《高等數(shù)學(xué)教學(xué)》§4.1微分中值定理ppt課件

1、 微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理。微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理。 微分中值定理是微分學(xué)的基本定理和理論基礎(chǔ)，它揭示了函微分中值定理是微分學(xué)的基本定理和理論基礎(chǔ)，它揭示了函 數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用它們可以得到微分學(xué)與積分?jǐn)?shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用它們可以得到微分學(xué)與積分 學(xué)的一系列的重要結(jié)果。學(xué)的一系列的重要結(jié)果。 4.1 4.1 微分中值定理微分中值定理 若若（1）函函數(shù)數(shù))(xf在在),( xN內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且在在),( xN 內(nèi)內(nèi)恒恒有有)()( )()(xfxfxfxf 或或， （2）函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)x可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則0)( x

2、f。 費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)引理引理引引理理的的幾幾何何解解釋釋是是：若若函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx有有切切線線 P，則則切切線線 P 必必水水平平。 程度切線程度切線 P P)(xfy xyxoM, 0 MNK, 0lim MNMNKK, 0 NMK, 0lim NMMNKK,為為切切線線的的斜斜率率設(shè)設(shè)K0 K分析：分析：NN 證證明明：就就)()(xfxf 的的情情形形加加以以證證明明。 )(xf在在點(diǎn)點(diǎn)x可可導(dǎo)導(dǎo)， )()()(xfxfxf ， )()(xfxf ， 當(dāng)當(dāng)) ,( xxx時時，有有0)()( xxxfxf， 當(dāng)當(dāng)) ,(xxx 時時，有有0)()

3、( xxxfxf， , 0)()(lim)()( xxxfxfxfxfxx, 0)()(lim)()( xxxfxfxfxfxx. 0)( xf故故由極限的保號性可得：由極限的保號性可得：2 2. .5 5. .2 2 羅羅爾爾( (leRol) )定定理理 定定理理 1 1 若若函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)， 在在開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)， 且且)()(bfaf ， 則則在在),(ba內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使0)( f。 xyoab )(af)(bfP)(xfy leRol定定理理的的幾幾何何意意義義是是：如如果果連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 除除

4、端端點(diǎn)點(diǎn)外外處處處處都都有有不不垂垂直直于于軸軸 x的的切切線線，且且兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)處處的的縱縱 坐坐標(biāo)標(biāo)相相等等，那那么么其其上上至至少少有有一一條條平平行行于于軸軸 x的的切切線線。 證證明明： ,)(baCxf ， )(xf在在,ba上上必必有有最最大大值值mM 和和最最小小值值。 若若mM ，則，則 ,bax ，有，有Mxfm )(， 故故Mxf )(，從從而而0)( xf， 這這時時),(ba ，都都有有0)( f。 定理得證。定理得證。取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點(diǎn)點(diǎn).)2(mM 若若),()(bfaf ),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在

5、一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在. 0)(: f由費(fèi)馬引理知)1(例例 1 1不不求求函函數(shù)數(shù))3)(2)(1()( xxxxf的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，說說 明明方方程程0)( xf有有幾幾個個根根，并并指指出出它它們們所所在在的的區(qū)區(qū)間間。 解解：顯顯然然，0)3()2()1( fff， )(xf在在 2 , 1 ， 3 , 2 上上都都滿滿足足leRol定定理理的的條條件件， )2 , 1(1 ，)3 , 2(2 ，使使0)(1 f，0)(2 f， 即即方方程程0)( xf至至少少有有兩兩個個實(shí)實(shí)根根。 0)( xf是是一一個個一一元元二二次次方方程程，最最多多有有兩兩個個實(shí)實(shí)根根， 方方程程0)( xf有有兩兩個

6、個實(shí)實(shí)根根，且且分分別別在在)2 , 1(和和)3 , 2(內(nèi)內(nèi)。 例例 2 2設(shè)設(shè) 1), , 0()( 1, , 0)(DxfCxf 且且0)1( f， 證證明明：至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)1) , 0( ，使使 )()(ff。 分分析析：欲欲證證 )()(ff，只只要要證證0)()( ff， 或或. 0)()( ff 若令若令),()( )(xfxfxx 則取則取 ， )( )(xfxx 只只要要對對)(x 證證明明)1 , 0( ，使使. 0)( 則則 1), , 0()( 1, , 0)(DxCx 故故)(x 在在1 , 0上上滿滿足足leRol定定理理的的條條件件， 證證明明：設(shè)設(shè))

7、( )(xfxx ，)()( )(xfxfxx , , 且且0)0( ，0) 1 () 1 ( f， 所所以以)1 , 0( ，使使0)( ， 即即0)()( ff， 從從而而.)()( ff 思索題思索題設(shè)設(shè) )( )(2xfxx 即即可可。 例例 3 3證證明明：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的任任意意兩兩個個相相異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)之之間間必必 存存在在函函數(shù)數(shù)值值與與導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值相相等等的的點(diǎn)點(diǎn)。 分分析析：設(shè)設(shè)0,) ()( 21, 21 xfxfxx且且 要證至少存在一點(diǎn)要證至少存在一點(diǎn)) ,(21xx ，使，使)()( ff， 即即要要證證至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)) ,(21xx ， 使使0)(

8、)( xxfxf， 故故構(gòu)構(gòu)造造其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)含含有有)()(xfxf 的的函函數(shù)數(shù) )()(xfexgx 證證明明：設(shè)設(shè)0,) ()( 21, 21 xfxfxx且且 并并設(shè)設(shè) )()(xfexgx ， )()()(xfxfexgx ， ), ,()( , ,)(2121xxDxgxxCxg 則則0,) ()( 21 xgxg且且 由由leRol定定理理知知，至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ), ,(21xx 使使, 0)()()( ffeg ).()( ff從從而而 證證明明：上上連連續(xù)續(xù)在在3 , 0)(xf，上上連連續(xù)續(xù)在在2 , 0)(xf， 且且在在mM 2 , 0和和最最小小值值上上必必

9、有有最最大大值值，于于是是 Mfffm 3)2()1()0(， Mfm )0(，Mfm )1(，Mfm )2(，故，故 由由介介值值定定理理知知，至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)2 , 0 C， 使使13)2()1()0()( fffCf， 上上連連續(xù)續(xù)在在3 ,)(Cxf，在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo))3 ,(C， 且且)3(1)(fCf ， ),()()( fabafbf).)()()( abfafbf 或或 拉拉格格朗朗日日定定理理表表明明了了函函數(shù)數(shù)在在一一個個區(qū)區(qū)間間上上的的平平均均 變變化化率率等等于于函函數(shù)數(shù)在在該該區(qū)區(qū)間間上上某某一一瞬瞬時時變變化化率率。 2 2. .5 5. .3 3 拉拉格格

10、朗朗日日( (Lagrange) )定定理理 若函數(shù)若函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，上連續(xù)， 在開區(qū)間（在開區(qū)間（ba,）內(nèi)可導(dǎo)，）內(nèi)可導(dǎo)， 則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)) ,(ba ，使使得得 表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. 拉格朗日定理的幾何意義是：拉格朗日定理的幾何意義是：AyxoB)(xfy ab MT1 2 在該點(diǎn)處曲線的切線平行于連結(jié)兩端點(diǎn)的直線。在該點(diǎn)處曲線的切線平行于連結(jié)兩端點(diǎn)的直線。如果連續(xù)曲線如果連續(xù)曲線)(xfy 除端點(diǎn)外處處都有不垂直除端點(diǎn)外處處都有不

11、垂直 于于軸軸x的的切切線線，那那么么該該曲曲線線上上至至少少有有這這樣樣一一點(diǎn)點(diǎn)存存在在， xyoBAab)(xfy ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM分析分析:).()(bfaf 條條件件中中與與羅羅爾爾定定理理相相差差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦線減去弦線曲線曲線., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線在所得曲線在ba),()( ,)( baDxfbaCxf 已已知知),()( ,)( baDxbaCx 則則, 0)()( ba且且即即)(x 在在 ba, 上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件， , 0)()(

12、)()( abafbff).()()( fabafbf即即證證法法 1 1（利利用用幾幾何何意意義義設(shè)設(shè)輔輔助助函函數(shù)數(shù)）證證明明：設(shè)設(shè))()()()()()(axabafbfafxfx ， 故故至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ),(ba，使使 .)()()()(xabafbfxfxF 證證法法 2 2（利利用用逆逆推推法法設(shè)設(shè)輔輔助助函函數(shù)數(shù)）分分析析：要要證證明明存存在在),( ba ，使使),()()( fabafbf 即即要要證證明明),(ba ，, 0)()()( xabafbfxf使使 為此構(gòu)造其導(dǎo)數(shù)為為此構(gòu)造其導(dǎo)數(shù)為abafbfxf )()()(的函數(shù)：的函數(shù)： ,)()()()(ab

13、afbfxfxF , 0)()()( abafbff即即).()()( fabafbf從從而而),()( ,)( baDxFbaCxF 則則且且abbafabfbFaF )()()()(， 證證明明：設(shè)設(shè),)()()()(xabafbfxfxF 從從而而)(xF滿滿足足leRol定定理理的的條條件件， 故故至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ),(ba，使使0)( F， .)()()()(xabafbfxfxF )()()()()()(axabafbfafxfx 1 2 xyoBAab)(xfy 微分中值公式的另一種方式為微分中值公式的另一種方式為).10)()()()( ababafafbf不不論論b

14、a 或或ab ，都都有有).)()()(abfafbf （ 介于介于ba 與與之間之間. .） ) ,(,baxxx ，有有 xxxfxfxxf )()()(（10 ） 。 此公式常稱為有限增量公式。此公式常稱為有限增量公式。 .) ,( )( , ,)( 2121內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在故故xxxfxxCxf 推推論論 1 1 若若),(bax ，都都有有0)( xf， 則則在在),(ba內(nèi)內(nèi))(xf是是常常數(shù)數(shù)。 證明證明： 21 , xx),(ba，且且21xx ，則，則 ,21xx),(ba， )()()(1212xxfxfxf （21xx ） ) ,(21xx),(ba，而而0)( xf，)

15、,(bax ， 0)( f，)()(12xfxf ，即即)(xf為為常常數(shù)數(shù)。 推論推論1 1是是“常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零的逆命題。常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零的逆命題。推推論論 2 2 若若),(bax ，都都有有)()(xgxf ， 則則在在),(ba內(nèi)內(nèi))( )()(是是常常數(shù)數(shù)CCxgxf 。 證證明明：)()(xgxf ， Cxgxf )()(，),(bax ， 即即Cxgxf )()(，),(bax 。 0)()( )()( xgxfxgxf， 例例 4 4證證明明：).11( 2arccosarcsin xxx 證證明明：設(shè)設(shè)xxxfarccosarcsin)( )11( x， 01111)(

16、22 xxxf)11( x， Cxf )()11( x。 2)0( f2)( xf)11( x，而而2)1( f， 2)( xf )11( x， 即即)11( 2arccosarcsin xxx。 ,1)(1)1(1ln)1ln( fxx,11x 例例 5 5證證明明不不等等式式)0( )1ln(1 xxxxx。 證證明明：將將不不等等式式變變形形為為 11)1(1ln)1ln(11 xxx， 設(shè)設(shè) xxfln)( ， 定理的條件，于是定理的條件，于是則則)(xf在在1 , 1 x 上上滿滿足足Lagrange , 1)1ln(11 xxx 故故 )1ln(1xxxx )0( x。 例例 6

17、6若若函函數(shù)數(shù))(xf在在a 點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，除除a 點(diǎn)點(diǎn)外外可可導(dǎo)導(dǎo)， 且且kxfax )(lim，證證明明)(xf在在a 點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且kaf )(。 證證明明：)(aNx ，且且ax ， )(xf在在上上或或,axxa滿滿足足Lagrange定定理理的的條條件件， 則則在在xa與與之之間間至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使 ),()()( faxafxf（之之間間與與介介于于xa ） aax ,時時當(dāng)當(dāng)， .)(lim)(lim)()(lim)(kffaxafxfafaaxax ).()()()()()(afbfgagbgf 2 2. .5 5. .4 4 柯柯西西( (C

18、auchy) )定定理理 若若函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上連連續(xù)續(xù)，在在開開 區(qū)區(qū)間間) , (ba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)) , (ba ，使使得得 顯然，Lagrange定理是Cauchy定理當(dāng)xxg)(時的特例。證證明明：設(shè)設(shè))()()()()()()(afbfxgagbgxfx ， 則則,)(baCx ，),()(baDx ， 由由Rolle定定理理，知知) ,(ba ，使使0)( 。 且且)()()()()()(agbfbgafba ， ),()()()()()()(afbfxgagbgxfx ) ,(ba ，使使)()()()()()

19、(afbfgagbgf 。 若若進(jìn)進(jìn)一一步步設(shè)設(shè)0)( xg，) ,(bax ， 由由Rolle定定理理可可得得)()(agbg ，則則有有 )()()()()()( gfagbgafbf).(ba 幾何解釋幾何解釋:)(1 g)(2 gxoy )()(xfYxgX)(agA)(bgBCD)(xgNM.),(),(ABfgCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba證證明明：即即證證 1)( lnln)()(fabafbf， 令令xxgln)( ， 故故),(ba ， 使使 1)( lnln)()(fabafbf， 即即)( lnln)()( fabafbf，故故)(ln )()( fabafbf。 則則)(xf，)(xg在在 ,ba上上滿滿足足Ca