人教版八年級數學上冊 13.4 課題學習　最短路徑問題

1、 “將軍飲馬將軍飲馬”的遐想的遐想 將軍飲馬問題：將軍飲馬問題： 早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將數學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中馬要到小河邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？馬要到小河邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是廣為流傳的這就是廣為流傳的將軍飲馬將軍飲馬問題。問題。P兩點之間線段最短兩點之間線段最短.

2、根據：根據：BA兩點在一條直線兩側兩點在一條直線兩側例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：最短路線：（分類討論分類討論： A -P- B. 例例2.2.如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B， 途途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？路程最短？ AB河河 兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側( (二二):):B/c例例2 2變式：已知：變

3、式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點，你能在上的點，你能在BCBC上確定一點上確定一點R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：p/R 問題問題 為什么這樣做出的線段是最短的呢？你能用所學為什么這樣做出的線段是最短的呢？你能用所學的知識證明嗎？的知識證明嗎？ BlABC證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點上任取一點C（與點（與點C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質知，由軸對稱的性質知， BC = =BC，BC=BC AC + +

4、BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 問題問題為什么這樣做出的線段是最短的呢？你能用所學的為什么這樣做出的線段是最短的呢？你能用所學的知識證明嗎？知識證明嗎？ BlABCC 問題問題為什么這樣做出的線段是最短的呢？為什么這樣做出的線段是最短的呢？你能用所學你能用所學的知識證明嗎？的知識證明嗎？ BlABCC證明：證明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直線若直線l 上任意一點（與點上任意一點（與點C 不重合）與不重合）與A，B 兩點的距離兩點的距離和都大于和都大于AC + +B

5、C，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 追問追問BlABCC證明證明AC + +BC 最短時，為什么要在直線最短時，為什么要在直線l 上上任取一點任取一點C（與點（與點C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC+ +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 例例2 2變式：已知：變式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點，你能在上的點，你能在BCBC上確定一點上確定一點R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？兩點在一條直線同側兩點在一條直線同側( (二二) )一次軸對稱：一次軸對稱：PR草地草地河邊河邊.駐地駐地

6、A例例3.3.如圖：一位將軍騎馬從如圖：一位將軍騎馬從駐地駐地A A出發(fā)，先牽馬去出發(fā)，先牽馬去草地草地 OMOM吃草，再牽馬去吃草，再牽馬去河邊河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A，問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN( (三三) )：一點在兩相交直線內部一點在兩相交直線內部例例3 3變式：已知變式：已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點，上的點， 你能在你能在ABAB、ACAC上分別確定一點上分別確定一點Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？( (三三) )： 一點在兩相交直線內部一點在兩相交直線內部例例4

7、4：如圖，：如圖，A A為馬廄，為馬廄，B B為帳篷，將軍某一天要為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。最短路線。（四）四）：兩點在兩相交直線內部兩點在兩相交直線內部ABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上， 試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對稱：（四）二次軸對稱： 兩點在兩相交直

8、線內部兩點在兩相交直線內部.AABBCDMON例4變式：A、B在直線OM、ON內部，在OM、ON上分別找點C、D，使四邊形ACDB的周長最小。（四）四）：兩點在兩相交直線內部兩點在兩相交直線內部小結 將軍飲馬問題的實質最短路徑問題-利用軸對稱知識確定最短路線：（1 1）若動點只有一個，則只需做一次軸對稱；（2 2）若動點有兩個，則需做兩次軸對稱； (3) (3)不論做一次軸對稱，還是兩次軸對稱，動點所在的直線就是對稱軸。小結 將軍飲馬問題的實質最短路徑問題-利用軸對稱知識確定最短路線：（1 1）若動點只有一個，則只需做一次軸對稱；（2 2）若動點有兩個，則需做兩次軸對稱；求最短路徑通常都需要構

9、造直角三角形，然后用勾股定理進行求解。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的 滬 渝 高 速 公 路 X 同 側 ，AB=50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖11（1）是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P),P到A、B的距離之和S1=PA+PB； 圖11（2）是方案二的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A，連接BA交直線X于點P),P到A、B的距離之和S2=PA+PB. (1).求S1 、S2 ,并比較它們的大小.(2).請你說明S2=PA+PB的值為最小.(3).擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km,請你在X,旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值. 圖11（1）? P X B A綜合應用： 圖11（2）? A B X P 圖11（3）? Y Q A B X P 圖11（1）? P X B ACQ10501030 圖11（2）? A B X P