統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣與抽樣分布

1、第四章 抽樣與抽樣分布4.1 抽樣的基礎(chǔ)知識(shí)4.2 抽樣分布 4.3 中心極限定理的應(yīng)用14.1 抽樣的基礎(chǔ)知識(shí)一、 幾個(gè)概念二、抽樣誤差三、常用的抽樣方法2一、幾個(gè)概念（一）全及總體與總體指標(biāo)（一）全及總體與總體指標(biāo)全及總體全及總體。簡稱總體簡稱總體(Population)(Population)，是指所要研究的，是指所要研究的對(duì)象的全體，它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)對(duì)象的全體，它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全部單位所組成的集合體?？傮w單位總數(shù)用的全部單位所組成的集合體?？傮w單位總數(shù)用N N表示。表示。（舉例）（舉例） 總體指標(biāo)總體指標(biāo)（參數(shù)）。在抽樣估計(jì)中，用來反映總體數(shù)（參數(shù)

2、）。在抽樣估計(jì)中，用來反映總體數(shù)量特征的指標(biāo)稱為總體指標(biāo)，也叫總體參數(shù)。量特征的指標(biāo)稱為總體指標(biāo)，也叫總體參數(shù)。研究目的一經(jīng)確定，總體也唯一地確定了，所以總體研究目的一經(jīng)確定，總體也唯一地確定了，所以總體指標(biāo)的數(shù)值是客觀存在的、確定的，但又是未知的，指標(biāo)的數(shù)值是客觀存在的、確定的，但又是未知的，需要用樣本資料去估計(jì)需要用樣本資料去估計(jì)。3總體和參數(shù)（續(xù)）通常所要估計(jì)的總體指標(biāo)有通常所要估計(jì)的總體指標(biāo)有變量總體變量總體屬性總體屬性總體總體平均數(shù)總體平均數(shù) ( (或記為或記為 ）總體比例（成數(shù)）總體比例（成數(shù)）總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差或方差或方差總體比例標(biāo)準(zhǔn)差總體比例標(biāo)準(zhǔn)差P P或方差或方差P P 總

3、體標(biāo)志總量總體標(biāo)志總量 ( )( )總體中具有某一屬性的單位總數(shù)總體中具有某一屬性的單位總數(shù)(NP)(NP)等。等。XNX一、 幾個(gè)概念（二）樣本總體與樣本指標(biāo)（二）樣本總體與樣本指標(biāo)樣本總體樣本總體。簡稱樣本（。簡稱樣本（SampleSample），它是按照隨機(jī)原則，），它是按照隨機(jī)原則，從總體中抽取的部分總體單位的集合體從總體中抽取的部分總體單位的集合體 。樣本容量樣本容量：樣本中所包含的個(gè)體的數(shù)量，一般用：樣本中所包含的個(gè)體的數(shù)量，一般用n n表示。表示。在實(shí)際工作中，人們通常把在實(shí)際工作中，人們通常把n30n30的樣本稱為大樣本的樣本稱為大樣本，而把而把n30nn） 分層抽樣把異質(zhì)性較

4、強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。等距抽樣把總體的單位進(jìn)行排序，然后按照固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。整群抽樣抽樣的單位不是單個(gè)的個(gè)體，而是成群的個(gè)體。 多階段抽樣把抽樣過程分為幾個(gè)階段進(jìn)行。適用于總體規(guī)模特別大，或者總體分布的范圍特別廣時(shí) 非概率抽樣n也叫非隨機(jī)抽樣，是指從研究目的出發(fā)，根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗(yàn)或判斷，從總體中有意識(shí)地抽取若干單位構(gòu)成樣本。n重點(diǎn)調(diào)查、典型調(diào)查、配額抽樣（是按照一定標(biāo)準(zhǔn)或一定條件分配樣本單位數(shù)量，然后由調(diào)查者在規(guī)定的數(shù)額內(nèi)主觀地抽取樣本）、方便抽樣（指調(diào)查者按其方便

5、任意選取樣本。如商場柜臺(tái)售貨員拿著廠家的調(diào)查表對(duì)顧客的調(diào)查）等就屬于非隨機(jī)抽樣。n優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：及時(shí)了解總體大致情況，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，在進(jìn)行大規(guī)模抽樣調(diào)查之前的試點(diǎn)。n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：非隨機(jī)抽樣容易產(chǎn)生傾向性誤差，并且誤差不能計(jì)算和控制 ，也就無法說明調(diào)查結(jié)果的可靠程度。概率抽樣與非概率抽樣抽樣類型抽樣類型概率抽樣非概率抽樣簡單隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣整群抽樣系統(tǒng)抽樣方便抽樣判斷抽樣其他非概率抽樣多階段抽樣重復(fù)抽樣與非重復(fù)抽樣n重復(fù)抽樣，又稱回置抽樣，是指從總體的N個(gè)單位中，每次抽取一個(gè)單位后，再將其放回總體中參加下一次抽選，連續(xù)抽n次，即得到一個(gè)樣本。n特點(diǎn)：樣本是由n次相互獨(dú)立的連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成的，每次試

6、驗(yàn)是在完全相同的條件下進(jìn)行，每個(gè)單位中選的機(jī)會(huì)在各次都完全相等。n“重抽”（考慮順序）可能的樣本數(shù)目（從總體中可能抽取的樣本個(gè)數(shù)，用M表示）為：Nn個(gè)。重復(fù)抽樣與非重復(fù)抽樣n不重復(fù)抽樣，也叫不回置抽樣，是指抽中的單位不再放回總體中，下一個(gè)樣本單位只能從余下的總體單位中抽取。n特點(diǎn)特點(diǎn)：樣本由n次連續(xù)抽取的結(jié)果構(gòu)成，實(shí)際上等于一次同時(shí)從總體中抽取n個(gè)樣本單位。 n次抽取結(jié)果不是獨(dú)立的n 可能的樣本數(shù)目（考慮順序）： N(N-1)(N-2)(N-n+1)個(gè)。重復(fù)抽樣與非重復(fù)抽樣n設(shè)有設(shè)有4 4名學(xué)生的月消費(fèi)支出分別為：名學(xué)生的月消費(fèi)支出分別為：240240，280280，360360，400400

7、元。我們分別用元。我們分別用A A、B B、C C、D D替代。若從替代。若從中抽取兩個(gè)單位構(gòu)成樣本，則全部可能的樣本數(shù)中抽取兩個(gè)單位構(gòu)成樣本，則全部可能的樣本數(shù)目為：目為：n重復(fù)：重復(fù)：4 42 2=16=16個(gè)。它們是個(gè)。它們是 n AA AB AC AD; BA BB BC BD AA AB AC AD; BA BB BC BD n CA CB CC CD; DA DB DC DD CA CB CC CD; DA DB DC DDn不重復(fù)：不重復(fù)：4 43=123=12。它們是。它們是 n AB AC AD; BA BC BDAB AC AD; BA BC BDn CA CB CD; D

8、A DB DC CA CB CD; DA DB DC 抽樣誤差n統(tǒng)計(jì)調(diào)查誤差統(tǒng)計(jì)調(diào)查誤差，是指調(diào)查，是指調(diào)查所得結(jié)果與總體真實(shí)所得結(jié)果與總體真實(shí)數(shù)值之間的差異數(shù)值之間的差異。n 登記性誤差登記性誤差。是任何一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查都可能產(chǎn)生。是任何一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查都可能產(chǎn)生。 n 代表性誤差代表性誤差n系統(tǒng)性誤差系統(tǒng)性誤差：是由于非隨機(jī)因素引起的：是由于非隨機(jī)因素引起的 樣本代表樣本代表性不足而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為樣本估計(jì)量的值系性不足而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為樣本估計(jì)量的值系統(tǒng)性偏高或偏低，故也稱偏差；統(tǒng)性偏高或偏低，故也稱偏差；n隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差：又稱偶然性誤差，是指：又稱偶然性誤差，是指遵循隨機(jī)原則遵循隨機(jī)原則

9、抽樣，但由于樣本各單位的結(jié)構(gòu)不足以代表總體抽樣，但由于樣本各單位的結(jié)構(gòu)不足以代表總體各單位的結(jié)構(gòu)而引起的樣本估計(jì)量與總體參數(shù)之各單位的結(jié)構(gòu)而引起的樣本估計(jì)量與總體參數(shù)之間的誤差間的誤差。這就是抽樣估計(jì)中所謂的抽樣誤差。這就是抽樣估計(jì)中所謂的抽樣誤差 。二、抽樣誤差實(shí)際應(yīng)用中，有三個(gè)密切聯(lián)系而又相互區(qū)別實(shí)際應(yīng)用中，有三個(gè)密切聯(lián)系而又相互區(qū)別的抽樣誤差的概念的抽樣誤差的概念 實(shí)際抽樣誤差實(shí)際抽樣誤差 抽樣平均誤差抽樣平均誤差 抽樣極限誤差抽樣極限誤差29二、抽樣誤差（二）抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤（二）抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤）抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)（抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般

10、水平的指標(biāo)（因?yàn)橐驗(yàn)槌闃诱`差是一個(gè)隨機(jī)變量，它的數(shù)值隨著可能抽取的抽樣誤差是一個(gè)隨機(jī)變量，它的數(shù)值隨著可能抽取的樣本不同而或大或小，為了總的衡量樣本代表性的高樣本不同而或大或小，為了總的衡量樣本代表性的高低，就需要計(jì)算抽樣誤差的一般水平低，就需要計(jì)算抽樣誤差的一般水平）。通常用）。通常用樣本樣本估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差來反映來反映所有可能樣本估計(jì)值與其中心所有可能樣本估計(jì)值與其中心值的平均離散程度。值的平均離散程度。 30二、抽樣誤差（二）抽樣平均誤差（二）抽樣平均誤差22( )()( )x E xxxMMn抽樣平均誤差可衡量樣本對(duì)總體的代表性大小抽樣平均誤差可衡量樣本對(duì)總體的代表性大小。

11、即即：抽樣平均誤越小，則樣本估計(jì)量的分布就越集抽樣平均誤越小，則樣本估計(jì)量的分布就越集中在總體參數(shù)的附近，平均來說，樣本估計(jì)值與總中在總體參數(shù)的附近，平均來說，樣本估計(jì)值與總體參數(shù)之間的抽樣誤差越小，樣本對(duì)總體的代表性體參數(shù)之間的抽樣誤差越小，樣本對(duì)總體的代表性越大。越大。31抽樣平均誤的計(jì)算公式抽樣平均誤的計(jì)算公式在總體方差在總體方差 已知，總體單位總數(shù)為已知，總體單位總數(shù)為N N，樣本，樣本容量為容量為n n，簡單隨機(jī)抽樣條件下，抽樣平均誤，簡單隨機(jī)抽樣條件下，抽樣平均誤的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為： 重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣估計(jì)均值估計(jì)均值估計(jì)成數(shù)估計(jì)成數(shù)22( ) xnn2(

12、 )1nxnN(1)( )pppn(1)( )1ppnpnN32二、抽樣誤差（三）抽樣極限誤差（三）抽樣極限誤差抽樣極限誤差是指抽樣極限誤差是指一定概率下一定概率下抽樣誤差的抽樣誤差的可能范圍可能范圍，也稱為也稱為允許誤差允許誤差。用。用表示，由定義知其表達(dá)式：表示，由定義知其表達(dá)式：在一定概率下，在一定概率下， 上式表示，在一定概率下可認(rèn)為樣本估計(jì)量與相應(yīng)的上式表示，在一定概率下可認(rèn)為樣本估計(jì)量與相應(yīng)的總體參數(shù)的誤差的絕對(duì)值不超過總體參數(shù)的誤差的絕對(duì)值不超過 。 33抽樣極限誤差抽樣極限誤差用用 、 分別表示平均數(shù)和比率（成數(shù)）的抽樣極限分別表示平均數(shù)和比率（成數(shù)）的抽樣極限誤差，則在一定概

13、率下有：誤差，則在一定概率下有：估計(jì)均值的置信區(qū)間：估計(jì)均值的置信區(qū)間：估計(jì)成數(shù)（比例）的置信區(qū)間：估計(jì)成數(shù)（比例）的置信區(qū)間： xpxXxpPpxxxXx pppPp 34對(duì)抽樣極限誤差的解釋：抽樣極限誤差抽樣極限誤差是抽樣誤差的是抽樣誤差的可能范圍可能范圍，而不是完全肯，而不是完全肯定的范圍。所以，這一可能范圍的大小是與其估計(jì)的定的范圍。所以，這一可能范圍的大小是與其估計(jì)的可靠程度的大?。锤怕剩┚o密聯(lián)系的。在抽樣估計(jì)可靠程度的大?。锤怕剩┚o密聯(lián)系的。在抽樣估計(jì)中，這個(gè)概率叫置信度，習(xí)慣上也稱為可靠程度、把中，這個(gè)概率叫置信度，習(xí)慣上也稱為可靠程度、把握程度或概率保證程度等，用握程度或概

14、率保證程度等，用1-1-表示。表示。顯然在其他顯然在其他條件不變的情況下，抽樣極限誤差越大，相應(yīng)的置信條件不變的情況下，抽樣極限誤差越大，相應(yīng)的置信度也就越大。度也就越大。35抽樣誤差率：抽樣誤差率：與抽樣極限誤差相關(guān)的兩個(gè)概念是與抽樣極限誤差相關(guān)的兩個(gè)概念是: : 抽樣誤差率和抽樣估計(jì)精度抽樣誤差率和抽樣估計(jì)精度抽樣誤差率抽樣誤差率= =（抽樣極限誤差（抽樣極限誤差/ /估計(jì)量）估計(jì)量）100%100%抽樣估計(jì)精度抽樣估計(jì)精度=100%-=100%-抽樣誤差率抽樣誤差率36估計(jì)精度（準(zhǔn)確性）與可靠程度的關(guān)系：估計(jì)精度與估計(jì)的可靠程度是矛盾的。也就是說，如估計(jì)精度與估計(jì)的可靠程度是矛盾的。也就

15、是說，如果果精度很高精度很高，則會(huì)由于估計(jì)區(qū)間太窄而使錯(cuò)誤估計(jì)的，則會(huì)由于估計(jì)區(qū)間太窄而使錯(cuò)誤估計(jì)的可能性大增，從而大大降低估計(jì)的可靠程度，使估計(jì)可能性大增，從而大大降低估計(jì)的可靠程度，使估計(jì)結(jié)果沒有多大的作用；如果結(jié)果沒有多大的作用；如果置信度很高置信度很高，則意味著允，則意味著允許誤差范圍較大，而使估計(jì)精度太低許誤差范圍較大，而使估計(jì)精度太低 ，這時(shí)盡管估計(jì)，這時(shí)盡管估計(jì)的可靠程度接近或等于的可靠程度接近或等于100%100%，但抽樣估計(jì)本身也會(huì)失，但抽樣估計(jì)本身也會(huì)失去意義。去意義。實(shí)際中，只能依據(jù)具體情況，先滿足一方面，然后確實(shí)際中，只能依據(jù)具體情況，先滿足一方面，然后確定另一方面。定

16、另一方面。37 抽樣分布的概念樣本指標(biāo)是一種隨機(jī)變量，它有若干可能取值，每樣本指標(biāo)是一種隨機(jī)變量，它有若干可能取值，每個(gè)可能取值都有一定的可能性（即概率），從而形成個(gè)可能取值都有一定的可能性（即概率），從而形成它的概率分布，即統(tǒng)計(jì)上所謂的抽樣分布。簡言之，它的概率分布，即統(tǒng)計(jì)上所謂的抽樣分布。簡言之， 抽樣分布就是指抽樣分布就是指樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布的概率分布。樣本統(tǒng)計(jì)量是由樣本統(tǒng)計(jì)量是由n n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的函數(shù)，故抽樣分布個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的函數(shù)，故抽樣分布屬于隨機(jī)變量函數(shù)的分布。屬于隨機(jī)變量函數(shù)的分布。38一、 抽樣分布的概念舉例舉例: : 四名學(xué)生的月生活費(fèi)支出（四名學(xué)生的月生活

17、費(fèi)支出（480480，560560，720720，800 800 元）?，F(xiàn)按不重復(fù)取樣的方法，隨機(jī)抽取兩位構(gòu)元）。現(xiàn)按不重復(fù)取樣的方法，隨機(jī)抽取兩位構(gòu)成一個(gè)樣本，則全部可能的樣本及其各樣本的均值如成一個(gè)樣本，則全部可能的樣本及其各樣本的均值如下表所示：下表所示：39序序 樣本變量樣本變量 樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 平均數(shù)離差平均數(shù)離差 離差平方離差平方 x -x -E( E( ) -) -E( E( ) 1 480 1 480，560 520 -120 14400560 520 -120 14400 2 480 2 480，720 600 -40 1600720 600 -40 1600 3 48

18、0 3 480，800 640 0 0800 640 0 0 4 560 4 560，480 520 -120 14400480 520 -120 14400 5 560 5 560，720 640 0 0720 640 0 0 6 560 6 560，800 680 40 1600800 680 40 1600 7 720 7 720，480 600 -40 1600480 600 -40 1600 8 720 8 720，560 640 0 0560 640 0 0 9 720 9 720，800 760 120 14400800 760 120 1440010 80010 800，480

19、 640 0 0480 640 0 011 80011 800，560 680 40 1600560 680 40 160012 80012 800，720 760 120 14400720 760 120 14400合計(jì)合計(jì) 7680 0 64000 7680 0 64000 xxxxx40一、 抽樣分布的概念(續(xù))樣本平均數(shù)的概率分布樣本平均數(shù)的概率分布 520 600 640 680 760 f 2 2 4 2 2f/f 2/12 2/12 4/12 2/12 2/12x41一、 抽樣分布的概念(續(xù))例中總體分布和樣本均值分布的比較: P( )xx42一、抽樣分布的概念(續(xù))通過圖通過圖

20、4.1總體分布和圖總體分布和圖4.2樣本均值的抽樣樣本均值的抽樣分布的比較，不難看出：盡管總體為均勻分分布的比較，不難看出：盡管總體為均勻分布，但樣本均值的抽樣分布在形狀上卻是對(duì)布，但樣本均值的抽樣分布在形狀上卻是對(duì)稱的。稱的。43一、一、 抽樣分布的抽樣分布的概念概念(續(xù)續(xù)) 抽樣分布的形成過程抽樣分布的形成過程可概括為圖可概括為圖4.3：xxx44抽樣分布反映了樣本指標(biāo)的分布特征，是抽樣推斷抽樣分布反映了樣本指標(biāo)的分布特征，是抽樣推斷的重要依據(jù)的重要依據(jù)。根據(jù)樣本分布的規(guī)律，可揭示樣本指標(biāo)。根據(jù)樣本分布的規(guī)律，可揭示樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的關(guān)系，估計(jì)抽樣誤差，并說明抽樣與總體指標(biāo)之間的關(guān)系

21、，估計(jì)抽樣誤差，并說明抽樣推斷的可靠程度。推斷的可靠程度。45 2. 常用抽樣分布 1) 設(shè)總體XN( ,2)，則 (1) (2) N(0,1) 也即樣本均值 的均值等于總體均值 ，而其方差僅為總體方差的 。這說明，樣本容量越大， 就越向總體均值 集中，用 估計(jì) 的誤差就越小。46XXX1n2( ,)XNn/Xn樣本均值的抽樣分布1.在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布2.一種理論概率分布3.推斷總體均值的理論基礎(chǔ)樣本均值的抽樣分布(例題分析)5 . 21NxNii25. 1)(122NxNii樣本均值的抽樣分布 (例題分析)3,43,33,23,132,42

22、,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n = 2 的樣本（共16個(gè)）樣本均值的抽樣分布 (例題分析)3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析)5 . 2x625. 02x樣本均值的抽樣分布與中心極限定理x5x50 x5 . 2x中心極限定理(central limit theorem)nxx 2) 2分布 (1) 設(shè)總體X N(0,1)，X1, X2, Xn 為X的一個(gè)樣本，稱它們的平方和 為服從自由度為n的2分布(Chi square distribution)，記為54221 =niiX22( )n 關(guān)于“自由度”的概念： 若對(duì)隨機(jī)變量X1, X2, Xn，存在一組不全為零的常數(shù)c1, c2,cn，使 c1 X1 + c2 X2 + + cnXn = 0 則稱X1, X2, Xn線性相關(guān)，或稱X1, X2,Xn間存在一個(gè)線性約束條件；若X1, X2,Xn間存在k個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，則它們中僅有n - k個(gè)獨(dú)立的變量，此時(shí)稱平方和 的自由度為n-k。 由此可知，自由度表示了平方和中獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。5521niiX 2分布概率密度函數(shù)的圖形