(完整word版)數(shù)值分析第五版答案(全)

1、第一章緒論1設(shè) x 0 , x 的相對(duì)誤差為，求 ln x 的誤差。解：近似值 x* 的相對(duì)誤差為= er*e*x * xx *x *而 ln x 的誤差為 eln x *ln x *ln x1 e*x *進(jìn)而有(ln x*)2設(shè) x 的相對(duì)誤差為2%，求 xn 的相對(duì)誤差。解：設(shè) f (x)xn ，則函數(shù)的條件數(shù)為Cp| xf (x) |f ( x)又Qf (x)nxn 1,C p| x nxn1|nn又Qr( *)n)C pr( *)xx且 er (x*) 為 2r ( x*) n )0.02n3下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)

2、字： x1*1.1021 , x2*0.031 ,x3*385.6 ,x4*56.430 ,x5*7 1.0.解： x1*1.1021 是五位有效數(shù)字；x2*0.031是二位有效數(shù)字；x3*385.6 是四位有效數(shù)字；x4*56.430是五位有效數(shù)字；x5*71.0.是二位有效數(shù)字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的誤差限：(1) x1*x2*x4* ,(2)x1* x2* x3* ,(3) x2*/ x4*.其中 x1* , x*2 , x3* , x4* 均為第 3 題所給的數(shù)。解：( x1* )110 42( x2* )1102( x3* )1102( x4* )1102( x5* )

3、11023131(1) ( x1*x2*x4* )( x1* )( x2* )( x4* )110 4110 3110 3210 3221.05(2) (x1* x*2 x3* )x1* x2*(x3* ) x2* x3*( x1* ) x1* x3* ( x2* )1.10210.031110 10.031385.6110 41.1021385.6110 32220.215(3)(x*2 / x*4)x2*( x*4 )x*4( x*2)x*4 20.031110 356.430110 3256.43056.430210 55 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1，問度量半徑R 時(shí)允許的相對(duì)誤差限是

4、多少？解：球體體積為V4R33則何種函數(shù)的條件數(shù)為R V R 4R2Cpgg3V4R33r (V *) C p g r ( R*) 3 r (R*)又Q r (V *)1%1故度量半徑R 時(shí)允許的相對(duì)誤差限為(?)= ?1%=1?133006設(shè) Y028，按遞推公式 YnYn1783（ n=1,2, ）1100計(jì)算到 Y100。若取78327.982 （ 5 位有效數(shù)字） ，試問計(jì)算 Y100將有多大誤差？解： Q YnYn 117831100Y100Y99783100Y99Y981783100Y98Y971783100Y1Y017831001依次代入后，有 Y100Y0100783100即

5、Y100Y0783 ，若取78327.982 ,Y100Y027.982(Y*)(Y )(27.982)110 310002Y100 的誤差限為110 3。27求方程 x256x10 的兩個(gè)根，使它至少具有4 位有效數(shù)字（783 27.982 ）。解： x256 x10 ，故方程的根應(yīng)為x1,228783故x1287832827.98255.982x1 具有 5 位有效數(shù)字x2 28 7831117832827.9820.0178632855.982x2 具有 5 位有效數(shù)字N 118當(dāng) N 充分大時(shí)，怎樣求2 dx ？11NxN 12 dxarctan( N1)arctan N解1xN設(shè)ar

6、ctan( N1),arctan N 。則 tanN1,tanN .N 11dxN 1x2arctan(tan()tantanarctantang1tanarctanN1N(N1)N1arctan N 21N19正方形的邊長大約為了100cm，應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2？解：正方形的面積函數(shù)為A( x)x2( A*) 2 A*g ( x*) .當(dāng) x*100時(shí)，若( A*)1,則 ( x*)110 22故測量中邊長誤差限不超過0.005cm 時(shí)，才能使其面積誤差不超過 1cm210設(shè) S1 gt 2 ，假定 g 是準(zhǔn)確的，而對(duì)t 的測量有0.1秒的誤差，證明當(dāng)t 增加時(shí) S 的2

7、絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。解：Q S1 gt 2 ,t 02(S*)gt 2 g (t*)當(dāng) t * 增加時(shí)， S* 的絕對(duì)誤差增加(S*)r (S*)S*gt2 g (t*)1 g (t * ) 22(t*)2t *當(dāng) t * 增加時(shí)，(t*)保持不變，則S* 的相對(duì)誤差減少。11序列yn滿足遞推關(guān)系 yn10 yn 1 1 (n=1,2,),若 y02 1.41（三位有效數(shù)字） ，計(jì)算到 y10 時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？解： Q y02 1.41( y0*)1 1022又 Q yn10 yn 11y110 y01( y1*)10 ( y0*)又 Q y210 y11( y2

8、*)10 ( y1*)( y2*)102 ( y0 *).( y10*)1010 ( y0*)1010110 221 1082計(jì)算到 y10 時(shí)誤差為1108 ，這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。212( 21)6 ，取2，利用下列等式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？計(jì)算 f16 ,(3 2 2)3,12)3，99702。( 21)(3 2解：設(shè) y( x1)6 ，若 x2 ， x*1.4 ，則x*110 1。2若通過16 計(jì)算 y 值，則2(1)y*( x*1gx*1)7*67 y*x*(x1)y*x*若通過 (322) 3計(jì)算 y 值，則y*(3 2x* )2 g x*36* y* gx*2xy*x*若通過

9、1計(jì)算 y 值，則22) 3(3y*(31*)4 gx*2x1*(32x* )7yxy*x*通過 (312) 3 計(jì)算后得到的結(jié)果最好。213 f (x)ln( xx21),求 f (30) 的值。若開平方用6 位函數(shù)表，問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式。ln( xx2 1)ln( xx2 1)計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？解Q f ( x)ln( xx21) ,f (30)ln(30899)設(shè) u899, yf (30)則 u*u*142故y*u*u*1 g u*0.01673若改用等價(jià)公式ln( xx21)ln( x x2 1)則 f (30)ln(30899)此時(shí)，y*u*u*1 u

10、*59.98337第二章插值法1當(dāng) x1, 1,2 時(shí)， f ( x)0, 3,4 ,求 f ( x) 的二次插值多項(xiàng)式。解：x0 1, x11, x22,f ( x0 )0, f (x1)3, f ( x2 ) 4;l 0 ( x)(x x1)( x x2 )1 ( x 1)( x 2)( x0x1)( x0x2 )2l1( x)( x x0 )( x x2 )1 (x 1)(x 2)( x1x0 )( x1x2 )6l 2 ( x)( xx0 )( x x1 )1 ( x 1)(x 1)( x2x0 )( x2x1)3則二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為2L2 (x)k 0ykl k ( x)3l0

11、 (x) 4l2 (x)1( x1)(x 2)42( x 1)(x 1)35 x23 x76232給出f ( x) ln x 的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計(jì)算ln0.54 的近似值。解：由表格知，x0 0.4, x1 0.5, x2 0.6, x30.7, x40.8;f ( x0 )0.916291, f (x1)0.693147f ( x2 )0.510826, f (x3 )0.356675f ( x4 )0.223144若采用線性插值法計(jì)算 ln0.54 即

12、f (0.54) ，則 0.50.54 0.6xx210(x0.6)l1( x)x2x1l 2xx110( x0.5)( x)x1x2L1 (x)f ( x1 )l1 ( x)f (x2 )l2 (x)6.93147( x0.6)5.10826( x 0.5)L1 (0.54)0.62021860.620219若采用二次插值法計(jì)算ln0.54 時(shí)，l 0(xx1)( xx2 )50( x0.5)( x0.6)( x)x1)( x0x2 )( x0( xx0 )( xx2 )100( x 0.4)( x 0.6)l1( x)x0 )( x1x2 )( x1l 2(xx0 )( xx1 )50(

13、x0.4)( x0.5)( x)x0 )( x2x1 )( x2L2 (x) f (x0 )l0 ( x)f ( x1 )l1 (x)f ( x2 )l 2 ( x)500.916291(x0.5)(x0.6)69.3147(x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50( x 0.4)(x 0.5)L2 (0.54)0.615319840.6153203給全 cos x,0 ox90o 的函數(shù)表， 步長 h1(1/ 60) o, 若函數(shù)表具有5 位有效數(shù)字， 研究用線性插值求cos x 近似值時(shí)的總誤差界。解：求解 cos x 近似值時(shí)，誤差可以分為兩個(gè)部分，一方面，x 是近似值，具有5

14、 位有效數(shù)字，在此后的計(jì)算過程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)cos x 的近似值時(shí)，采用的線性插值法插值余項(xiàng)不為0，也會(huì)有一定的誤差。因此，總誤差界的計(jì)算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng) 0o x 90o 時(shí)，令 f (x) cos x取 x00, h( 1 )o1180108006060令 xix0ih , i 0,1,.,5400則 x5400290o當(dāng) xxk , xk 1 時(shí)，線性插值多項(xiàng)式為L1 (x)f ( xk ) x xk 1f ( xk 1) x xkxkxk 1xk1xk插值余項(xiàng)為R( x)cos xL1( x)1 f()( xxk )( x xk1 )2又Q

15、在建立函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5 位有效數(shù)字，且 cosx0,1 ，故計(jì)算中有誤差傳播過程。( f * ( xk )110 52R2 ( x)( f * ( xk ) x xk 1( f * ( xk 1 ) x xk 1xkxk 1xk 1xk( f * ( xk )(xxk1xxk 1 )xkxk1xk1xk( f* ( x ) 1(xk1x x x )khk( f * ( xk )總誤差界為RR1 ( x)R2 ( x)1 ( cos )( x212( x xk )( xk 11( 1 h) 2( f22xk )( xxk 1)( f * (xk )x) ( f * ( xk )* ( x

16、k )1.0610 8110 520.5010610 54設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：n（1）xkjl j (x)xk( k0,1,L ,n);j 0nx) k l j ( x)（2）(x j0( k 0,1,L , n);j 0證明（1）令 f (x)xknxkjl j ( x) 。若插值節(jié)點(diǎn)為xj , j0,1,L, n ，則函數(shù) f ( x) 的 n 次插值多項(xiàng)式為 Ln (x)j0Rn ( x)f ( x)f ( n 1)( )n 1( x)插值余項(xiàng)為Ln ( x)1)!(n又Q kn,f ( n 1) ( ) 0Rn (x)0nxkjl j ( x)xkj0(k 0,1,L , n);nx)

17、k l j (x)(2)(xjj0nn(Ckj xij ( x) k i )l j ( x)j0i0nnCki (x) ki (xij l j (x)i0j 0又 Q 0in由上題結(jié)論可知nxkjl j ( x)xij 0n原式Cki(x) k i xii 0( xx) k0得證。5 設(shè) f ( x)C 2a,b且 f ( a)f (b) 0, 求證：maxf ( x)1 (ba) 2 max f( x).a xb8a xb解：令 x0a, x1b ，以此為插值節(jié)點(diǎn)，則線性插值多項(xiàng)式為L1 ( x)f ( x0 ) x x1f ( x1 ) x x0x0x1xx0=f (a) x bf (b)

18、 x aabxa又 Q f (a)f (b)0L1 ( x) 0插值余項(xiàng)為 R( x)f (x)L1 ( x)1 f ( x)( xx0)( x x1 )2f ( x)1 f( x)( xx0 )( x x1)2又 Q ( x x0 )( x x1)12x)( x x0 ) (x121(x1x0 )241 (ba) 24maxf ( x)1 (ba) 2 maxf( x).ax b8a x b6在 4x4 上給出 f ( x)ex 的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表， 若用二次插值求ex 的近似值， 要使截?cái)嗾`差不超過10 6 ，問使用函數(shù)表的步長 h 應(yīng)取多少？解：若插值節(jié)點(diǎn)為xi 1, xi和 xi 1 ，

19、則分段二次插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)為R2 (x)1 f ( )( x xi 1)( x xi )( x xi 1)3!R2( x)1 ( xxi1)( xxi )( xxi1) max f( x)64 x 4設(shè)步長為 h，即 xi1xih, xi 1xihR2 ( x)1 e42 h33 e4h3.63327若截?cái)嗾`差不超過10 6，則R2 ( x)10 63 e4h310 627h0.0065.7若 yn2n , 求4 yn及4 yn. ，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解。yn2n4 yn( E1)4 yn4j44j(1)Eynjj 04j4(1)y4njjj 04(1)j424

20、jynj 0j(21)4 ynyn2n114 yn( E 2E 2 )4 yn1(E 2 )4(E1)4 ynE 24 ynyn22n28 如果f (x) 是 m 次多項(xiàng)式，記f (x)f ( x h)f ( x) ，證明 f (x) 的 k階差分k f ( x)(0k m) 是 mk 次多項(xiàng)式，并且m 1 f ( x)0 （ l 為正整數(shù)）。解：函數(shù)f ( x) 的 Taylor 展式為f ( xh)f ( x)f ( x)h1 f(x)h2L1 f (m) ( x) hm1f ( m 1) ( ) hm 12m!(m1)!其中(x, xh)又Qf ( x) 是次數(shù)為 m 的多項(xiàng)式f ( m

21、 1) ( )0f ( x)f (xh)f ( x)f( x) h1f ( x) h2L1f (m) ( x) hm2m!f ( x) 為 m1階多項(xiàng)式2 f (x)(f ( x)2 f (x) 為 m2 階多項(xiàng)式依此過程遞推，得k f (x) 是 mk 次多項(xiàng)式m f ( x) 是常數(shù)當(dāng) l 為正整數(shù)時(shí)，m 1 f (x)09證明( f kgk ) f k gk gk 1 fk證明( f k gk )得證f k 1 gk 1f k 1gk 1 gk 1( fk 1 gk 1 fkf kgkfk gkf k gk 1fk gk 1fk gkfk )fk (gk 1gk )f kgkgk 1f

22、kn 1n 110證明fk gk f n gn f0 g0gk 1 f kk 0k 0證明：由上題結(jié)論可知fk gk( fk gk ) gk 1 fkn 1f kgkk 0 n 1( ( fk gk )gk 1 fk )k 0n 1n 1( fk gk )gk 1 fkk 0k 0Q ( f k gk ) f k 1 gk 1fk gkn 1( fk gk )k 0( f1g1f 0 g0 ) ( f2 g2f1g1 ) L ( fn gn f n 1 gn 1 )fn gnf 0 g0n 1n 1f k gkfn gnf 0g0gk 1 fkk 0k 0得證。n 12 y j11證明yny0

23、j 0n 1n 1證明2 y j( y j 1y j )j 0j 0( y1y0 ) ( y2y1 ) L( ynyn 1 )yny0得證。12若 f ( x)a0a1xLan1xn 1an xn 有 n 個(gè)不同實(shí)根 x1 , x2 ,L, xn ，nk0,0kn2;xj證明：j 1 f (x j )n0 1, k n 1證明： Qf ( x) 有個(gè)不同實(shí)根 x1, x2 ,L, xn且 f (x) a0a1 x Lan 1 xn 1an xnf ( x) an ( x x1 )( x x2 )L (x xn )令n ( x) ( x x1 )( x x2 )L (x xn )nknk則x j

24、x jj 1 f ( x j )j 1 ann ( xj )而n ( x) (x x2 )( x x3) L ( x xn ) ( x x1)( x x3 )L (x xn )L(x x1 )( x x2 )L ( xxn 1 )n (x j ) ( xjx1)( x jx2 ) L ( xjx j 1 )( xjx j 1 )L (x j xn )令 g( x)xk ,nkg x1 , x2,L , xnxjj1n ( xj )nk則 g x1, x2 ,L , xnx jj1n (x j )nk1又x jg x1 , x2 ,L , xnf(x j )j 1annk0,0kn2;x jj

25、1 f ( x j )n0 1, k n 1得證。13證明 n 階均差有下列性質(zhì)：（1）若 F ( x)cf (x) ，則 F x0 , x1,L , xncf x0 , x1,L , xn ;（2）若 F ( x)f ( x) g (x) ，則 F x0 , x1,L , xnf x0 , x1,L , xng x0 , x1,L , xn .證明：nj)（1） Q f x1 , x2 ,L , xnf ( x( xjx0 )L ( xjxj 1 )( x j xj 1)L ( x jxn )j 0nF x1, x2 ,L , xnj0nj0(x(xF (x j)jx0 )L ( xjx j

26、 1 )( x jx j 1 )L ( x jxn )cf (x j)jx0 )L ( xjxj 1 )( xjxj 1 )L (x jxn )nf (xj)c()j 0 ( xjx0 )L ( x j x j 1 )( x j xj 1 )L (x j xn )cfx0 , x1,L , xn得證。(2) Q F ( x)f ( x)nF x0 ,L , xnj0nj0g (x)( xjx0 )L (x j(x jx0) L ( xjF ( xj )xj 1)( x jxj 1)L ( xjxn )f ( x j )g (x j )x j 1 )( xjx j 1)L (x jxn )nf

27、( xj)j 0 ( xjx0 )L( x jx j 1 )( x jx j 1)L(x jxn )ng( xj)+)( xjx0 )L( xjxj 1)( xjxj 1 )L( x jj 0xn )fx0 ,L , xng x0 ,L , xn得證。14 f ( x) x7x43x 1, 求 F 20 ,21,L ,2 7及 F 20,21,L ,28 。解： Q f ( x) x7x43x 1若ixi2 ,i0,1,8L則 f x0 , x1,L , xnf (n) ()n!f x0, x1 ,L , x7f (7)()7!17!7!f(8) ()0f x0 , x1 ,L , x88!1

28、5證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是R3 ( x)f (4) ()( xxk ) 2 ( xxk 1)2 / 4!,( xk , xk 1)解：若 x xk , xk 1 ，且插值多項(xiàng)式滿足條件H 3( xk )f ( xk ), H 3 ( xk )f ( xk )H 3( xk 1)f ( xk 1), H 3 (xk 1 )f ( xk 1)插值余項(xiàng)為 R( x)f (x)H 3 ( x)由插值條件可知 R( xk )R(xk1)0且 R (xk ) R ( xk 1 ) 0R( x) 可寫成 R(x)g( x)( xxk )2 (xxk1 )2其中 g(x) 是關(guān)于 x 的待定函數(shù)，現(xiàn)把

29、x 看成 xk , xk 1 上的一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)(t)f (t ) H 3 (t )g ( x)(t xk )2 (txk 1 )2根據(jù)余項(xiàng)性質(zhì)，有( xk ) 0, ( xk 1 ) 0( x)f ( x) H 3 ( x)g ( x)( xxk )2 (xxk 1) 2f ( x)H 3 (x) R( x)0(t)f (t ) H 3 (t)g(x)2( txk )(txk1 )22(t xk 1 )(t xk ) 2( xk )0(xk 1 )0由羅爾定理可知，存在(xk , x) 和(x, xk 1) ，使( 1)0, (2) 0即 (x) 在 xk , xk 1 上有四個(gè)互異零點(diǎn)。根據(jù)羅爾定理，(t ) 在(t ) 的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故 (t ) 在 (xk , xk 1 ) 內(nèi)至少有三個(gè)互異零點(diǎn)，依此類推，(4)(t) 在 ( xk , xk 1) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。記為(xk , xk1 ) 使(4)( )f