所成的角為平面的垂線與平面所成的角為90 .(3) 平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與 平面所成的角為平面所成的角為0 . 斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)

34、所斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的有直線所成角中最小的.兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】2. 求線面角的要點(diǎn)求線面角的要點(diǎn) (1) 找斜線在平面上的射影找斜線在平面上的射影, 確定確定線面角線面角. (2) 構(gòu)造含角的三角形構(gòu)造含角的三角形, 用三角函用三角函數(shù)求解數(shù)求解.練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充) 2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是等底面是等邊三角形邊三角形, 側(cè)棱與底面所的角為側(cè)棱與底面所的角為60, 求三棱錐的體積求三棱錐的體積. 1. 若一直線與平面所成的角為若一直線與平

35、面所成的角為 則此直線與該則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是 .,3 3. 在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中, 直線直線A1B與平與平面面BC1D1所成的角為所成的角為 .CDABC1D1A1B1 1. 若一直線與平面所成的角為若一直線與平面所成的角為 則此直線與該則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是 .,3 a aABCDP解解: 如圖如圖, 直線直線AB是直線是直線PC在平面在平面 a a 內(nèi)的射影內(nèi)的射影,直線直線 PC 與平面與平面 a a 內(nèi)的直線內(nèi)的直線所成的角中所成的角中,PC

36、A最小最小,直角最大直角最大. 2 ,3 則則PC與平面內(nèi)任一直線所成的角的范圍是與平面內(nèi)任一直線所成的角的范圍是. 2 ,3 2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是等底面是等邊三角形邊三角形, 側(cè)棱與底面所成的角為側(cè)棱與底面所成的角為60, 求三棱錐的體求三棱錐的體積積.OABCP解解:作作PO底面底面ABC, 垂足為垂足為O,如圖如圖, O 為底面正三角形的中心為底面正三角形的中心,則則PAO= =PBO= =PCO= =60,BAEtan2, 3= =PO,23 = =tan60232. 3= =PA= =PB= =PC= =2.得得 RtPOA R

37、tPOB RtPOC,于是得于是得 OA= =OB= =OC.得得 AO= =1,底面底面ABC的高的高AE= =E則則 BC= =2BE= = 2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是等底面是等邊三角形邊三角形, 側(cè)棱與底面所的角為側(cè)棱與底面所的角為60, 求三棱錐的體積求三棱錐的體積.OABCP解解:作作PO底面底面ABC, 垂足為垂足為O,如圖如圖, O 為底面正三角形的中心為底面正三角形的中心,則則PAO= =PBO= =PCO= =60,BAEtan2, 3= =PO,23 = =tan60232. 3= =PA= =PB= =PC= =2.得得

38、RtPOA RtPOB RtPOC,于是得于是得 OA= =OB= =OC.得得 AO= =1,底面底面ABC的高的高AE= =E則則 BC= =2BE= =AEBCSABC = = 21 則則.433= =POSVABC = = 31棱錐的體積為棱錐的體積為343331 = =.43= = 3. 在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中, 直線直線A1B與平與平面面BC1D1所成的角為所成的角為 .CDABC1D1A1B1解解:平面平面BC1D1就是平面就是平面ABC1D1,如圖如圖,E連結(jié)連結(jié)A1D, 交交AD1于于E,則則A1EAD1,A1EAB, A1E平面平面ABC1D1,連結(jié)

39、連結(jié)BE,則則A1BE就是就是A1B與平面與平面BC1D1所成的角所成的角,設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為a,在在RtA1ED中中,221aEA= =,21aBA= =aaBEA222sin1= = ,21= =A1BE= =30.302.3.2平面與平面垂直的判定第一課時(shí)第一課時(shí)返回目錄返回目錄1. 什么叫二面角什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么確定的二面角的大小是由什么確定的? 求二面求二面角的大小的關(guān)鍵是什么角的大小的關(guān)鍵是什么? 問題問題 1. 當(dāng)我們要求別人將一扇門當(dāng)我們要求別人將一扇門(如教室門如教室門)開開大點(diǎn)大點(diǎn), 或開小點(diǎn)時(shí)或開小點(diǎn)時(shí), 用什么來度量用什么來度量,

40、使開門的人能使開門的人能準(zhǔn)確地按要求開門準(zhǔn)確地按要求開門? 如圖如圖, 兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交, 常常要研究交成的角的大小要研究交成的角的大小, 這就這就需要引入需要引入二面角二面角.【1】二面角二面角 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做叫做二面角二面角. 這條直線叫做二面角的這條直線叫做二面角的棱棱, 這兩個(gè)這兩個(gè)半平面叫做二面角的半平面叫做二面角的面面.如圖如圖,a ab blABPQ記作記作 二面角二面角 a a- -l- -b b,或或 二面角二面角 a a- -AB- -b b,二面角二面角 P- -l- -Q,二面角二面角 P- -A

41、B- -Q.【2】二面角的平面角二面角的平面角a ab blABOa ab bl 要研究和度量二面角的大小要研究和度量二面角的大小, 我們把它轉(zhuǎn)化成從我們把它轉(zhuǎn)化成從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線的夾角一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線的夾角. 以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一點(diǎn)一點(diǎn)為端點(diǎn)為端點(diǎn), 在在兩個(gè)半平兩個(gè)半平面內(nèi)面內(nèi)分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線的兩條射線, 這兩條射線所成這兩條射線所成的角叫做的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.如圖如圖,以棱以棱 l 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)O為端點(diǎn)為端點(diǎn),在半平面在半平面 a a 內(nèi)作內(nèi)作OAl,在半平面在半平面 b b 內(nèi)作內(nèi)作OBl,則則AOB就是二面角就是二面

42、角a a-l-b b 的平面角的平面角.AOB的大小就是二面角的大小就是二面角 a a-l-b b 的大小的大小.二面角的大小就由它的平面角確定二面角的大小就由它的平面角確定.ABO衛(wèi)星軌道平面衛(wèi)星軌道平面68.5我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5.赤道平面赤道平面即衛(wèi)星軌道平面與赤道即衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的二面角是平面所成的二面角是68.5 . 問題問題 2. 如圖如圖, ABC和和DBC是空間的兩個(gè)等邊是空間的兩個(gè)等邊三角形三角形, ABD和和ACD是二面角是二面角 A- -BC- -D的平面角的平面角嗎嗎? 如果不是如果不是, 你能找出

43、它的一個(gè)平面角嗎你能找出它的一個(gè)平面角嗎? 答答: ABD和和ACD都不是二都不是二面角面角A- -BC- -D的平面角的平面角, 因?yàn)樗鼈円驗(yàn)樗鼈兊倪吪c二面角的棱的邊與二面角的棱BC不垂直不垂直.取取BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)E, 連結(jié)連結(jié)AE、DE, AED就是二面角就是二面角A- -BC- -D的平面角的平面角.則則AEBC, DEBC,ABCDEABCDA1B1C1D1 問題問題3. 如圖如圖, 正方體正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為的棱長為 a, 怎樣計(jì)算二面角怎樣計(jì)算二面角 A1-BD-C1 的大小的大小.解解: 取取 BD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) O,連結(jié)連結(jié) A1O, C1O.A1B=

44、 =A1D, C1B= =C1D,OA1OBD, C1OBD,則則A1OC1 就是二面角就是二面角A1-BD-C1 的平面角的平面角.連結(jié)連結(jié) A1C1.可算出可算出 A1C1O 的邊的邊A1C1, A1O, C1O.以后學(xué)了余弦定理即可解得以后學(xué)了余弦定理即可解得A1OC1.E也可作也可作A1C1的高的高OE, 在直角三角形中求角在直角三角形中求角. 例例(補(bǔ)充補(bǔ)充). 如圖如圖, 在四棱錐在四棱錐 P-ABCD 中中, AB/DC, ABBC, PC平面平面ABCD, PC= =CB= =BA= =2, DC= =4, 求二面角求二面角P-AD-C 的正切值的正切值.分析分析: 目標(biāo)目標(biāo):

45、在平面在平面 PAD 內(nèi)找內(nèi)找 AD 的垂線的垂線,在平面在平面 ABCD 內(nèi)找內(nèi)找 AD 的垂線的垂線.憑直觀憑直觀, 考查圖中已有的角考查圖中已有的角,找二面角找二面角P-AD-C 的平面角的平面角.線線, 點(diǎn)等點(diǎn)等.PD, CDAD 否否? 不垂直不垂直.PA, BAAD 否否?BA與與AD不垂直不垂直.則考慮連結(jié)則考慮連結(jié) AC, 得得ACD= =45 ,如果如果ACAD, 需需CDA= =45 .在底面梯形中可求得在底面梯形中可求得CDA= =45 .ABCDP 例例(補(bǔ)充補(bǔ)充). 如圖如圖, 在四棱錐在四棱錐 P-ABCD 中中, AB/DC, ABBC, PC平面平面ABCD,

46、PC= =CB= =BA= =2, DC= =4, 求二面角求二面角P-AD-C 的正切值的正切值.解解:PC= =CB= =BA= =2, DC= =4,ABCDPABCE 是正方形是正方形.E取取 DC 的中點(diǎn)的中點(diǎn) E, 連結(jié)連結(jié) AE, AC.得得 AEDC, AE= =DE,ADAC.PC平面平面ABCD,則則 ADE= =45 .PCAD.ABBC,又又ACD= =45 ,則則 AD平面平面 PAC,得得 ADPA.則則PAC為二面角為二面角P-AD-C 的平面角的平面角.在底面求得在底面求得 AC= =, 22tanPAC= =222.22= =練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充) 1. 在正方

47、體在正方體ABCD- -A B C D 中中, 求二面角求二面角 A- -B C- -B的正切值的正切值.ABCDA B C D 2. 30 的的二面角的一個(gè)半平面二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn) P, 這點(diǎn)這點(diǎn)到棱的距離為到棱的距離為 h, 求點(diǎn)求點(diǎn) P 到另一個(gè)半平面的距離到另一個(gè)半平面的距離. 1. 在正方體在正方體ABCD- -A B C D 中中, 求二面角求二面角 A- -B C- -B的正切值的正切值.ABCDA B C D G解解: 連接連接 BC 交交 B C 于于 G,連結(jié)連結(jié)AG,ABB C,則則 BGB C.得得 B CAG.B C平面平面ABG.AGB 為二面角為二

48、面角 A-BC-B 的平面角的平面角.在在RtABG中中,則則 BG = =設(shè)設(shè) AB= =1,22BGABAGB= = tan . 2= = 2. 30 的的二面角的一個(gè)半平面二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn) P, 這點(diǎn)這點(diǎn)到棱的距離為到棱的距離為 h, 求點(diǎn)求點(diǎn) P 到另一個(gè)半平面的距離到另一個(gè)半平面的距離.解解:PQl 于于Q,作作 POb b, O b b,連結(jié)連結(jié) OQ.則則 PQO= =30.PQO是二面角的平面角是二面角的平面角.在在RtPOQ中中, PO= =則則 PQl.b blQa aPO如圖如圖, 二面角二面角a a- -l- -b b 是是30 .P a a,PQ=

49、=h. l平面平面 POQ,PQ21.21h= =即點(diǎn)即點(diǎn) P 到到 b b 的距離是的距離是.21h則則 lOQ.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】1. 二面角二面角 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做形叫做二面角二面角. 這條直線叫做二面角的這條直線叫做二面角的棱棱, 這這兩個(gè)半平面叫做二面角的兩個(gè)半平面叫做二面角的面面.a ab blABPQ記作記作 二面角二面角 a a- -l- -b b,二面角二面角 a a- -AB- -b b,二面角二面角 P- -l- -Q,二面角二面角 P- -AB- -Q.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】2. 二面角的平面角二面角的平面角

50、 以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一點(diǎn)一點(diǎn)為端點(diǎn)為端點(diǎn), 在在兩個(gè)兩個(gè)半平面內(nèi)半平面內(nèi)分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線的兩條射線, 這兩條這兩條射線所成的角叫做射線所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角確定二面角的大小由它的平面角確定.a ab blABOa ab blABO AOB 是二面角是二面角 a a-l-b b 的平面角的平面角.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】3. 求二面角的大小求二面角的大小(1) 找到二面角的兩個(gè)半平面與棱找到二面角的兩個(gè)半平面與棱.(2) 找二面角的平面角找二面角的平面角. 在兩個(gè)半平面內(nèi)找垂直于棱的直線在兩個(gè)半平面內(nèi)找垂直于棱的直線

51、, 垂足垂足為棱上同一點(diǎn)為棱上同一點(diǎn).常用到線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)換常用到線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)換.(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小通常在直角三角形中求平面角的大小.習(xí)題習(xí)題 2.3A 組組第第 4、7 題題. 4. 如圖如圖, 三棱錐三棱錐 V-ABC中中, VA= =VB= =AC= =BC= =2, AB= = VC= =1, 試畫出二面角試畫出二面角 V-AB-C 的平面角的平面角, 并求它的度數(shù)并求它的度數(shù)., 32VBCA解解: 取取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D,連接連接 VD, CD,D而而 VA= =VB= =AC= =BC= =2,VDAB, CDAB,則則VDC就是二面角就是二面

52、角V-AB-C的平面角的平面角.而而, 32= =AB則由勾股定理求得則由勾股定理求得 VD= =CD= =1,又又 VC= =1,VCD是等邊三角形是等邊三角形, VDC= =60 ,即二面角即二面角 V-AB-C 的大小為的大小為60 . 7. 如圖如圖, 正方體正方體ABCD-A B C D 中平面中平面ABC D 與與正方體的其他各個(gè)面所成二面角的大小分別是多少正方體的其他各個(gè)面所成二面角的大小分別是多少?ABCDA C D B 解解:與上底面所成二面角與上底面所成二面角的平面角是的平面角是 B C B= =45 .與下底面所成二面角的與下底面所成二面角的平面角是平面角是 C B C

53、= =45 .與前面所成二面角的與前面所成二面角的平面角是平面角是B BC = =45 .與后面所成二面角的與后面所成二面角的平面角是平面角是BC C = =45 .平面平面AC 過左、右面的垂線過左、右面的垂線AB,所以與左、右面成所以與左、右面成90 的二面角的二面角.2.3.2平面與平面垂直的判定第二課時(shí)第二課時(shí)返回目錄返回目錄1. 平面與平面垂直是怎樣定義的平面與平面垂直是怎樣定義的? 2. 兩平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么兩平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么? 證明兩平面垂直需要哪些條件證明兩平面垂直需要哪些條件?平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角. 問題問

54、題3. 觀察教室中的物體觀察教室中的物體, 哪些二面角是直二哪些二面角是直二面角面角?【3】兩個(gè)平面垂直的定義兩個(gè)平面垂直的定義 一般地一般地, 兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交, 如果它們所成的二如果它們所成的二面角是直二面角面角是直二面角, 就說就說這兩個(gè)平面互相垂直這兩個(gè)平面互相垂直.平面平面 a a 與平面與平面 b b 垂直垂直, 記作記作: a ab b. 畫兩個(gè)平面垂直畫兩個(gè)平面垂直, 一般應(yīng)把直立平面的豎邊畫成一般應(yīng)把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直和水平平面的橫邊垂直.a ab ba ab b 問題問題3. 請同學(xué)們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面請同學(xué)們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面,

55、再用書面或硬紙板緊靠鉛筆再用書面或硬紙板緊靠鉛筆, 請問請問: 書面與桌面構(gòu)成書面與桌面構(gòu)成直二面角嗎直二面角嗎? 書面與桌面是否垂直書面與桌面是否垂直?兩個(gè)平面垂直的判定定理兩個(gè)平面垂直的判定定理: 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線, 則這兩個(gè)平面則這兩個(gè)平面垂直垂直.符號(hào)表示符號(hào)表示:a ab blla a,l b b, b ba a. .【4】兩個(gè)平面垂直的判定兩個(gè)平面垂直的判定 例例3. 如圖如圖, AB是是 O的直徑的直徑, PA垂直于垂直于 O所在所在的平面的平面, C 是圓周上不同于是圓周上不同于 A, B 的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn). 求證求證:平面平面 PAC平

56、面平面 PBC.OABCP解解: AB是是 O的直徑的直徑,又又C是是 O上的點(diǎn)上的點(diǎn), ACBC,又又 PA圓面圓面, BC 圓面圓面, PA BC,得得 BC平面平面PAC,而而 BC 平面平面PBC,平面平面PBC平面平面PAC. 探究題探究題. 如圖如圖, 已知已知AB平面平面BCD, BCCD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直, 為什么為什么?DBCA過過AB的平面與底面垂直的平面與底面垂直:平面平面ABC平面平面BCD,平面平面ABD平面平面BCD.又又 BCCD,而由而由AB平面平面BCD得得 CDAB,CD平面平面ABC,過過CD的平面垂直平面的平面垂直平面AB

57、C:平面平面ACD平面平面ABC,平面平面BCD平面平面ABC (上面已有上面已有).練習(xí)練習(xí): (補(bǔ)充補(bǔ)充) 1. 如圖如圖, 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1 (側(cè)棱垂直底面?zhèn)壤獯怪钡酌? 中中, ACB= =90 , 求證求證: 平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.A1B1C1ABC 2. 在正方體在正方體ABCD- -A1B1C1D1中中, E, F 分別是分別是AB, A1A 的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證求證: 平面平面 BCE平面平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF 1. 如圖如圖, 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1 (側(cè)棱垂直底面?zhèn)壤獯怪钡酌? 中中, ACB

58、= =90 , 求證求證: 平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.A1B1C1ABC證明證明: ABC-A1B1C1是直三棱柱是直三棱柱,BCCC1.又又ACB= =90 BCAC, BC平面平面A1ACC1.平面平面 A1BC平面平面A1ACC1.BC 平面平面A1BC, 2. 在正方體在正方體ABCD- -A1B1C1D1中中, E, F 分別是分別是AB, A1A 的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證求證: 平面平面 BCF平面平面B1C1E.證明證明: E, F 分別是分別是 AB,A1A 的中點(diǎn)的中點(diǎn).在正方形在正方形 ABB1A1中中, B1C1 平面平面BAA1B1, B1C1BF.由由得得

59、BF平面平面B1C1E,平面平面 BCF平面平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF 平面平面BAA1B1,BF 平面平面BCF,B1EBF.【課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)】1. 兩平面垂直的定義兩平面垂直的定義2. 兩平面垂直的判定定理兩平面垂直的判定定理 兩個(gè)平面相交成直二面角時(shí)兩個(gè)平面相交成直二面角時(shí), 稱這兩個(gè)稱這兩個(gè)平面互相垂直平面互相垂直. 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線, 則這兩則這兩個(gè)平面垂直個(gè)平面垂直.a ab blla a,l b b, b ba a. .習(xí)題習(xí)題 2.3A 組組第第 1、3、6 題題.B 組組第第 1 題題.習(xí)題習(xí)題 2.3A 組組 1.

60、 判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確, 正確的說明理由正確的說明理由, 錯(cuò)誤的舉例說明錯(cuò)誤的舉例說明: (1) 平面平面 a a平面平面 b b, 平面平面 b b平面平面 g g 平面平面 a a平面平面 g g; (2) 平面平面 a a /平面平面 a a1, 平面平面 b b /平面平面 b b1, 平面平面 a a平面平面 b b 平面平面 a a1平面平面 b b1.解解: (1) 錯(cuò)錯(cuò), 如圖如圖.b bg ga a(2) 對對.a ab b, ,a a /a a1,a a1b b;b b /b b1,a a1b b1. 3. 如圖如圖, 在三棱錐在三棱錐 V-ABC 中中