4復(fù)變函數(shù)的級數(shù)上課用

1、第四章第四章 復(fù)變函數(shù)的級數(shù)復(fù)變函數(shù)的級數(shù) 本章介紹復(fù)變函數(shù)的級數(shù)概念，本章介紹復(fù)變函數(shù)的級數(shù)概念， 重重點是點是Taylor級數(shù)、級數(shù)、Laurent級數(shù)及其展開級數(shù)及其展開. .1 1 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限2 2 級數(shù)的概念級數(shù)的概念4.14.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)3 3 典型例題典型例題1.1.復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限 , 0 數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地都都能能找找到到一一個個正正若若對對任任意意給給定定 . ),( nNnN時時，有有當(dāng)當(dāng) 為極限。為極限。以以時，時，稱當(dāng)稱當(dāng)則則 nn 記作記作.lim nn . 收斂于收斂于此時也稱復(fù)數(shù)列此時也稱復(fù)數(shù)列n為為一一串串復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)， ), 2

2、, 1( n,nnniba , 為一確定的復(fù)數(shù)為一確定的復(fù)數(shù)iba 簡稱數(shù)列。簡稱數(shù)列。為一復(fù)數(shù)列，為一復(fù)數(shù)列，稱稱 n 為為一一數(shù)數(shù)列列，設(shè)設(shè)n 復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系 ),2,1( 的的充充要要條條件件是是收收斂斂于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列 nn.lim,limbbaannnn ,lim nn如如果果那末對于任意給定的那末對于任意給定的, 0 能找到一個正整數(shù)能找到一個正整數(shù)N,有有時時當(dāng)當(dāng) , Nn ,)()( ibaibann證證,)()( bbiaaaannn從而有從而有.limaann 即即.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之, 如果如果

3、,lim,limbbaannnn , 時時那末當(dāng)那末當(dāng)Nn 從而有從而有)()(ibaibannn )()(bbiaann .lim nn所所以以, bbaann該結(jié)論說明該結(jié)論說明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性個實數(shù)列的斂散性.2.2.復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù),), 2 , 1(為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nbannn nnn 211表達式表達式稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項級數(shù).前前 n 項的和項的和nnkknS 211稱為級數(shù)的前稱為級數(shù)的前 n 項項部分和部分和. 數(shù)列數(shù)列Sn:S1,S2,級數(shù)收斂與發(fā)散的概念級數(shù)收斂與發(fā)散的概念,收斂收斂如果部分

4、和數(shù)列如果部分和數(shù)列nS ,1收斂收斂則稱級數(shù)則稱級數(shù) nn .lim稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的和和且且極極限限SSnn .lim SSnn 利利用用極極限限說明：說明：與實數(shù)項級數(shù)相同與實數(shù)項級數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:,不收斂不收斂若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列nS .1發(fā)散發(fā)散則稱級數(shù)則稱級數(shù) nn :,0 nnz級數(shù)級數(shù)例如例如1-21nnzzzs ,1時時由于當(dāng)由于當(dāng) z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂所所以以當(dāng)當(dāng) z復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系證證因為

5、因為nnS 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni : )( 11收收斂斂的的充充要要條條件件是是級級數(shù)數(shù) nnnnniba . 11都收斂都收斂和和 nnnnba . 11 nnnnba都收斂都收斂和和 : 極極限限存存在在的的充充要要條條件件根根據(jù)據(jù)nS , 的極限存在的極限存在和和nn 說明說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題 1收收斂斂的的充充要要條條件件是是即即， nn 對于正項級數(shù)對于正項級數(shù), 收斂性的常用判定法收斂性的常用判定法: 比較法比較法,比值法比值法,根值法根值法, 積分法積分法對于任意項級數(shù)對于任意項

6、級數(shù), 考慮其絕對收斂性考慮其絕對收斂性. )1(1 1是是否否收收斂斂？級級數(shù)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)發(fā)散散因因為為 nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散. 練習(xí)練習(xí) 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因為為實實數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù).0lim0lim nnnnba和和0lim nn 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件重要結(jié)論重要結(jié)論:.0lim1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnnn 收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復(fù)數(shù)項級數(shù)所以復(fù)數(shù)項級數(shù) 1nn :1 nine例如，級數(shù)例如，級數(shù), 0limlim innnne 因因為為不滿足必要條件不

7、滿足必要條件, 所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散.判別級數(shù)的斂散性時判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察0lim nn ?非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)條件收斂級數(shù).如果如果 收斂收斂, 那末稱級數(shù)那末稱級數(shù) 為為絕對收斂絕對收斂. 1nn 1nn 類似于實數(shù)級數(shù)，引入類似于實數(shù)級數(shù)，引入絕對收斂概念絕對收斂概念絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) . , 11也也收收斂斂那那末末收收斂斂如如果果 nnnn . 11成立成立且不等式且不等式 nnnn 證明證明由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa .111絕對收斂絕對收斂與與絕對

8、收斂絕對收斂 nnnnnnba , 11都都收收斂斂及及因因此此， nnnnba(比較準(zhǔn)則比較準(zhǔn)則)根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的絕對收斂性根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的絕對收斂性, 知知 . 11也都收斂也都收斂及及 nnnnba從而從而. 1是收斂的是收斂的 nn 說明說明, 22nnnnbaba 由由, 11122 nkknkknkkkbaba知知.111絕對收斂絕對收斂與與絕對收斂絕對收斂 nnnnnnba ,11絕對收斂時絕對收斂時與與 nnnnba所以所以.1絕對收斂絕對收斂也也 nn 綜上可得綜上可得:, 11 nkknkk 又由又由 nkknnkkn11limlim 可可知知.11 kkkk 即即nien

9、n)11( 因為因為.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所所以以而而0lim,1lim nnnnba解解 數(shù)列數(shù)列 是否收斂？是否收斂？nienn)11( 例例1 1),sin)(cos11(ninn ,)11(收斂收斂所以數(shù)列所以數(shù)列nienn .1lim nn 且且 !)8( 1是否絕對收斂？是否絕對收斂？級數(shù)級數(shù) nnni例例3 3101881811nnnuunnnnnnnlim!/)!/(limlim故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂, 且為絕對收斂且為絕對收斂.,!8!)8(nninn 因為因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解解, !81收斂收斂 n

10、nn ; )1( 1收斂收斂因為因為 nnn,211收收斂斂也也 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.,)1(1收收斂斂為為條條件件但但 nnn所以原級數(shù)非絕對收斂所以原級數(shù)非絕對收斂. 21)1( 1是否絕對收斂？是否絕對收斂？級數(shù)級數(shù) nnnin例例4 4解解比比值值判定法判定法4.2 4.2 冪冪 級級 數(shù)數(shù)1 冪級數(shù)的概念2 冪級數(shù)的斂散性3 冪級數(shù)的性質(zhì)1.1.冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念則則上的復(fù)變函數(shù)列上的復(fù)變函數(shù)列為區(qū)域為區(qū)域設(shè)設(shè) , )( Dzfn )()()(21zfzfzfn稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)。稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)。 1)(nnzf)()()()(21zfzfzfzSnn 稱為該級數(shù)

11、前稱為該級數(shù)前n n項的項的部分和部分和. .級數(shù)前級數(shù)前n n項的和項的和復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù) .)( , )( )()(lim 001000為為它它的的和和且且收收斂斂在在存存在在，稱稱，內(nèi)內(nèi)的的某某一一點點若若對對zSzzfzSzSzDnnnn )()()()(21zfzfzfzSn稱為該級數(shù)在區(qū)域稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的上的和函數(shù)和函數(shù).如果級數(shù)在如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂內(nèi)處處收斂, 那末它的和一定那末它的和一定)( zSz的的一一個個函函數(shù)數(shù)是是當(dāng)當(dāng)11)()( nnnazczf或或,)(11時時 nnnzczf函數(shù)項級數(shù)的特殊情形函數(shù)項級數(shù)的特殊情形 22100)()()(az

12、cazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcnnnnn 22101或或這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), a a為展開中心為展開中心.2.2.冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性Abel(阿貝爾阿貝爾)定理定理如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對那末對的的級數(shù)必絕對收斂級數(shù)必絕對收斂, 如果如果在在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, 那末對滿足那末對滿足的的級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散.滿足滿足證明證明 , 00收斂收斂因為級數(shù)因為級數(shù) nnnzc0lim0 nnnzc有有因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)M, , 0Mzcnn 有有使對所有的使對所有的n

13、, , 0zz 若若 , 1 0 qzz則則nnnnnnzzzczc00 由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知:. 0絕絕對對收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnnzc nnnnnzczczcczc22100收斂收斂.nMq 另一部分請課后完成另一部分請課后完成(反證法反證法)公比小于公比小于1的等的等比比數(shù)數(shù)列列,收收斂斂0 nnMq收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù)對于一個冪級數(shù), 其收斂范圍的情況有三種其收斂范圍的情況有三種:(1) 對所有的正實數(shù)都收斂對所有的正實數(shù)都收斂.由由Abel定理定理:級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂. .例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnn

14、zzz2221對任意給定的對任意給定的 x , 則從某個則從某個n開始開始, 有有,21 nx于是于是,21nnnnx 該級數(shù)對任意的實數(shù)該級數(shù)對任意的實數(shù) x 均收斂均收斂.該級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂該級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂. .(2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時此時, 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散. .(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)斂的正實數(shù).例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnznzz2221, 0 時時當(dāng)當(dāng) z通項不趨于零通項不趨于零, ;,級級數(shù)數(shù)收收斂斂時時

15、設(shè)設(shè) z.,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時時 z如圖如圖:故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域.1 1 . 為為中中心心的的圓圓域域以以az 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是的收斂范圍是因此，因此，事實上，事實上，在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作不能作出一般的結(jié)論出一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.問題：問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?則發(fā)散,不定,收斂,|lim如果，11100101

16、zzzzCzzCnnnnn 收斂,|1100zzRRzz關(guān)于收斂圓關(guān)于收斂圓, 利用正項級數(shù)比值法利用正項級數(shù)比值法:收斂半徑的計算方法收斂半徑的計算方法方法方法1 1（比值法）比值法），則則如如果果 nnncc1lim 那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R, 0在復(fù)平面內(nèi)處處收斂在復(fù)平面內(nèi)處處收斂 nnnzc即即. R, 0)1( ,)2( 即即. 0 R, , 00均均發(fā)發(fā)散散則則對對 nnnzcz,0)3( 則收斂|lim如果，100101zzzzCzzCnnnnn 方法方法2 （根值法）根值法），則則如如果果 nnnclim 那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R, 0在復(fù)平面內(nèi)處處收斂在復(fù)平面

17、內(nèi)處處收斂 nnnzc即即. R, 0)1( ,)2( 即即. 0 R, , 00均均發(fā)發(fā)散散則則對對 nnnzcz,0)3( pnnnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以解答解答，因為因為pnnc1 練習(xí)練習(xí) 試求冪級數(shù)試求冪級數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(1lim . 1 3.3.冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì).,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ,Rz 其中其中),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnn

18、nzbababa),min(21rrR (2) 如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時時,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 該運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)該運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù). 00)(nnnzzc(3) (3) 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R則則時，時，當(dāng)當(dāng)Raz .)()(11 nnnaznczfRaz 在在內(nèi)解析內(nèi)解析. . 0)()(nnnazczf光光滑滑曲曲線線，則則可可求求長長內(nèi)內(nèi)的的一一條條為為設(shè)設(shè))(RazC 01.)(1d)( nnnzaaznc

19、f 或或 0d)(d )(ncnnczazczzf例例 1 1 求求 nnnzzzz201的和函數(shù)的和函數(shù).解解)1( ,11112 zzzzzzSnnn1 zzsnn 11lim級數(shù)級數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級數(shù)級數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.收斂范圍為一單位圓域收斂范圍為一單位圓域, 1 z且有且有.1112 nzzzz在此圓域內(nèi)在此圓域內(nèi), 絕對收斂絕對收斂, 收斂半徑為收斂半徑為1, 0nnz例例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(2) 1)1(nnnznnnnnnc31limlim 解解(1). 11lim3 nnn(2)1limlim1

20、 nnccnnnn,1 . 1 R即即. 1 R即即 0)(cosnnzin 0)1(nnnzi(3)(4)故故.1eR incncos (3),(21nnee nnnnnnnneeeecc 111limlim , e 所以所以nnncc1lim .2221 Rnnn)2()2(lim1 . 2 nnic)1( ;)2(4inne (4)例例 3把函數(shù)把函數(shù)bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的冪的冪級數(shù)級數(shù), 其中其中ba與與是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) .解解把函數(shù)把函數(shù)bz 1寫成如下的形式寫成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代數(shù)變形代數(shù)變形 ,

21、使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 時時，當(dāng)當(dāng)1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 設(shè)設(shè),時時那那末末當(dāng)當(dāng)Raz 級數(shù)收斂級數(shù)收斂,且其和為且其和為.1bz 例例 4 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因為為. 1 R所所以以利用逐項積分利用逐項積分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1z

22、z .)1(12z 1 z1 z例例 5 求級數(shù)求級數(shù) 01)12(nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解1212limlim 11 nnnnnncc因為因為.21 R所所以以,21時時當(dāng)當(dāng) zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 4.34.3 Taylor級數(shù)級數(shù)2. 2. Taylor級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理3. 3. 將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)1. 1. 問題的引入問題的引入4. 4. 典型例題典型例題5. 5. 函數(shù)的零點函數(shù)的零點1.1.問題的引入

23、問題的引入高等數(shù)學(xué)中，高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過我們學(xué)習(xí)過Taylor公式：公式：有有階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則到到內(nèi)內(nèi)具具有有直直的的某某個個鄰鄰域域在在設(shè)設(shè)),(1),()( 000 xUxnxUxxf )()()(0nnnxxoxRxR 是余項，且是余項，且)()(!)( )()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn ).(0 xx 同時我們還學(xué)習(xí)過同時我們還學(xué)習(xí)過Taylor級數(shù)展開定理：級數(shù)展開定理：中的中的公式公式的的內(nèi)，內(nèi)，的充要條件是在的充要條件是在級數(shù)級數(shù)內(nèi)能展開成內(nèi)能展開成在在導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)有各階內(nèi)有各階的某個鄰域的某個鄰域在在設(shè)設(shè)TaylorxfxUTay

24、lorxUxfxUxxf)(),(),()(),()( 0000 ).( n0)(xRn自然提出問題自然提出問題: : , )( )( 內(nèi)內(nèi)有有任任一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)解解析析，則則在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)DzfDzf任一解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？任一解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？為此，先給出如下的逐項積分定理為此，先給出如下的逐項積分定理，如果，如果上收斂于上收斂于在在上連續(xù)，上連續(xù)，滑曲線滑曲線分段光分段光可求長可求長在在設(shè)設(shè))()()(),(),(),( 110zfCzfCzfzfzfnnn 引理引理 11)()()(nCnCnnCdzzfdzzfdzzf收斂，則收斂，則且且，使

25、得，使得存在存在 1)(nnnnnMMzfM證明證明 需要證明：需要證明： nkCkCndzzfdzzf10)()(lim 11)()()(nkCknkCkCdzzfdzzfdzzfdszfnkCk 1)(dszfnkCk 1)(dsMnkCk 1 1nkkML)( 0 n事實上，利用不等式估計事實上，利用不等式估計 11)()()(nCnCnnCdzzfdzzfdzzf2.2.Taylor級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理)(!10)(zfncnn 其中其中定理定理d為為0z到到D的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, 設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一點點, 0

26、0)()(nnnzzczfdzz 0時時,成立成立,當(dāng)當(dāng), 2, 1, 0 nD0z.d那么那么證明證明DKz.內(nèi)任意點內(nèi)任意點, )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓圓周周. 0dr 記記 , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于d 0rz 由由Cauchy積分公式積分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的的內(nèi)內(nèi)部部在在點點上上取取在在圓圓周周因因為為積積分分變變量量KzK . 1 00 zzz 所以所以000001111

27、1zzzzzzzz則則Dz.r0z.K. d 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz Knnndzzzfizf1010)()()(21)( 于是于是 1010)()()(21)(nKnndzzzfizf 1010)()()(21nKnnzzdzfi ？由高階導(dǎo)數(shù)公式由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式可寫成上式可寫成 000)()(!)()(nnnzznzfzf由由 0 r d 的任意性，可知：的任意性，可知： Taylor級數(shù)展開定理得證。級數(shù)展開定理得證。事實上事實上 , )( )(內(nèi)內(nèi)解解析析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), , )( 上也連

28、續(xù)上也連續(xù)在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 即存在一個正常數(shù)即存在一個正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在因此因此nnnzzzzfzzzfi0000102)()()()(21 nnMqrM 21 1010)()()(21)(nKnndzzzfizf ？qrzzzzz 000 , 10, qq且且無無關(guān)關(guān)的的量量是是與與積積分分變變量量 1nnM收斂收斂由引理可知，積分與求和可交換次序由引理可知，積分與求和可交換次序 : )( 0已被展開成冪級數(shù)已被展開成冪級數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf ,)(10azf

29、即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)泰勒級數(shù), 因而解析函數(shù)的泰勒級數(shù)唯一因而解析函數(shù)的泰勒級數(shù)唯一.3.3.將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由由Taylor展開定理計算系數(shù)展開定理計算系數(shù)例如，例如，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnzn

30、znzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為因為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因為因為仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展開開式式在在與與可可得得 zzz2. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì)冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 積分積分等等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換

31、等代換等) , 求函數(shù)的求函數(shù)的Taylor展開式展開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .例如，例如， . 0 sin 展開式展開式的的在在求求Taylorzz )(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z4.4.典型例題典型例題, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇點

32、點在在由由于于,1內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析且且在在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項求導(dǎo)上式兩邊逐項求導(dǎo),例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展開開式式處處的的在在求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負實軸剪開的向左沿負實軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級數(shù)的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖1 Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nz

33、zzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲線線到到內(nèi)內(nèi)從從為為收收斂斂圓圓設(shè)設(shè)zzC 例例3 3. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即例例4 4 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因為為1,)()1(11 022 zzz

34、nnn且且 zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例5 5.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因因為為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432例例6 6.01級級數(shù)數(shù)點點展展開開為為在在將將Taylorzzez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對微分方程逐次求導(dǎo)得對微分方程逐次求導(dǎo)得:, 1所

35、以收斂半徑為所以收斂半徑為, 1 內(nèi)內(nèi)進進行行展展開開可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點點為為因因為為求求導(dǎo)導(dǎo)得得對對)(zf,)1 ()(2zzezfz, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由級級數(shù)數(shù)為為的的所所以以Taylorzf)(. 1,31211132 zzzzez0)()()1 ()()1 ( zfzfzzfz0)(2)()2()()1 ( zfzfzzfz0)()()1( zzfzfz1 1/1! 1/2! 1/3! 1/4! -11-111 1/1! 1/2! 1/3! 1/4! -1 -1/1! -1/2! -1/3! -1/4! 1

36、1/1! 1/2! 1/3! 1/4! -1 -1/1! -1/2! -1/3! -1/4! 附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1(

37、)1( nznn )1( z5.5.函數(shù)的零點函數(shù)的零點例例6.)1()(1,03的的零零點點是是函函數(shù)數(shù) zzzfzz定義定義 設(shè)解析函數(shù)設(shè)解析函數(shù))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)的一點內(nèi)的一點0z處的處的值為零，則稱值為零，則稱0z為解析函數(shù)為解析函數(shù))(zf的零點的零點. . 定義定義 若函數(shù)若函數(shù))(zf在點在點0z的某個鄰域的某個鄰域),(0 zO內(nèi)解內(nèi)解析，析，0)( zf；且除了點；且除了點0z外，在外，在),(0 zO內(nèi)，內(nèi)，)(zf處處不為零，則稱處處不為零，則稱0z為為)(zf孤立零點孤立零點. . 定定義義 如如果果)(zf在在點點0z的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)解解析析，且且有有 )()(

38、)(0zzzzfm 其其中中)(z 在在點點0z解解析析，且且0)(0 z , ,1 m， 則稱則稱0z為為)(zf的的 m 級零點，級零點，1 m時稱為單零點時稱為單零點. . 結(jié)結(jié)論論： 不不恒恒為為零零的的解解析析函函數(shù)數(shù)的的零零點點必必是是孤孤立立零零點點. . 事事實實上上，設(shè)設(shè)0z為為)(zf的的 m 級級零零點點，則則由由定定義義， 存存在在0z的的一一個個鄰鄰域域),(10 zO，使使得得 )()()(0zzzzfm 其其中中)(z 在在點點0z解解析析，且且0)(0 z , , 所所以以)(zf在在鄰鄰域域),(0 zO （),min(21 ）內(nèi)內(nèi)， 除除0z外外，再再無無零

39、零點點，即即: : 0z是是)(zf的的孤孤立立零零點點. . 這這是是解解析析函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)別別于于實實可可微微函函數(shù)數(shù)的的又又一一特特性性. . )()()(0zzzzfm 推論：推論： 設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析，nz( (n=1,2,=1,2,) )是是)(zf在在D內(nèi)的一列零點，且內(nèi)的一列零點，且0zzn( (n) )，Dz 0， 則則)(zf在在D中必恒為零中必恒為零. . 解解析析函函數(shù)數(shù)的的唯唯一一性性定定理理： 設(shè)設(shè))(zf與與)(zg在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析，nz ( (n=1,2,=1,2,) ) 是是D內(nèi)內(nèi)的的點點列列， 當(dāng)當(dāng) mn 時時，nmzz ，

40、且且 0zzn； Dz 0，若若對對一一切切 n, ,都都有有)()(nnzgzf ，則則 Dz ，恒恒有有)(zf= =)(zg. . 解解析析函函數(shù)數(shù)的的惟惟一一性性定定理理說說明明了了解解析析函函數(shù)數(shù)一一個個非非常常重重要要的的特特性性： 在區(qū)域在區(qū)域D上的兩個解析函數(shù)， 只要在上的兩個解析函數(shù)， 只要在 D D 內(nèi)的內(nèi)的某一部分某一部分( (子區(qū)域或孤段子區(qū)域或孤段) )上的值相等，上的值相等， 則它們在則它們在整個區(qū)域整個區(qū)域 D D 上的值上的值必相等必相等. . m 級零點的判別方法級零點的判別方法零點的充要條件是零點的充要條件是證證 (必要性必要性)由定義由定義:)()()(0

41、zzzzfm 設(shè)設(shè)0)(zz 在在 的的Taylor級數(shù)展開為級數(shù)展開為:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末為為的的級級)(zf)(zfm0z如果如果為為的的級零點級零點)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm級級數(shù)數(shù)展展開開式式為為的的在在從從而而Taylorzzf0)(10100)()()( mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展開式的前展開式的前m項系數(shù)都為零項系數(shù)都為零 ,由由Taylor級數(shù)的系數(shù)級數(shù)的系數(shù)公式知公式知:);1, 2 , 1 ,

42、0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( cmzfm充分性證明略充分性證明略 .(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是是)(zf的一級零點的一級零點 . 練習(xí)練習(xí)0 z是五級零點是五級零點,iz 是二級零點是二級零點.知知是是)(zf的一級零點的一級零點.0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函數(shù)的零點及級數(shù)求以下函數(shù)的零點及級數(shù):, 1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零點及級數(shù)的零點及級數(shù) .求求4.4 4.4 Laurent級數(shù)級數(shù)2 Laurent 級數(shù)的概念3 函

43、數(shù)的Laurent 級數(shù)展開1 問題的引入4 典型例題1 1 問題的引入問題的引入 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(上節(jié)研究了如下的冪級數(shù)：上節(jié)研究了如下的冪級數(shù)：對于一般的函數(shù)項級數(shù)對于一般的函數(shù)項級數(shù) )()()(21zfzfzfn 1)(nnzf從數(shù)學(xué)研究的角度，應(yīng)該可以取具有負冪的從數(shù)學(xué)研究的角度，應(yīng)該可以取具有負冪的 ：)(zfnnnnzzc )(01從信號分析的角度看：從信號分析的角度看：設(shè)離散信號設(shè)離散信號 x(n)，則其，則其 Z 變換變換 nnznxzX)()( 設(shè)系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為設(shè)系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為 h(n)，輸入信號，輸入信號為為 x

44、(n)，零狀態(tài)響應(yīng)為，零狀態(tài)響應(yīng)為 y(n)，則，則)(*)()(nhnxny 從而從而)()()(zHzXzY H(z)稱為離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。稱為離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。nnnzzc)(0 考慮雙邊冪級數(shù)考慮雙邊冪級數(shù)負冪項部分負冪項部分正冪項部分正冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01我們開始研究這一問題我們開始研究這一問題同時收斂同時收斂 Laurent級數(shù)級數(shù) nnnzzc)(00 收斂收斂nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑

45、收斂半徑2R20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR R結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z(1) (1) 任一冪級數(shù)，如果收斂，必在圓域內(nèi)收斂，任一冪級數(shù)，如果收斂，必在圓域內(nèi)收斂，且和函數(shù)在圓域內(nèi)解析。且和函數(shù)在圓域內(nèi)解析。(2) (2) 在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù)。在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一

46、定能展開成冪級數(shù)。對于對于Laurent級數(shù)，我們已經(jīng)知道：級數(shù)，我們已經(jīng)知道：如果如果Laurent級數(shù)級數(shù)收斂，必在圓環(huán)域內(nèi)收斂，且收斂，必在圓環(huán)域內(nèi)收斂，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析。和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析。自然的問題是自然的問題是: :在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以能展開成能展開成Laurent級數(shù)級數(shù)? ?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題: :2 2 Laurent級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21

47、10其其中中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任的任 0z稱為為稱為為Laurent系數(shù)系數(shù).級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成在在則則 )( LaurentDzf一正向簡單閉曲線一正向簡單閉曲線. d21d21)(12 KKzfizfizf證證)()(1100zzzz 因因為為對于第一個積分對于第一個積分: 00001nnzzzz 000001111z zz zzzz0zRr2R.z1K2K1R. ,)()(0100 nnnzzz nnnzzc)(00 d)(212 KzfinnKnzzzfi)(d)()(2100102 20100d)()(21Knnnzzzfi ？ 11)()()(

48、nCnCnnCdzzfdzzfdzzf收斂，則收斂，則且且，使得，使得存在存在 1)(nnnnnMMzfM1000100nnnzzzzzMzzzf)()(nM 對于積分對于積分: d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 100 zzz 000111zzzzz 0zRr2R.z1K2K1R. 1010)()(nnnzzz ,)()(10110nnnzzz 注意到注意到,)(01nnnzzc d)(211 KzfinnKnzzzfi )(d)()(2101101 1d)()(211100Knnnzzzfi ？1000100)()( nnnzzzzzMzzzf nM nnnnnnzzczz

49、c )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 如果如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單的任何一條正向簡單0znncc 與與閉曲線閉曲線 . 則則可用一個式子表示為可用一個式子表示為: d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf則則 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù) f (z)展開為含展開為含有正、負冪項的級數(shù)就是有正、負冪項的級數(shù)就是 f (z)的的Laurent 級數(shù)級數(shù). .且展開式必是唯一的。且展開式必是唯一的。 該結(jié)論給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為該結(jié)論給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為Lau

50、rent級數(shù)的一般方法級數(shù)的一般方法. . 事實上，對事實上，對 兩邊沿曲兩邊沿曲線積分即可得線積分即可得 nnnzzbzf)()(0 ), 2, 1, 0( ncbnn注意：注意：3 3 函數(shù)的函數(shù)的Laurent展開式展開式理論上應(yīng)該有兩種方法理論上應(yīng)該有兩種方法: : 直接法與間接法直接法與間接法 (1) 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 這種方法只有在找不到更好方法時才用。這種方法只有在找不到更好方法時才用。 根據(jù)解析函數(shù)根據(jù)解析函數(shù) Laurent

51、級數(shù)展開式的唯一級數(shù)展開式的唯一性性, 可運用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方可運用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開法去展開 .(2) 間接展開法間接展開法這一方法成為這一方法成為Laurent 級數(shù)展開的常用方法。級數(shù)展開的常用方法。 :10 內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,而在圓環(huán)域而在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都解析內(nèi)都解析.)1(1)(zzzf 1,1112 zzzzznzz 111)1(1)(zzzf nzzzz211內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級數(shù)：也可以展開成級數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()

52、1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz給定函數(shù)給定函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展展開式開式回答：不矛盾回答：不矛盾 .Laurent展開式是唯一的展開式是唯一的.問題：這與問題：這與laurent展開式的唯一性是否相矛盾展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性注意唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的(包括包括Taylor展開式作為其特例展開式作為其特例).4 4 典型例題典型例題例例1 1, 0 內(nèi)內(nèi)

53、在在 z. )( 2級數(shù)級數(shù)展成展成將將Laurentzezfz 解解 ! 4! 3! 21432zzzzez由已知函數(shù)由已知函數(shù) 的展開式的展開式ze可以直接得到可以直接得到 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz例例2 2 : )2)(1(1)( 在在圓圓環(huán)環(huán)域域函函數(shù)數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)解析內(nèi)解析,把把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展成在這些區(qū)域內(nèi)展成Laurent級數(shù)級數(shù).解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 z,1 z由于由于12 z從而從而oxy1 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所所以以)1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122,)2(1)1