高中數(shù)學(xué)第十一章《圓錐曲線》數(shù)學(xué)競賽講義蘇教版

1、用心愛心專心-1 -第十一章圓錐曲線一、基礎(chǔ)知識1. 橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長(大于兩個定點(diǎn)之間的距 離)的點(diǎn)的軌跡，即 |PFi|+|PF2|=2a (2a|F 丘|=2。第二定義：平面上到一個定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡(其中定點(diǎn)不在定直線上)，即LpLe(0eb0),a bx =acos日參數(shù)方程為丿(日為參數(shù))。y =bs in日若焦點(diǎn)在 y 軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2y y2牙=1 (ab0)。a b3橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在2x2aa 稱半長軸長，b 稱半短軸長，c 稱為半焦距，長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)

2、、兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(土a, 0), (0, b), ( c, 0);與左焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線(即第二定義中的定直線)為2222與右焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線為x；定義中的比 e 稱為離心率，且e，由 c+b=a 知 0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。ab若 P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，貝U|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5幾個常用結(jié)論：1)過橢圓上一點(diǎn) P(xc, y0)的切線方程為泌.迪 ；2. 2I x 軸上的橢圓2ac用心愛心專心-2 -a b用心愛心專心-3 -2)斜率為 k 的切線方程為y = kx；.畑2k2 b2；3)過焦點(diǎn) F2(C, 0)

3、傾斜角為0的弦的長為.2ab2I = -222 -。a-C COS二6雙曲線的定義，第一定義：滿足 |PFi|-|PF2|=2a(2a0) 的點(diǎn) P 的軌跡；第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點(diǎn)的軌跡。7.雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線方程為2 2x_ i_2 2 -1，a bx =asedP參數(shù)方程為丿(護(hù)為參數(shù))。y =bta n焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22 2務(wù)每=1(a, b0),a ba 稱半實(shí)軸長，b 稱為半虛軸長，C為半焦距，實(shí)軸的兩個端點(diǎn)為 (-a, 0), (a, 0).2 2a aCx, x -離心率e =,C Ca2

4、 2 2 2由 a2+b2=c2知 e1。兩條漸近線方程為y=：逹x，雙曲線篤%=1與仔與=-1有相aa2b2a2b2同的漸近線，它們的四個焦點(diǎn)在同一個圓上。若a=b,則稱為等軸雙曲線。2 2xy22=1 , F1( -C,0 ) , F2(C, 0)ab它的兩個焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P 在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a ;若 P (x,y )在左支上，則 |PF1|=-ex-a , |PF2|=-ex+a.10.拋物線：平面內(nèi)與一個定點(diǎn) F 和一條定直線 I 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線 I 叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn) F

5、且垂直于準(zhǔn)線 I 的直線為 x 軸，x 軸與 I&雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線左、右焦點(diǎn)為 F1(-C,0), F2(C, 0)，對應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為9雙曲線的常用結(jié)論，1)焦半徑公式，對于雙曲線2)過焦點(diǎn)的傾斜角為0的弦長是2ab2-C2COS2-用心愛心專心-4 -相交于 K,以線段 KF 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p ,則焦點(diǎn) F 坐標(biāo)為用心愛心專心-5 -準(zhǔn)線方程為x號，標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=2px（p。），離心率e=1.11 拋物線常用結(jié)論：若 P（xo, yo）為拋物線上任一點(diǎn)，取最小值時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。例 2 已知 P,P為

6、雙曲線C:2 2令-= 1右支上兩點(diǎn)，PP延長線交右準(zhǔn)線于 K, PF1延長a b線交雙曲線于 Q, （ F1為右焦點(diǎn)） 。求證：/PRK=/ KF1Q.2.求軌跡問題。例 3 已知一橢圓及焦點(diǎn) F,點(diǎn) A 為橢圓上一動點(diǎn)，求線段 FA 中點(diǎn) P 的軌跡方程。 例 4 長為 a, b 的線段AB, CD 分別在 x 軸，y 軸上滑動，且 A, B, C, D 四點(diǎn)共圓，求此動 圓圓心 P 的軌跡。1)焦半徑|PF|= x R22）過點(diǎn) P 的切線方程為 yy=p（x+xo）;3）過焦點(diǎn)傾斜角為0的弦長為2。1 COS日12.極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)為極點(diǎn)記為0,從 0 出發(fā)的射線為極軸記為

7、 Ox 軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn) P 的位置，（p,0）稱為極坐標(biāo)。P,記 |0P|=p, / xOP=0，則由(p, 0)唯一確定13圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e 的點(diǎn) P,若 0e1,則點(diǎn) P 的軌跡為雙曲線的一支；若 e=1,則點(diǎn) P 的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為二、方法與例題1 與定義有關(guān)的問題。ep。1 - ecos)已知定點(diǎn) A（2,1 ）,F 是橢圓x2252=1 的左焦點(diǎn),+16點(diǎn) P 為橢圓上的動點(diǎn),當(dāng)3|PA|+用心愛心專心-6 -例 5 在坐標(biāo)平面內(nèi)，/ AOBJ, AB 邊在直線 I: x=3 上

8、移動，求三角形 AOB 的外心的軌跡方3程。3.定值問題。2 2例 6 過雙曲線二與=1(a0, b0)的右焦點(diǎn) F 作 Bib_ x 軸，交雙曲線于 B, B 兩點(diǎn),a b莊與左焦點(diǎn) F1連線交雙曲線于 B 點(diǎn)，連結(jié) BB 交 x 軸于 H 點(diǎn)。求證：H 的橫坐標(biāo)為定值。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例 7 設(shè)拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為 F,經(jīng)過點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在準(zhǔn)線 上，且 BC/X軸。證明：直線 AC 經(jīng)過定點(diǎn)。用心愛心專心-7 -2 2例 8 橢圓冷莒=1 上有兩點(diǎn) A, B,滿足 OA_OB O 為原點(diǎn)，求證:a b定值。

9、4.最值問題。例 9 設(shè) A，B 是橢圓 x2+3y2=1 上的兩個動點(diǎn)，且 OA_ 0B( O 為原點(diǎn))，求|AB|的最大值與最小 值。例 10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長軸在x 軸上，離心率為3，若圓c：x2 (y 3)2=1 上2 2點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為17，試求這個橢圓的方程。5.直線與二次曲線。例 11 若拋物線 y=ax2-1 上存在關(guān)于直線 x+y=0 成軸對稱的兩點(diǎn)，試求a 的取值范圍。1 1|OA|2| OB |2用心愛心專心-8 -2例 12 若直線 y=2x+b 與橢圓 y2=1相交，(1)求 b 的范圍；(2)當(dāng)截得弦長最大時(shí),4求 b 的值。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1._ A

10、 為半徑是 R 的定圓OO 上一定點(diǎn)，B 為O0 上任一點(diǎn)，點(diǎn) P 是 A 關(guān)于 B 的對稱點(diǎn)，則點(diǎn) P 的軌跡是_ .2.一動點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m(o)，則動點(diǎn)的軌跡是 _.2 23.橢圓 +=1 上有一點(diǎn) P,它到左準(zhǔn)線的距離是_ 10,它到右焦點(diǎn)的距離是.100362 24雙曲線方程 一 + -=1，貝 U k 的取值范圍是_| k | -25 - k26._直線 I 被雙曲線_y2=1 所截的線段 MN 恰被點(diǎn) A( 3,1 )平分，則 I 的方程為 _47. ABC 的三個頂點(diǎn)都在拋物線 y2=32x 上，點(diǎn) A (2, 8),且厶 ABC 的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重

11、合，則直線 BC 的斜率為 _ .&已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0 , 一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0,則雙曲線方程為_ .9._ 已知曲線 y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)(1, 1 )對稱的曲線有兩個不同的交點(diǎn)，如果過這兩個交點(diǎn) 的直線的傾斜角為 45，那么 a=.10.P 為等軸雙曲線 x2-y2=a2上一點(diǎn)，1 PF1 1*1 PF2 1的取值范圍是 _|PO|2每=1 有公共的焦點(diǎn) F1, F2，設(shè) P 是它們的一個焦 b；點(diǎn)，求/ F1PF2和厶 PF1F2的面積。12 .已知(i )半圓的直徑 AB 長為 2r; (ii )半圓外的直線 I 與 BA

12、的延長線垂直，垂足為T,5橢圓x210021,64焦點(diǎn)為F1, F2,橢圓上的點(diǎn)P 滿足/ RPF=600,則 F1PF2的面積是11.已知橢圓2 2 2務(wù)占=1與雙曲線務(wù)b|a?用心愛心專心-9 -r設(shè)|AT|=2a(2a1)的一個頂點(diǎn) C (0, 1 )為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC 這樣的三角形最多可作 _個2 211 求橢圓 令y2=1 上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角B的正弦的最大值。a b2 212.設(shè) F, O 分別為橢圓務(wù)-込 =1的左焦點(diǎn)和中心，對于過點(diǎn)F 的橢圓的任意弦 AB 點(diǎn) Oa b都在以 AB 為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e 的取值范圍。2 23雙曲線2莒二1的

13、一個焦點(diǎn)為b2Fi,頂點(diǎn)為 A, A, P 是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PFi|為直7.如果直線 y=kx+1 與焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓2 2=1 總有公共點(diǎn)，則 m 的范圍是5 m9.過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線I 與橢圓(x-3)2f6 2=1 相交于 A, B 兩點(diǎn)，若以 AB 為直徑的圓恰好用心愛心專心-11 -13. 已知雙曲線 C1：務(wù)一-三=1但0)，拋物線 G 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) O, G 的焦點(diǎn)是 G 的左焦點(diǎn)a 2aF10用心愛心專心-12 -(1) 求證：Cl,C總有兩個不同的交點(diǎn)。(2) 問：是否存在過 C 的焦點(diǎn) Fl的弦 AB,使 AOB 的面積有最大值或最小值？若存在，求直 線 AB 的

14、方程與 SA AOB的最值，若不存在，說明理由。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1.在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則 m 的取值范圍是_ .2.設(shè) O 為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn) 為焦點(diǎn)，且 PQ 為過 F 的弦，已知|OF|=a , |PQ|=b ,AOPC 面積為2 23.給定橢圓 冷+與=1，如果存在過左焦點(diǎn) F 的直線交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn)，且 OP 丄 OQ 則a2b2離心率 e 的取值范圍是_ ./ F1PF2平分線的垂線，垂足為M 貝 U M 的軌跡為5.AABC 一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為1B(0, J2)和C(0,- 42)，另兩邊斜率的乘

15、積為一，若2點(diǎn) T 坐標(biāo)為(t,O)(t R+),則|AT|的最小值為 _.6.長為 1(11)的線段 AB 的兩端點(diǎn)在拋物線 y=x2上滑動，貝懺段 AB 的中點(diǎn) M 到 x 軸的最短距離等BM 與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為M, M,當(dāng) M 變動時(shí)，直線 MM 恒過一個定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為邊界)，若 a,b R+,則 a+b 的最小值為 _2 29已知橢圓-厶=1 的內(nèi)接AABC 的邊 AB AC 分別過左、右焦點(diǎn) F1, F2，橢圓的左、右43頂點(diǎn)分別為 D, E,直線 DB 與直線 CE 交于點(diǎn) P,當(dāng)點(diǎn) A 在橢圓上變動時(shí)，試求點(diǎn) P 的軌跡。210.設(shè)曲線 C :篤+y2=1(a 為正常

16、數(shù))與 C2： y2=2(x+m)在 x 軸上方有一個公共點(diǎn) P。(1)a求實(shí)數(shù) m 的取值范圍(用 a 表示)；1(2) O 為原點(diǎn)，若 G 與 x 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A,當(dāng) 0ab0)的左、b2右焦點(diǎn),P 為雙曲線上的動點(diǎn)，過Fi作_ 27.已知豐0,b2 2pa, M 是拋物線上的點(diǎn)， 設(shè)直線 AM&已知點(diǎn) P (1, 2)既在橢圓2 2篤=1內(nèi)部(含邊界)a b，又在圓x2+y2=外部(含3用心愛心專心-13 -六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1.在四邊形 ABCD 中，對角線 AC 平分/ BAD 在 CD 上取一點(diǎn) E, BE 與 AC 相交于 F,延長 DF 交 BC 于G,求證：/ GA

17、C2EAC4X2- Xi122=m+n2-2mncos60,即(m+n)2-3mn=144.所以mn256SPFiF21 364. 3mn26 .3x+4y-5=0.設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),則2XL24_Y1(jX2)(XiF)-(yi+y2)(y1-y2) = 0.由兇2=3乂 乞一1，得y22-yi-。故4用心愛心專心2 求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個頂點(diǎn)，每段長都為1 的閉折線，它的每個頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。3.以 Bo和 Bi為焦點(diǎn)的橢圓與 ABoBi的邊 AB 交于 C（i=0,1），在 AB0的延長線上任取點(diǎn) Po,以B）為圓心，BoPo為半徑作圓弧PoQo交

18、C的延長線于 Q；以 C 為圓心，CQ 為半徑作圓弧 QPi交 BiA 的延長線于 Pi； B 為圓心， BR 為半徑作圓弧 PiQ 交 BiCo的延長線于 Q;以 G 為圓心， GQ 為半徑作圓弧 QPo,交 AB 的延長線于Po。求證：（i ）點(diǎn)Po與點(diǎn) R 重合，且圓弧 PoQ與 PoQ 相內(nèi)切于 Po；（ 2） Po, Q, Pi,Q 共圓。4.在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度 vo和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與 x 軸正向之間 的 夾角）a（a o,n,a工一）射出的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下運(yùn)動軌跡是拋物線，所有這些拋2物線組成一個拋物線族，若兩條拋物線在同一個交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱

19、這個交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明：此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變 量取值范圍）。5. 直角 ABC 斜邊為 AB,內(nèi)切圓切 BC CA AB 分別于 D, E, F 點(diǎn)，AD 交內(nèi)切圓于 P 點(diǎn)。若CP_BP,求證：PD=AE+AP6. 已知 BC_CD,點(diǎn) A 為 BD 中點(diǎn)，點(diǎn) Q 在 BC 上, AC=CQ 又在 BQ 上找一點(diǎn) R,使 BR=2RQ CQ 上找一點(diǎn) S,使 QS=RQ 求證：/ ASB=2/ DRC答案：基礎(chǔ)訓(xùn)練題1.圓。設(shè) AO 交圓于另一點(diǎn)A, A是 A 關(guān)于A的對稱點(diǎn)。則因?yàn)?AB_BA, AP _ AP，所以 P 在以AA為直徑的圓上

20、。2 .圓或橢圓。設(shè)給定直線為 y= kx（k0）,P（x,y） 為軌跡上任一點(diǎn)，則當(dāng) k豐1 時(shí)，表示橢圓；當(dāng) k=1 時(shí)，表示圓。83.12 .由題設(shè) a=10,b=6,c=8，從而 P 到左焦點(diǎn)距離為 10e=10X=8,所以 P 到右焦點(diǎn)的距0離為 20-8=12。4.-2k2 或 k5.由(|k|-2)(5-k)5 或-2k2.5.64 3.設(shè)兩條焦半徑分別為 m,n ,則因?yàn)閨FiF2|=12,m+n=20.由余弦定理得3/ vk2+ 1j=m2?；啚?k2x2+2y2=m(1+k2).用心愛心專心-ii -、E3萬程 y+仁(x-3).47.- -4.設(shè) B(Xi,yi),C(

21、x2,y2),貝UVy2=0 ,所以 yi+y2=-8 ,故直線 BC 的斜率為33232y2-yiy232X2 _ Xi2 2y2yiyiy2用心愛心專心-16 -10. ( 2,2.2。設(shè) P(xi,y1)及| PFi |IPF2I = t，由 |PFi|=exi+a2a2(a=0)，所以 一1即 2tw2.2.2t -811.解：由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P 在第一象限，由題設(shè)|FiF2|2=4(a：-bf) =4(a；b；)=4c2，又根據(jù)橢圓與雙曲線定義2 2&(y-1) (x-2)i6=i。由漸近線交點(diǎn)為雙曲線中心，解方程組；3x 4y2= 0,得中心3x + 4y 10 = 0為(2,i

22、)，又準(zhǔn)線為y4-,知其實(shí)軸平行于5y 軸，設(shè)其方程為(y1)- &=1。其漸b2近線方程為=0。所以y-i= _a(x-1).ba 3由題設(shè)，將雙曲線沿向量 m=(-2,-1)b 4平移后中心在原點(diǎn),其標(biāo)準(zhǔn)方程為22=1。由平移公式a bx= x_ 2平移后準(zhǔn)線為$= yi9.2.曲線，再結(jié)合-cb3，解得4a2=9，b2=16，故雙曲線為2 2(y-i) (x-2)=1。16y2=ax 關(guān)于點(diǎn)(21，1)的對稱曲線為(2-y)=a(2-x),廠2y =ax,0,設(shè) Xi,X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理2k(2k -i) 2k(2k -i)_ 2 _k2_ k2_2由，得 yi+y2=kxi+

23、(i-2k)+kx2+(i-2k)=k(xi+X2)+2(i-2k)=4(2k -i).k22設(shè) PiP2的中點(diǎn) P 坐標(biāo)(x,y)，由中點(diǎn)公式及，得從而.FiPF2xix2=用心愛心專心-18 -消去 k 得(x-1)284點(diǎn)(2, 0)滿足此方程，故這就是點(diǎn) P 的軌跡方程。高考水平測試題2 2 2 21. -L=1,由橢圓方程得焦點(diǎn)為(_4,3,0)，設(shè)雙曲線方程 冷_厶=1，漸近線為3612a by =-x.由題設(shè)-=1，所以 a2=3b2,又c=43,c2=a2+b2.所以 b2=12, a2=36.aa、；32. 90。見圖 1,由定義得 |FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|

24、，有/ 仁/BFB,/ 2=ZAFA，又/ 仁/ 3, / 2=Z4，所以/ 3+ / 4=ZBFB+ZAFA=90。3 .相切，若 P(x,y)在左支上，設(shè) R 為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，M 為 PR 中點(diǎn)，則1111|MO|=|PF2|=(a-ex)，又 |PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO| ,2222所以兩圓外切。當(dāng) P(x,y)在右支上時(shí)，同理得兩圓內(nèi)切。104.與 F1對應(yīng)的另一條準(zhǔn)線為x=-11，因|MF1|與 M 到直線 x=-11 距離 d1之比為 e,且3| MF1|110d1=|xm+11|=10.所以1，所以 |MF1|=.10

25、332 2 2 2 2 2 _5.充要。將 y=2x+1 代入橢圓方程得(b +4a )x +4a x+a (1-b )=0.若 =(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0 ,則直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)，即 b2+4a2=1;反之，4a2+b2=1,直線與橢圓有一個公共點(diǎn)。x = m +16. y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m)2=4(x-m)，焦點(diǎn)為丿它在直線 y=2(x-1)上。y =2m,17. 1wm5 直線過定點(diǎn)(0,1),所以 0m,所以 1 mm& 3.雙曲線實(shí)軸長為 6,通徑為 4,故線段端點(diǎn)在異支上一條，在同支上有二條，一共有三 條。兀59. 或。設(shè)直線 I

26、: y=kx 與橢圓交于A(X1,yJ,B(x2,y2)，把 y=kx 代入橢圓方程得6 6(1+3k2)x2-6x+3=0 ,由韋達(dá)定理得用心愛心專心-ii -因 F (1, 0) , AF 丄 BF,所以(X1-1)(x2-1)+y 書2=0,即X1X2-(X1+X2)+1+k2X1X2=0.X1x2=1 3k2,x1x231 3k2用心愛心專心-20 -把，代入得k2=-,k-，所以傾斜角為 二或-：.336610.3.首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè) A, B 分別位于 y 軸左、右兩側(cè)，設(shè) CA 斜率為 k(k0),CA的直線方程為 y=kx+1，代入橢圓方程為2 2 2 2(a k

27、+1)x得 x=0 或 x =2a2ka2k2于是2丹)，a2|CA|=2a2k、1 k2a2k212a2k + k2由題設(shè)，同理可得|CB|= -,利用|CA|=|CB|可得a2k2十12 2(k-1)k-(a -1)k+1=0,22解得 k=1 或 k -(a -1)k+1=0。對于，當(dāng) 1.3時(shí)，有兩個不等實(shí)根，故最 多有 3個。11 解 設(shè)焦點(diǎn)為 F1, F2，橢圓上任一點(diǎn)為 P(xo,y0), / F1PR=B,根據(jù)余弦定理得2 2 2戶冋 =|PF1| +|PF2| -2|PF1| ?|PF2|COS0,又 |PF1|+|PF2|=2a，則 4c2=(2a)2-2|PF1?|PF2

28、|(1+COS0),再將 |PF1|=a+ex。, |PF2|=a-ex0及于是有COST2b22 22a e x由0 _ x：_ a2，得b2_ a2- e2x：_ a2，所以2 22 -cos - 1。因0a 0 ,n，所COS0為減函數(shù)，故 0 ：v:arccos 2 2 -a2a丿2 _ 2當(dāng) 2b2a2即a： 2b時(shí)，空 0, arccos2b2-a2sin0為增函數(shù),竽；當(dāng) 2b20,所以方程必有兩個不同實(shí)根，設(shè)為X1,X2,由韋達(dá)定理得 X1X2=-a20，設(shè) yi,y2分別為 A, B 的縱坐標(biāo)，則4、3a?m21 = 6a2m21 _ 6a2，當(dāng)且僅當(dāng) m=0 時(shí),時(shí)，SAA

29、OL+8,無最大值。所以存在過F 的直線 x= -. 3a使厶 AOB 面積有最小值 6a(kU2)xx一b2a2k22因?yàn)?yiy2=k (xi+c)(x2+c)，再由，得-b2k2y1 22a k +bk2(a2c2-b4)所以O(shè)A OB=X1X2+y1y2=_a b,0 點(diǎn)在以 AB 為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)OAQB0,即 k2(a2c2-b4)-a2b20 對任意2 2 , 2a k bk R 成立，等價(jià)于 a2c2-b2w0,即 ac-b2 0,即 e2+e-1 0.所以 0e若斜率不存在，問題等價(jià)于 c.即:亠，綜上0。：丄a22(2)設(shè)過 F( V3a ,0)的直線 AB 為 my=(

30、x+ a),由丿yi+y2=4.一3ma,yiy2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所SAOET|y1-y2|?|OF1|=二二2 AOB的面積取最小值；當(dāng)用心愛心專心-22 -聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題所以 a2b2wc2(a2+b2)，解得51we5.由已知得%2(y i)2x _2y +32)2，說明（x,y）到定點(diǎn)（0,-1 ）與到定直線 x-2y+3=0 的距離比為常數(shù)由橢圓定義5.2a2a2.a .,ab.因?yàn)?b=|PQ|=|PF|+|QF|=1 - cos日1 - cos(兀+ 日)4a命,所以Six1所以 SA OP=absin023. |雖1,1。設(shè)點(diǎn)I2丿

31、=a . ab.P 坐標(biāo)為 (ricos0,risin0)，點(diǎn) Q 坐標(biāo)為(-r2sin0,r2cos0),因?yàn)?P, Q1在橢圓上，可得冷r11 1+-=-2 2a a丄,Rt OPQ 斜邊上的高為b2r1r22 , 2r1Jab、a2b2w|OF|=c.|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以 |OM|=a.5.t(o,1時(shí) |AT|min= . 2 -12,t1時(shí) |AT|min= |t-2|.由題設(shè)1kAB? kAC=-2設(shè) A(x,y),則0), 整理得2 2x y=1(x 工420)2 2 2|AT| =(x-t) +y =(x-t)2一2丿21(x-2

32、t)2+2-t2.因?yàn)?|x|w2,所以當(dāng)(0,1時(shí)取x=2t,|AT|取最小值2-t2。當(dāng) t1 時(shí)，取 x=2 , |AT|取最小值|t-2|.6.設(shè)點(diǎn) M（xo,y。）,直線 AB 傾斜角為0,并設(shè) A（xo-4,yo-知),1 1B(xo+cosy0sinv),因?yàn)锳,B在拋物線上，所以1 . yo-尹n 2in v - (xocosv)2,則OM/F2N,而=2用心愛心專心-23 -用心愛心專心-24 -12(x0cos,2xocose=sine.因?yàn)?l21，所以函數(shù) f(x)=12l x.在(o, i在遞減,x廠。當(dāng) cose=1 即 i 平行于 X 軸時(shí)，距離取最小值4所以yo

33、=(X。-100)221 11 1護(hù) 陽l2cosy7.y。M1M2yl2Pby。一2 pa,y2，由 A,MM 共線得 y1=-,丿yo b同理 B, M,M2共線得 y22 pa，設(shè)(x,y)是直線 MM 上的點(diǎn)，貝Uy1y2=y(y 計(jì) y2)-2px，將以yo -b上三式中消去 y1,y2得2yo(2px-by)+y0 ?2pb(a_x)+2pa(by_2pa)=0.當(dāng) x=a,y=P時(shí)上式恒成立，即定點(diǎn)為b&3 6。由題設(shè)，乞1且 a2+2b22blb24t4. t 4(t=b2-4 1,2)，而tT t4一.63二 t 4 -一6一. 3-、上一4上二22(2)一，又 t 2 可得

34、V t Jt+4+J6寸3t+Jt(t+4)上式成立。9.解 設(shè) A(2cose, 3 sinv ), B(2cosa,. 3sina),C(2cos3,3sin3)，這里a工B,則過 A, B 的直線為 I(x-2cos=) m- y，由于直線 AB 過點(diǎn)2(cos日-cos。)冃(-1,0)，代入有3(sine-sina) ?(1+2cose)=2 3sine(cose-cosa)，即 2sin(a-日-a0 +aa -0a +6a 0e)=sine-sina=2sin-?cos-,故2cos- cos- = 3coscos2 2 2 2 2 23sin：3sin sin 0，即tan?t

35、an 3。又 IBD：y(x 2)tan22222(1 cos )22y0-s inr2由，得121所以y0_丄(1 l2)_丄44用心愛心專心-25 -用心愛心專心-26 -1o1CEy=撫SinP(x-2)=32(cos：-1):u12 2 0，此時(shí) xp=-a ,當(dāng)且僅當(dāng)-a-a a 即 0a1 時(shí)適合；2 。f(a) ?f(-a)0 ,2當(dāng)且僅當(dāng)-ama 時(shí)適合；3。f(-a)=0 得 m=a 此時(shí) Xp=a-2a2,當(dāng)且僅當(dāng)-aa-2a2a 即 0a1 時(shí)適合。令f(a)=0 得 m=-a,此時(shí) Xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，從而 m -a.綜上當(dāng) 0a1 時(shí)，或-am

36、1 時(shí)，-ama.211|- OAP 的面積S ayp.因?yàn)?0a ,故當(dāng)-am a 時(shí)，0-a2+a a2，1-2m：a,由唯一22?(x+2)= _3 3e2ta n2(x 2)，同理得tan二tanE一23于(x-2)tan2土?tan?(x-2).2兩直線方程聯(lián)立，得P 點(diǎn)坐標(biāo)為_2e2ta n2- 2220tan2 +1- 2廠Q1 6i3ta n 2tan2 +12一，消去tan二得點(diǎn) P(x,y)在橢2227=1 上(除去點(diǎn)(-2,0),(2,0).2x2ay2(1)轉(zhuǎn)化為方程在10.解(1)由+ y2=1消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0,設(shè) f(x)=x2+2a

37、2x+2a2m-a2，問題=2(x m)x (-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況:21. =0,得 m = a21m性得 Xp=-a2+.當(dāng) m=a 時(shí)，Xp取最小值。由于Xp=2,aa2,故S = a.aa2;當(dāng)a21m2時(shí)，xp=-a,yp=1 - a2,此時(shí)S = a 1a2.以下比較211a,故當(dāng) 0aw時(shí)，0，從而xp用心愛心專心-27 -上，所以 y2=k(x2-1) 又 I 丄 AA,所以 旦.x21 k由，得k2-1 k21，2kk21設(shè)拋物線方程為 y2=2px，將A，B 坐標(biāo)代入并消去 p 得 k2-k-1=0.1二i 51 z , 52所以k，由題設(shè) k0，所以k，從而p 5.225聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1.以 A 為原點(diǎn)，直線 AC 為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè) C(c,O),F(f,O),D(xD,kxD),B(X則直線 DF 的方程為f - xx fJ直線 BC 的方程為x - cCxBy = 0.kxBCX-fX得表示一條直